运筹学茹少峰课件1 共46页
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X 0
用列向量表示为：
min Z CX
n
x jPj b j 1
X 0
a 1 j
Pj
a2j
a mj
（2）为了把一般形式的LP变换为标 准形式，必须消除其不等式约束和符
号无限制变量。
目标函数的转换
约束条件的转换
变量的非负约束的转换
任何形式的线性规划数学模型都可以转 换成标准型的线性规划
这里我们假设 bi 0 ( i = 1,2,···,m),否则两
端同时乘以“-1”。
简记为： n min Z c j x j j 1
n
s.t.
aij x j bi i 1,2, m
j 1
x j 0, j 1,2,, n
用矩阵表示为：
minZ CX s.t. AX b
a 11 a 1 n A
a m 1 a mn
称 为 约 束 矩 阵 (C o n strain ts m atrix )，列 向 量 b (b1 , , b m ) T 称 为 右
端向量
a i1 x 1 a i2 x 2
（
a in x n
中 其 余 各 列 组 成 的 子 阵 记 为 N ,再 把 x ( x 1 , x 2 , , x n ) t 分
量 也 相 应 的 分 为 两 部 分 ， 记 为 x B 和 x N ， 则 AX b
可 重 写 为 ； Bx B Nx N b ， 由 于 B 非 奇 异 ， 则
D = ø 称该问题无解或不可行。
D ø 且可行域有界。则线性规划问题一定
存在最优解。这时最优解唯一，也可能有无 穷多。
D ø， 且可行域为无界，则线性规划问题
或者有最优解（唯一或 无穷多）也可能没有 有限的最优解。
当可行域非空时，可行域的几何结构为(多 面)凸集
四、基本解、基本可行解
二、线性规划问题的标准行式是什么？ 如何将一个LP问题的一般形式转换为
标准形式？
(1)、这里规定的标准形式为：
MinZc1x1 c2x2 cnxn a11x1 a12x2 a1nxn b1 a2 1x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm x1,x2 ,,xn 0
如何得到第一个基本可行解？
为了得到初始基本可行解，要首先找到初始基本可 行基，设B为约束矩阵的一个m阶子式，如果B非 奇异，则矩阵B是一个基，
进一步，若 B1b，那0么B是初始基本可行基。
B
0
1
b
就是初始基本可行解。找初始基本可行基的
方法如下
1．观察法与试验法。2.大M法。3.两阶段法
检验数为零，则 LP 问题有无穷多解。
当 检 验 数中 某 一个 分 量 k 0 同 时 有 当检验数中某一个分量 k 0 同时
B 1 Pk 0 ， 则 原 问 题 无 界 。
有 B 1 Pk 0 ， 则 原 问 题 无 界 。
b 显然， X 0 。 此 X D 。证完
说 明 X 满 足 LP 问 题 的 约 束 条 件 ， 因
线性规划问题的可行解X为基可行解的充要条件是 X的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证 明 ：（ 1 ） 必 要 性 ， 由 基 可 行 解 的 定 义 知 。
（ 2 ） 充 分 性 ， 若 向 量 P1 , P2 , , Pk 线 性 独 立 ， 则
第三章 线性规划的一般求解方法 ——单纯形法
一、线性规划问题的一般形式
它的一般形式为：
max或 (min）Zc1x1 cnxn
ai1xi1 ai2xi2 ainxin （或， ）bi
i 1,2,wk.baidu.com,m
xj1,xj2 ,xjk 0
其中，a
x
ij
j
, b i ，c j 是已知数，
x B B 1 b B 1 Nx N 令 xN 0 ， 就 得 到 约 束 方 程 组 的 一 种 特 殊 形 式 的 解
x
B
1b 0
，
称
这
一解为相应于
B
的基
本解。
当 B 1b 0 时 ， 称 基 本 解 为 基 本 可 行 解 。 这 是 对
应的基 B 称为可行基。由此可知；基的数目最多
则可将上述线性规划问题化成如下的标准型:
MinZ x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2,, x7 0
例4: 试将如下线性规划问题化成标准型
Min Z x1 2 x2 3x3
x1 x2 x3 7
x1
x2
x3
2
3x1 x 2 2 x3 5
x1 , x 2 0 , x3 无限制
(1) (2) (3)
解：令 x3 = x4 - x5 , x4 , x5 0 , (1)式左端加上 非负松弛变量 x6 , (2)式左端减去非负剩余变量 x7 ,
