谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明

引言

众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学

应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用 . 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的 . 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入

适当的辅助函数 . 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个 . 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法 . 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述 .

1 罗尔Rolle中值定理

如果函数 f x 满足条件： 1 在闭区间 a,b 上连续； 2 在开区间a, b 内可导；（ 3） f a f b ,则在 a, b 内至少存在一点,使得 f '0 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线y f x 在点 A, B 处的纵坐标相等，那么，在弧AB 上至少有一点 C , f ，曲线在 C 点的切线平行于 x

轴，如图 1，

注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不

能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于a, b 的，使得 f '0 . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.

2 拉格朗日lagrange中值定理

若函数 f x 满足如下条件： 1 在闭区间a, b 上连续； 2 在开区间 a, b 内

可导；则在 a, b 内至少存在一点，使 f ' f b f a

b a

拉格朗日中值定理的几何意义：函数 y f x 在区间 a,b 上的图形是连续光滑曲线弧AB 上至少有一点 C ，曲线在 C 点的切线平行于弦AB . 如图 2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若 f x 在闭区间a, b 两端点的函数值相等，即 f a f b ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，

罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函

数 f x 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.

3证明拉格朗日中值定理

3.1 教材证法

证明作辅助函数 F x f

x

f b f a

b a

x

显然，函数 F x 满足在闭区间a, b 上连续，在开区间a, b 内可导，而且

F a F b ．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点 a b ，使

F ' f ' f b f a 0 .即 f 'f

b f a .

b a b a

3.2 用作差法引入辅助函数法

证明作辅助函数x f x f a f b f a x a

b a

显然，函数x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间a, b 内可导， a b 0 ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点a, b ，使得

' f ' f b f a 0，即 f ' f b f a

b a b a

推广 1 如图 3 过原点 O 作 OT ∥ AB ，由 f x 与直线 OT 对应的函数之差

构成辅助函数x ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

1

KOT K AB 助函数为：f b

f

a ， OT 的直线方程为： y f b

f

a x ，于是引入的辅

b a

f b f a x . （证明略）

b a

x f x

b a

推广 2 如图 4 过点 a, O 作直线A'B '∥ AB ，直线 A'B '的方程为：

y f b f a x a，由 f x 与直线函 A' B '数之差构成辅助函数x ，于是有：

b a

f b f a

x f x

b a

x a . （证明略）

推广 3 如图 5 过点作 b, O 直线 A' B'∥ AB ，直 A' B '线的方程为

f b f a

b ，由 f x 与直线 AB

y

b a

x

函数之差构成辅助函数x ，于是有：

x f x f b f a

x b .

b a

事实上，可过 y 轴上任已知点 O, m 作

A/ B/∥ AB 得直线为 y f b f a x m ，

b a

从而利用 f x 与直线的 A'B'函数之差构成

满足罗尔中值定理的辅助函数x 都可以

用来证明拉格朗日中值定理 . 因 m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个 . 3.3 用对称法引入辅助函数法

在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于 x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理 .从几何意义上看，上面的辅

2

助函数是用曲线函数 f x 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数 f x ，即可得与之对称的辅助函数如下：

⑴x f a f b f a

a

f

x

b a

x

⑵x f b f a x f x

b a

⑶x f b f a

a f x

b a

x

⑷x f b f a

b f x

x

b a

等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以

⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.

证明显然，函数x 满足条件： 1 在闭区间 a,b 上连续； 2 在开区间a,b 内可导； 3 a b af b bf a .由罗尔中值定理知，至少存在一点

f b f

a

b a

f b f a ，显

a,b ，使得' f '0 ，从而有 f '

b a b a

然可用其它辅助函数作类似的证明 .

3.4 转轴法

由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系 xoy 逆时针旋转适当

的角度，得新直角坐标系 XOY ，若 OX 平行于弦 AB ，则在新的坐标系下 f x 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明 .

证明作转轴变换 x X cos Y sin， y X sin Y cos ，为求出，解出 X,Y 得

X x c o s y si n xc o s f x s i n X x ①

Y x s i n y c o

s x s i n f x c o s Y x ②

由Y a Y b 得 a sin f a cos b sinf b cos ，从而

t a n f b f a，取满足上式即可 .由 f x 在闭区间 a,b 上连续，在开区间

b a

a,b 内可导，知 Y x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可导，且 Y a Y b ，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点a, b ，使得