高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)

平面向量六大题型

知识点：

1．向量的有关概念

（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． （2）表示：

a AB

(,)OA x y =

2121(,)AB x x y y =--

（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ． （4）几种特殊向量： 定义

备注0，方向任意||

a

a 即为单位向量记为a

b ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不

一定相等

a b =-，AB BA =-

2．向量的运算 运算

几何表示

字母表示

坐标表示

加法

a b AB BC AC +=+=

三角形法则 类比“位移之和”

首尾相连，首位连

11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++

a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线

减法

a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前

11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--

数乘

长度变为||λ倍

0λ>，方向相同

0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=

11(,)a x y =

12(,)a x x λλλ=

数量积

||||cos a b a b θ⋅=

11(,)a x y =，22(,)b x y =

1212a b x x y y ⋅=+

3．其他概念

（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

（2）投影：||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．常用投影计算公式：||cos ||

||||a b a a a b θ⋅==||

a b

b ⋅． （3）向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+（等号在向量a ，b 共线时取得）．

4．重要结论

ABC 中，的中点

ABC 的重心(1)PC PA PB λλ=+-

1

()2

AD AB AC =+

GB GC ++5．常用性质

设向量a 与b 夹角为θ，11(,)a x y =，22(,)b x y =．

a b λ= ||||cos 0a b a b θ⋅==

12a b x x ⋅=+2

||a a = 21||a x y =+cos ||||

a b

a b θ⋅=

12221

1

cos x x x y

θ+=

+

重要考试题型：

题型一：向量概念

1

给出如下命题： ①若||||a b =，则a b =；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是||||a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥． 其中正确的命题的序号是______．

解析：①两向量模相等，方向不一定相同，所以a b =不正确；

②AB DC =说明AB 和DC 两条边即平行又相等，可以推出四边形为平行四边形，反之也成立，是充要条件，正确；

③两个向量相等说明它们大小相等，方向相同，故满足此条件的都是相等向量，正确； ④两向量模相等，且平行，不能说明它们方向相同，故错误；⑤若0b =，根据0与任意向量平行的性质，则a b ∥且b c ∥，但a 与c 之间不一定平行，不排除0时，向量之间没有平行的传递性，故错误；

主要考察向量定义，表示、以及特殊向量，属于基础题型，需要注意的是： （1）向量二要素（大小、方向）

（2）加模后变为实数，去掉了方向的要素，可以比较大小 （3）0与任意向量共线（没有平行传递性） （4）共线向量方向相同或相反 （5）相反向量长度相等

AD BC =；

AB DC =且||||AB AD =．

AD BC =说明AD 和BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形；AB DC =说明AB 和DC 相等且平行，为平行四边形，|||AB AD =说明两临边相等，为菱形．答案：（1）平行四边形 （2给出如下命题：

①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；AB 与向量CD 是共线向量，则点其中正确的命题个数是（ B ．2 C ．3AB 和BA 长度相等，方向相反，正确；②当为零向量时，不满足条件，错误；③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；

答案：C

题型二：向量四则运算

1

如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF

解析：由于BA DE =，故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=． 答案：D

2

根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将向量OE ，BF ，BD ，FD 表示出来.

解析：OE BO a b ==+；2BF BA AF BA BO a b =+=+=+；

2BD BC CD BC BO a b =+=+=+；FD AC BC BA b a ==-=-．

答案： a b +，2a b +，2a b +，b a -

3

AB AC BC --=（ ）

A ．2BC

B ．0

C ．2BC -

D ．2AC

主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则，包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式，属于基础题型，需要注意： （1）向量没有位置概念，相等向量的有向线段等价 （2）熟练掌握加减法的口诀，可以直接计算的就不必画图 （3）注意数形结合思想的运用，加减法的对角线性质 （4）字母运算和坐标运算自成一体，也可相互转化