3.4《基本不等式》优质课教案

3.4《基本不等式》教案

赵晓雪

1、本节教材的地位和作用

“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

２、教学目标

（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。

（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。

（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

３、教学重点、难点

根据课程标准制定如下的教学重点、难点

重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

二、教法说明

本节课借助平板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使

认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。

三、教学设计

◆运用2002年国际数学家大会会标引入

◆运用分析法证明基本不等式

◆不等式的几何解释

◆基本不等式的应用

1、运用2002年国际数学家大会会标引入

如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大

会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情

好客。（展示风车）

正方形ABCD 中,AE ⊥BE,BF ⊥CF,CG ⊥DG,DH

⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，

Rt △ABE,Rt △BCF,Rt △CDG,Rt △ADH 是全等三角

形，它们的面积之和是S ’=＿

从图形中易得，s ≥s ’,即 问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？

问题2：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）

一般地，对于任意实数a 、b ，我们有 当且仅当（重点强调）a=b 时，等号成立（合情推理）

问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明） Ａ Ｂ

Ｃ Ｅ Ｄ Ｇ Ｆ a Ｈ b 22a +b 222a b ab

+≥222a b ab

+≥

设计意图

（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。

（2）运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观。

（3）三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解．

2、运用分析法证明基本不等式

如果 a ＞0,b ＞0 ,

用

分别代替a,b 。可以得到 也可写成

（强调基本不等式成立的前提条件“正”）（演绎推理）

问题4：你能用不等式的性质直接推导吗？

要证

①

只要证 ② 要证② ,只要证

③ 要证③ ,只要证④ 显然, ④是成立的.当且仅当a=b 时, 不等式中的等号成立.

（强调基本不等式取等的条件“等”）

设计意图

（1）证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进一步培养学生的自学能力，符合课改精神；

（2）证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解；

20

≥a+b

(a>0,)b>02≤a+b 2≥

a+b ≥ 20≥ ≥0

（3）此种证明方法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解，此处有必要让学生初步了解。

3、不等式的几何解释

如图,AB 是圆的直径，C 是AB 上任一点，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连AD,BD,则CD= ,

半径为 问题５： 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? （学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）

设计意图

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

4、基本不等式的应用

例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m 2

的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

例2：(2)如图，用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

设计意图

（1）这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程；

（３）此例是课本例题,这样，循序渐进, 有利于学生理解不等式的内涵。 例3:讨论：

B D

E A C

（让学生分组合作、探究完成）

设计意图

（１）此题目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等式的应用价值；

（２）强调利用不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”；

（3）有利于培养学生团结合作的精神。

作业：1.教材第100~101页练习1—4 习题3.4 A组 1 —4