系统的稳定性以及稳定性的几种定义

系统的稳定性以及稳定性的几种定义

一、系统

研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。

中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。

二、系统的稳定性

一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。

三、连续（时间）系统与离散(时间)系统

连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。

离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。

四、因果系统

因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。

判定方法

对于连续时间系统：

t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。

特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统；

对于离散时间系统：

n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。

举例说明

函数：1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统，因为y(-π)=x(0), 表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。

2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。

五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材）

（1）连续系统稳定的充分必要条件

时域：⎰∞

∞-≤M dt t h |)(|

S 域：若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。

对于因果系统：若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统。

（2）离散系统稳定的充分必要条件

时域：∑∞-∞=≤k M k h |)(|

Z 域：若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。

对于因果系统：若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定系统。

举例

例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1)

(1) 若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。

(2) 若为稳定系统，求h(k).

解：

24.05.04.0)2)(5.0(15.15.11)(2211+-+-=+-=-+=-+=--z z z z z z z z z z z z z z H

(1) 为因果系统，故收敛域为|z|>2，所以h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不稳定。

(2) 若为稳定系统，故收敛域为0.5<|z|<2，所以h(k)=0.4(0.5)k ε(k)+0.4(-2)k ε(-k-1)

例2：如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量a 的取值范围

解：设加法器输出信号X(z)

X(z)=F(z)+z-1aX(z)

Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z)

H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)

为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，

故|a|<1

六、系统稳定性判别方法

1、 系统稳定性判据

在控制和通信系统的分析和设计过程中, 研究系统的稳定性是其核心问题。不稳定的系统是不能有效工作的, 而只有在系统稳定的前提下, 讨论系统的准确性与快速性才有意义。对于一个线性时不变系统, 若系统对任意有界输入其零状态响应也是有界的, 则称此系统为稳定的, 亦称为BIBO 稳定系统。由此导出连续时间系统稳定的充分必要条件是单位冲激

响应h(t)绝对可积或其系统函数H(s)的极点全部分布在s 平面左半平面; 离散时间系统稳定的充分必要条件是单位脉冲响应h(n)绝对可和或者其系统函数H(z)的所有极点都在z 平面单位圆内。

通过对系统稳定的充要条件的分析, 我们发现判断系统稳定性的问题转化为分析系统函数的极点分布问题, 也就是检验系统函数H(s)的特征根是否都具有负实部, H(z)的特征根的绝对值是否都小于1的问题。对于低阶系统, 我们可以求出系统函数的全部极点或特征根来判断其稳定性; 而对于三阶以上的高阶系统, 求解过程比较麻烦, 据此提出了连续时间系统的稳定性判据Routh- Hurwitz 准则[2,3]和离散时间系统的稳定性准则Jury 判据。

2、 连续因果系统稳定性判断准则与离散因果系统稳定性判断准则

1）连续因果系统稳定性判断准则—罗斯-霍尔维兹准则

对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。

所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。

（一）必要条件—简单方法

一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：

（1）所有系数都必须非0，即不缺项；

（2）系数的符号相同。

例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定

例2 A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不稳定

例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。

（二）罗斯列表

将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列

第1行 an an-2 an-4 …

第2行 an-1 an-3 an-5 …

第3行 cn-1 cn-3 cn-5 …

它由第1，2行，按下列规则计算得到：

312111------

=n n n n n n a a a a a c 514131------=n n n n

n n a a a a a c ......

第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。

罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。

举例：

例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2

罗斯阵列： 2 12 2

1 8 0

418112

2-=- 2

8.5 0

2

第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。