则
在
某
个
定
点
上
达
到
。虽
然
顶
点
数
目
是
有
限
的（
不
多
于C
m n
个 ）， 若 采 取 “ 枚 举 法 ” 找 所 有 的 基 可 行 解 ， 然 后 一 一 比
较 ，最 终 可 以 找 到 最 优 解 。但 当 m , n 较 大 时 这 种 方 法 是 行
不通的，如何有效的找到最优解，这就是单纯形法。
六、单纯形法(Simplex method)
量 组 ， 其 对 应 的 解 恰 为X ， 所 以 根 据 定 义 它 是 基
可行解。
X是基本可行解的充分必要条件是 X是可行域D的顶点
证明：充分性。设X 是 D 的顶点，则X 满足约
束条件，X 是一可行解，仍设X 的前k 个
分量取正值。即
X (x1 , x2, , xk ,0, ,0) 。则其正分量
是待决策的变量。
c 1 x 1 c n x n 称 为 目 标 函 数 (O b jectiv e fu n ctio n ), c j 称 为 价 值 系 数 (C o st C o efficien t),向 量 C (c1 , c 2 , c n ) 称 为 价 值
向 量 。 由 系 数 a ij 组 成 的 矩 阵 ，
一般情况下 m < n , m , n 为正整数,
分别表示约束条件的个数和决策变量的个数,
由前面一般形式可知,线性规划问题可能有各种 不同的形式。目标函数有实现最大化也有实现 最小化的;约束条件可以是“ ”形式、“” 形式不等式,有的是等式
决策变量有时有非负限制有时没有。这 种多样性给讨论问题代来了不便。为了便 于今后讨论，我们就要规定线性规划问题 的标准型
如何判断基本可行解是最优解？
对线性规划问题的求解结果可能出现唯 一最优解、无穷多最优解、无界解和无 可行解四种情况，
标准型
检验向量 判别结果
MaxZ CX AX b X 0, b 0
MinZ C X AX b X 0, b 0
C B B 1 A C 0 时，则 B 为最优基，基本可行解
对应的系数列向量 P1 , P2 , , Pk 一定线性无
关。从而，由定理 2 知X 为基本可行解。
这 一 部 分 是 线 性 规 划 部 分 的 基 本 定 理 ，也 是 单 纯 形 法 求 解 LP 问 题 的 数 学 原 理 。 通 过 这 一 部 分 的 学 习 ， 一 定 要 清 楚 线性规划问题的可行解、基可行解、最优解的几何意义。 即 线 性 规 划 问 题 的 所 有 可 行 解 构 成 的 集 合 是 凸 集 ，也 可 能 为 无 界 域 ，他 们 有 有 限 个 顶 点 ，线 性 规 划 问 题 的 每 个 基 可 行解对应可行域的一个顶点；若线性规划问题有最优解，
为
C
m n
个
，基
解
的
数
目
最
多
也
为
C
m n
个
，一
般
基
本
可行解的数目要小于基解的数目。
解之间的关系
可行解：满足约束条件 AX b X 0
最优解：满足约束条件，同时使目标函数值最优。
基础解：满足 AXb且, 非零分量的数目不大于方 程的个数m。
基可行解：是基础解又是可行解。
基最优解：满足约束条件，且无非零分量，或非 零分量对应的列向量现性无关，同时使目标函数值 最优。
(basic solution、basic feasible solution)
minZ CX s.t. AX b
X 0
秩（A）=m，则矩阵A中存在一个m阶满秩 子方阵B。称B矩阵为线性规划问题的一个基。
故 A 中 必 有 m 个 线 性 无 关 的 列 向 量 。 构 成 满 秩 方 阵 B ,把 A
一个基本可行解是最优解。
若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集
证明：只需证明 D 上的任意两点为端点的线段 上的点全部属于 D。
对 于 任 意 给 定 的 0 ,1 ， 令
X X 1 (1 ) X 2
则
AX AX 1 (1 ) AX 2
b (1 )b
五、 LP问题的几何意义（单纯 形表的数学原理）
若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是的正
分量所对应的系数列向量线性无关。 X是基本可行解的充分必要条件是X是可行域D的顶点 一个标准的LP问题，若有可行解，则至少有一个基本
可行解 一个标准的LP问题，若有有限的最优值，则一定存在
三、什么是可行解、可行域， 可行域的几何结构？
满足所有约束条件的决策变量，称为可 行解或可行点(feasible point)。
使目标函数值最大的可行解称为最优解
所 有 可 行 点 组 成 的 集 合 称 为 可 行 域 （feasible region），记为D.
