第五章 常微分方程

5.3 可降阶的高阶微分方程
5.3.1
y f ( x) 型的微分方程
这类方程只须两端分别积分一次就可化为一阶方程
y f ( x )dx C1 ，
再次积分，便得到通解
y [ f ( x)dx C1 ]dx C2 ．
例
2x 求微分方程 y e cos x 的通解．

称为一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 y 及其导数是一次方程．如果
Q( x) 0 ，则方程称为齐次的；如果 Q ( x) 不恒等于零，则方程称为非齐次的．
使用常数变易法求非齐次线性方程的通解为
P ( x ) dx P ( x ) dx ye [ Q( x)e dx C ] ．
30dx (0.05 x)dt ， x(0) 0.2
t t 1 dx 分离变量并积分 0.2 0.05 x 0 30dt ，得 x 0.05 0.15e 30 ，
x
把 t 30 分钟 1800 秒代入得 x 0.05 ． 即 30 分钟后室内所含 CO2 的百分比约为 0.05% ，基本上是新鲜的空气了．
y ( )2 dy x 解：原方程可写成 ， dx y 1 x
dy du y u x u 因此是齐次方程．令 x ，即 y ux ，则 dx dx ，
5.2 一阶微分方程
du u2 于是原方程变为 u x ， dx u 1
即
分离变量，得 两边积分，得
或写为 以
x
分离变量后，得 两边积分，得
dQ ln 4dP ， Q
Q 1600 e P ．
5.2 一阶微分方程
例（落体问题） 设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速 度成正比，运动员离塔时 (t 0) 的速度是零，求运动员下落过程中速度和时 间的函数关系．
解： （1）分析题意，建立方程和给出初始条件： 运动员下落时受重力 mg 及阻力 kv （ k 为比例系数）的影响，重力的方 向与速度 v 的方向一致；阻力的方向与 v 的方向相反．所以总外力为
鲜空气，同时又排出同等数量的室内空气，问 30 分钟后室内所含 CO2 的百分 比．
解：设在时刻 t ，厂房内 CO2 的百分比 x(t )% ．当时间经过 dt 之后，室 内 CO2 的改变量为：
45 15 16 dx% 360 0.05%dt 360 x%dt ．
于是有关系
第五章 常微分方程
5.1 微分方程的基本概念 5.2 一阶微分方程
5.3 可降阶的微分方程
5.1 微分方程的基本概念
一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方 程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方 程． 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的 阶． 如果把某一函数和它的导数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，那
p y C1 (1 x2 ) （ C1 ec ） ．
3 ，得 C1 3 ，所以 y 3(1 x2 ) ．
y x3 3x C2 ．
两边再积分，得 又由条件 y
x 0
1，得 C2 1 ，于是所求的特解为
y x 3 3x 1 ．
5.3 可降阶的高阶微分方程
1 2
5.2 一阶微分方程
两边积分，得
3 2 u ( x 1) 2 C ． 3
再把上式代入 y u( x 1) 中，即得所求方程的通解为
2
3 2 y ( x 1) [ ( x 1) 2 C ] ． 3 2
2 P ( x ) 方法二：这里 ， Q( x) ( x 1) 2 ， x 1
齐次线性方程的通解为
y C( x 1)2 ．
用常数变易法．把 C 换成 u ，即令
y u( x 1)2 ，
代入所给非齐次线性方程，得
5 2 u ( x 1)2 2u ( x 1) u ( x 1) 2 ( x 1) 2 ， x 1
即
u ( x 1) ，
（2）求出此微分方程的通解；
（3）根据初始条件确定所需的特解．
例（经济问题） 某商品的需求量 Q 对价格 P 的弹性为 P ln 4 ，已知商品 的最大需求量为 1600 单位，求需求量 Q 与价格 P 的函数关系．
解：设所求的函数为 Q Q( P) ，根据题意，得
P dQ P ln 4 且 Q(0) 1600 ， Q dP
所以通解为
5
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx 2 [ Q( x)e dx C ] ( x 1)2 [ ( x 1) 2 C ] ． 3
3
5.2 一阶微分方程
5.2.4 一阶微分方程应用举例
应用微分方程解决具体问题的步骤是： （1）分析问题，建立方程，并提出初始条件；
5.3 可降阶的高阶微分方程
例
2 求微分方程 (1 x ) y 2xy 满足初始条件 y
x 0
1 ，y
x 0
3 的特解．
dp 2x 解：设 y p ，代入方程并分离变量后，有 p 1 x 2 dx ，
两边积分，得 即 由条件 y
x 0
ln p ln(1 x2 ) C ，
5.3.3 y f ( y, y) 型的微分方程
设 y p ，把 p 看作是自变量 y 的函数，有
y
原方程化为
dp dp dy dp p dx dy dx dy ．
p
dp f ( y, p ) ． dy
这是一个关于 y 、 p 的一阶微分方程．设它的通解为
y p ( y, C1 ) ，
第五章 常微分方程
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观 事物的规律性进行研究．因此如何寻找出所需要的函数关系，这种函数关系有时 可以直接建立，有时却只能根据问题所提供的情况，列出含有要找的函数及其导 数的关系式．这样的关系式就是所谓微分方程．微分方程建立以后，对它进行研 究，找出未知函数，这就是解微分方程．
