§17.5 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱

概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |2
粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) |2dv
.5.
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若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
二、薛定谔方程 ( v << c )
i 2 px
对自由粒子：其定态波函数为 ( x) Ae h ，则：
d 2 ( i2 p)2
dx 2
h
d 2
dx 2
( 2
h
p)2
0
上式可应用到非自由粒子情形。
对非自由粒子
能量：E
1 2
mv2
E
p
（E
p为势能）
动量：p2 2mEk 2m(E Ep )
Ep
( x) 0 ( x) ( x) 0
x
o
a
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根据定态薛定谔方程，势阱中粒子的概率波满足
d
2 ( x
dx 2
)
8
2mE h2
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
y(x,t)
A
cos(
2
x t 0 )
也可用复数形式来表示：
ห้องสมุดไป่ตู้
Im
y(x, t)
i( t 2
Ae
x0 )
( x)ei2
t
b A
) o
(
x
)
e
i
(
2
x
0
)
Ψ (x) : 该波动方程的定态波函
a Re
数，不含时间变量。
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仿照上式，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数：
(
x,
t)
i(
Ae
2πν
t
2π λ
x)
而 E h , p h , 上式可写成：
i 2 (E t px)
i 2 E t
( x, t) Ae h
( x)e h
i 2 px
其中： ( x) Ae h
称为一维自由粒子的定态波函数。
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例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动
的实物粒子。
设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数：
y( x, t) Acos( t 2 x)
复数形式：
y( x,
t)
i( 2πν
Ae
t
2π λ
x)
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背景 二十世纪20~30年代，经过德
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三、一维无限深势阱
设：一粒子被约束在 (o, a) 一维空间，其势能函数为
0 (0 x a)
E p ( x 0或 x a)
ψ(x) (0 x a)
0 (x 0或 x a)
波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示!
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
Ψ(x,y, z, t) Aei A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角
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③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)2dv 1 （归一化条件） 对于一维： Ψ(x,y, z, t) 2 dx 1
④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准 条件）。
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布罗意、薛定谔、海森堡、玻恩、狄
拉克等科学家的努力，建立了描述微
观粒子运动规律的量子力学。
波恩
薛定谔
德布罗意
海森伯
狄拉克
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一、物质波波函数
微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述 其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。
如何构造物质波波函数Ψ ( x, y, z, t )
① 用复数形式表示。则其振幅为|Ψ ( x, y, z, t ) |。 ② 机械波强度 ：I ∝A2 （A为其在该处的振幅）。
仿此关系，物质波的强度∝|Ψ ( x, y, z, t ) |2，物质波
的强度称作粒子在空间某点 (x, y, z) 处出现的概率 密度，记作w( x, y, z, t )。 概率密度函数常写成：
现的概率为：
dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
玻恩(M.Born，1882-1970)德国 物理学家，1926年首次提出波函数 的统计意义，为此与博特 ( W.W.G Bothe，1891-1957)共享1954年诺贝 尔物理学奖。
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即：对非自由粒子
d 2
dx 2
8 2m
h2 (E
E p )
0
薛定谔（Erwin Schrödinger， 1887-1961）奥 地利物著名理
称为一维定态薛定谔方程。 三维定态薛定谔方程：
论物理学家， 量子力学的重要奠基人之 一，同时在固体的比热、
2
8 2m
h2
(E
E p )
0
其中， 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
统计热力学、原子光谱及 镭的放射性等方面的研究 都有很大成就。 1933年和 狄拉克共同荣获诺贝尔物 理学奖。薛定谔还是现代
称为拉普拉斯算符。 分子生物学的奠基人。
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