三重积分习题课

奇函数， 有
【解Ⅰ】

利用球面坐标
xdv 0.
( x z )dv zdv
d d r cos r 2 sin dr
0 0 2 4 0

1
. 8
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【解Ⅱ】 利用柱面坐标
( x z )dv zdv

d
0
2
2 2
0
d
1 2

zdz . 8
【解Ⅲ】 利用直角坐标
( x z )dv zdv


2 2 2 2
dx
1 2 x 2 1 x2 2
dy
1 x 2 y 2 x2 y2
zdz . 8
2 2 2
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三、杂题
【例7】 其中 F ( t )
2
1 求 lim 4 F ( t )， t 0 t
x y2 z2 t 2

f ( x2 y2 z2 )d x d y d z
( x y z ) dV
2

x 2dV y 2dV z 2dV

2 xydV 2 yzdV 2 xzdV

3 z dV 3 d sin d r 4 cos 2 dr （球面坐标）
M0
故
N 0
P0
PNM
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二、关于三重积分的题类
【例3】 计算
2 2 ( x z ) dv ， 其中 由 z x y 与
z 1 x 2 y 2 所围成的．
【分析】 关于 yoz 面为对称，f ( x , y , z ) x 为 x 的
2 e dz [ dxdy] edxdy 0
z
1
z
面 1 积 2 (1 z 2 )e z dz 2.
0
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Dz D z
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【解Ⅱ】
柱面坐标
上
原式 2 e z dv 2 d d
0 0 2 1 1 2
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第十章
习题课
三重积分
一、关于三重积分性质和应用的题类
二、关于三重积分的题类 三、杂题
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主要内容
定 义 几何意义(无)
性 质
计算法 应 用 物理意义
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三 重 积 分
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（一）、三重积分常见题目类型 1.一般三重积分的计算： —— 累次积分法
a. 选择坐标系 使积分域多为坐标面围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. b. 确定积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . c. 写出积分限 图示法 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 充分利用对称性 d. 计算要简便 应用换元公式
z
x2 y2 2 1 2 a b
2
2 19/37
第1(4)题
cz=xy
b
y
o
.
a
x
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x y 计算 I f ( x , y , z ) d x d y d z : cz xy (c 0) , 2 2 1 练 a b 习 及 z 0所围成的在第一卦限的 区域。 教材P106 习题9-3
x+ y=1
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
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【例5】
教材P106 习题9-3 第1(1)题 : z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域
x+ y=1
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
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【例5】
教材P106 习题9-3 第1(1)题 : z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域 。
x+ y=1
。
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
z=xy
y
1
o
z =0
1

.
I
2 Ω
2

R
0
0
0
4 6 sin cos d r 4 dr R 5 0 0 5

2 R
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一、关于三重积分性质和应用的题类
2 2 2 2 : x y z h 【例2】设
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M ( x 3 cos y x 2 y 2 x 4 )dV
0
e dz
z
计算较繁 【解Ⅲ】 球面坐标
z 2
原式 2 e dv 2 d d e
上 0 2 0 0

1
r cos
r sindr
2
计算较繁
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【补例】
略
1 1 x 2
2
试将三次积分 I dx
1
1 x
dy
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【例5】
教材P106 习题9-3 第1(1)题 : z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
双曲抛物面
y
是曲顶柱体
上顶： z xy
Dxy: Dxy
。
1
下底：
z =0
x , y , x y 围成

N ( x 2 sin y x 2 y 3 z 3 )dV

P ( z 3 x 4 cos 2 y x 2 z 2 )dV
比较M,N,P的大小.

【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以 原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称 性直接作出比较呢?
z 1 x2 y2
z
下底： z = 0
x2 y2 1
I
D xy
dxdy
2 1
x y

zdz
用哪种坐标？
柱面坐标
. .
I=
0
d d
0
1 2
0
zdz
Dxy
1
x
0
1
y
4
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【例6】计算 I 解法Ⅱ
z
2
2 21/37
第1(4)题
cz=xy

b
y
o
a
.
x
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z
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用哪种坐标？ 直角坐标
是曲顶柱体, 由
xy z 上顶： c
cz=xy