5.2 一阶微分方程
例 求微分方程
dy 2xy 的通解． dx
1 dy 2xdx ， ( y 0) y
解：此方程为可分离变量方程，分离变量后得
两边积分，
1 dy 2 xdx y ，
得
ln | y | x2 C1 ，
从而
y ex C1 eC1 ex ．
因为 eC1 是任意常数,把它记作 C ，得所给方程的通解
解：对所给方程积分两次，得
y y
这就是所给方程的通解．
1 2x e sin x C1 ， 2
1 2x e cos x C1 x C 2 ． 4
5.3 可降阶的高阶微分方程
5.3.2 y f ( x, y) 型的微分方程
设 y p ，那么 y p ，代入方程，得
p f ( x, p) ，
这是一个关于变量 x 、 p 的一阶微分方程．设其通解为
p ( x, C1 ) ，
由于 p
dy dx ，因此又得到一个一阶微分方程
dy ( x, C1 ) ． dx
对它进行积分，得到原方程的通解为
y ( x, C1 )dx C2 ．
（3）求特解．
mg ， k k t mg m 于是速度与时间的关系为 v (1 e ) ． k k mg t m 由上式可知，当 t 很大时 e 很小，而 v 接近于 k ，由此可知，跳伞开始时是加速运动， mg 以后逐渐接近等速 v 运动． k
把初始条件代人通解，得 C
5 dy 2 y ( x 1) 2 的通解。 例 求方程 dx x 1
解：方法一：这是一个非齐次线性方程，先求对应的齐次线性方程
dy 2 y 0， dx x 1
5.2 一阶微分方程
分离变量，得
dy 2dx y x 1 ，
两边积分，得
ln y 2ln( x 1) ln C ，
(t ) r ，也就是说，随着时间的推移，物体的温度趋于一个“终极 我们看到 tlim
温度” ，这个终极温度就是介质的温度 r ．
5.2 一阶微分方程
3 例(流体混合问题) 某厂房容积为 45 15 6 m ，经测定，空气中含有
0.2% 的 CO2 ．开动通风设备以 360m3 / s 的速度输入含有 0.05% 的 CO2 的新
么此函数称为该微分方程的解．
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微 分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解． 用于确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件． 在通解中，利用初始条件确定通解中任意常数后所得的解，称为微分方 程的特解． 我们把求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题．
F mg kv ，
由牛顿第二定律 F ma ，得微分方程
m
按题意有初始条件 v
t 0
dv mg kv ． dt
0 ．
5.2 一阶微分方程
（2）求通解：
dv dt 上述方程是一阶线性方程， 它同时也是可分离变量方程， 分离变量后， 得 mg kv m ， 1 t 两端积分得 ln(mg kv) C1 ， k m k t mg m 即 v Ce ． k
d k ( r ) ， dt
其中负号代表冷却， k 为比例常数（ k 0 ） ，初始条件为 (0) 0 ． 此方程是一阶线性微分方程，容易求得其通解为
(t ) r Cekt ，
代入初始条件 (0) 0 得 C 0 r ，于是得
(t ) r (0 r)ekt ．
2
2
y Ce ．
x2
5.2 一阶微分方程
5.2.2 齐次方程
如果一阶微分方程
dy f ( x, y ) dx
y y 中的函数 f ( x, y) 可写成 x 的函数，即 f ( x, y ) ( ) ，则称这方程为齐次方 x
程．
2 2 例 解方程 y x
dy dy xy ． dx dx
5.2 一阶微分方程
5.2.1 可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
g ( y)dy f ( x)dx
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy ，另一端只含 x 的 函数和 dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程．
可分离变量的微分方程的解法： 首先,分离变量，将方程写成 g ( y)dy f ( x)dx 的形式； 然后两端积分， g ( y)dy f ( x)dx ，求得 G( y) F ( x) C ．
du u dx u 1 ．
1 dx (1 )du ， u x
u ln u ln x ，
ln xu u C ，
y 代上式中的 u ，便得所给方程的通解 x
ln | y | y C． x
5.2 一阶微分方程
5.2.3 一阶线性微分方程
方程
dy P( x) y Q( x) dx
分离变量并积分，则原方程的通解为
dy ( y, C1 ) x C2 ．
Байду номын сангаас
5.3 可降阶的高阶微分方程
例
2 求微分 yy y 0 的通解．
解：设 y p ，则 y p
dp dy ，代入方程，得 dp yp p 2 0 ． dy dp dy p y ．
5.2 一阶微分方程
例 8 (冷却问题) 设一初始温度为 0 的物体放到恒温介质中 （温度为 r ） ， 假定物体的温度是均匀冷却， 且介质温度始终为 r ． 求这物体的温度 随时间
t 变化的规律．
解：设在时刻 t 时该物体的温度为 (t ) ，根据物理中的冷却定律，物体冷却速 度跟周围介质的温度差成正比，于是有微分方程