b
y
o
.
a
x
下底： z = 0
x2 y Dxy: x , y , 1 a b
xy c
围成
y
I dxdy
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dxdydz 的体积
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【例1 】计算
2 2 2 2 2 ( x y z ) d V ， x y z R
作业题
【解】由对称性知
xydV yzdV xzdV 0
2 2 2 x d V y d V z dV Ω Ω Ω
dxdy
D
xy
0
f ( x , y , z )dz
dx
0
1
1 x
0
dy
xy
x
0
f ( x , y , z )dz
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x y 计算 I f ( x , y , z ) d x d y d z : cz xy (c 0) , 2 2 1 练 a b 习 及 z 0所围成的在第一卦限的 区域。 教材P106 习题9-3
I dz dy
0 z 1 z z2 y2 z2 y2
z
y z
1
yz
o
y
f ( x , y , z )dx
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（2） 将投影到xoz面
由z x y
2 2
z

o
z
x2 y2
y
x2 y2 1
y z2 x2
I
1
x
dxdy 0 D
xy
xy
f ( x , y , z )dz
xy
0
dx
0
1
1 x
0
dy
0
f ( x , y , z )dz
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【例5】
教材P106 习题9-3 第1(1)题 : z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域
z
x2 y2 2 1 2 a b
2
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第1(4)题
cz=xy
b
y
o
.
z=0
a
x
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x y 计算 I f ( x , y , z ) d x d y d z : cz xy (c 0) , 2 2 1 练 a b 习 及 z 0所围成的在第一卦限的 区域。 教材P106 习题9-3
1 x y
2 2
f ( x , y , z )dz
按x、y、z的次序积分；然后再按y、z、x
1 x 1 【解】先写出 : 1 x 2 y 1 x 2 x2 y2 z 1
再画出的图形
x
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的次序积分
z
z
x2 y2
y
x2 y2 1
D
f ( x, y, z )dz
b Dxy
dx

a
b a x a
dy
xy c
f ( x , y , z )dz
x
0
a
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【例6】计算 解法Ⅰ
I
zdxdydz

: x2 y2 z2 1 ,
z0
上顶：
Dxy:
D
xz
y 2 y 2 1 ( ) ( ) dxdz x z
A
D
yz
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6.三重积分性质的应用题 估计重积分的值 比较重积分的大小 重积分中值定理的应用 （二）、三重积分计算的基本技巧
(1) 交换积分顺序的方法 (2) 利用对称性简化计算 (3) 消去被积函数绝对值符号 利用对称性 (4)被积函数为1时巧用其几何意义 分块积分法
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2.改变累次积分的积分次序 题目要求改变积分次序或按原积分次序 积不出来，必须改变积分次序.
3.求由曲面所围立体的体积
用三重积分： V dxdydz

4.用二重积分求曲面的面积 A
A
Dxy
z 2 z 2 1 ( ) ( ) dxdy x y 1 ( x 2 x 2 ) ( ) dydz y z
zdxdydz

: x2 y2 z2 1 ,
z0
上顶：
Dxy:
z 1 x2 y2
z
下底： z = 0
x2 y2 1
I
D xy
dxdy

2 0
x y

zdz
Dxy
1
用哪种坐标？ 球面坐标 .
.
0
I = d sin d r cos r 2dr 0 0
得
x
1 x 1 Dzx : : x z1 z 2 x 2 y z 2 x 2
于是
I dx dz
1 x 1 1 z2 x2
2 2
z
z x
1
zx
o
z x
x
f ( x , y , z )dy
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（1）将投影到 yoz面
由z x y
2 2
z

o
z
x2 y2
y
x2 y2 1
x z2 y2
得
x
0 z1 D yz : : z y z z 2 y 2 x z 2 y 2
于是
4
x
2
1
y
1
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【注】选择合适的坐标系是计算三重积分的关键 一般的:
(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;
2 2 f ( x y ) (2).区域由圆柱面围成,被积函数形如
常选择柱面坐标系;
(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 f ( x y z ) 常选择球面坐标系.
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【例4】 计算 e dv， : x 2 y 2 z 2 1.
z
【解Ⅰ】 被积函数仅为 z 的函数，截面 D( z ) 为圆域
x 2 y 2 1 z 2，故采用“先二后一” 法．
z z e dv 2 e dv 上