给定一个LP问题可行域D,下列三种情况 必居其一
Z C B B 1b
XB
B 1b
X CB B1 A C
B 1 A
2． 单纯形方法步骤
Step1 转换一般的LP模型为标准型。 Step2 找一个初始可行基。 Step3 计算单纯形表中的各矩阵。 Step4 构造单纯形表。 Step5 判断最优解，是，则结束。否 则，转入下一步。 Step6 换基迭代，返回Step5。
由以上定理可知，最优解一定在某一 基本可行解处达到。因此单纯形法的 基本思想是：先找一个基本可行解， 然后判断它是否为最优解，如不是， 就找一个更好的基本可行解，再进行 判断，如此迭代进行，直到找到最优 解或者判断该问题无界。
1．单纯形表
为了计算的方便，我们可以将单纯形法的全部计 算过程在一个类似增广矩阵的数表上进行，这种 表格称单纯形表，不同的教材设计表格稍有不同， 这里设计如下：
C B B 1 A C 0 时，则 B 为最优基，基本可行
B
1b 0
就
是
最
优
解
，
C
B
B
1
就
是
最
优
值。
当 0 又存在某个非基变量的检验数为
零，则 LP 问题有无穷多解。
解
B
1b 0
就
是
最
优
解
，
C
B
B
1
就
是
最优值。
当 0 ，又存在某个非基变量的
R（i或g
h
t
-
ha
n，d-
s）i d
e
b
i
，
i
vecto r
1,2,
）
,m 和
，
xj1,xj2, 称xjk为约0束条件(Subject to)。 xjl 0,l称1, 为,变k量的非负约束条件。其余的变量 可取正值、负值、或零值，称这样的变量为符号 无限制变量或自由变量。 线性规划模型的特征是：一组决策变量 ，一组约 束条件。一个目标函数。目标函数和约束条件都 是线性的。
必有，k m ；当k m 时，他们恰构成一个基，
从 而 X ( x1 , x 2, , x k ,0, ,0) 为 相 应 的 基 可 行 解 。当 k m 时 ，则 一 定 可 以 从 其 余 的 基 向 量 中 m k 个 与 P1 , P2 , , Pk 构 成 最 大 的 线 性 独 立 向
用列向量表示为：
min Z CX
n
x jPj b j 1
X 0
a 1 j
Pj
a2j
a mj
（2）为了把一般形式的LP变换为标 准形式，必须消除其不等式约束和符
号无限制变量。
目标函数的转换
约束条件的转换
变量的非负约束的转换
任何形式的线性规划数学模型都可以转 换成标准型的线性规划
这里我们假设 bi 0 ( i = 1,2,···,m),否则两
端同时乘以“-1”。
简记为： n min Z c j x j j 1
n
s.t.
aij x j bi i 1,2, m
j 1
x j 0, j 1,2,, n
用矩阵表示为：
minZ CX s.t. AX b
a 11 a 1 n A
a m 1 a mn
称 为 约 束 矩 阵 (C o n strain ts m atrix )，列 向 量 b (b1 , , b m ) T 称 为 右
端向量
a i1 x 1 a i2 x 2
（
a in x n
中 其 余 各 列 组 成 的 子 阵 记 为 N ,再 把 x ( x 1 , x 2 , , x n ) t 分
量 也 相 应 的 分 为 两 部 分 ， 记 为 x B 和 x N ， 则 AX b
可 重 写 为 ； Bx B Nx N b ， 由 于 B 非 奇 异 ， 则
D = ø 称该问题无解或不可行。
D ø 且可行域有界。则线性规划问题一定
存在最优解。这时最优解唯一，也可能有无 穷多。
D ø， 且可行域为无界，则线性规划问题
或者有最优解（唯一或 无穷多）也可能没有 有限的最优解。
当可行域非空时，可行域的几何结构为(多 面)凸集
四、基本解、基本可行解
二、线性规划问题的标准行式是什么？ 如何将一个LP问题的一般形式转换为
标准形式？
(1)、这里规定的标准形式为：
MinZc1x1 c2x2 cnxn a11x1 a12x2 a1nxn b1 a2 1x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm x1,x2 ,,xn 0
如何得到第一个基本可行解？
为了得到初始基本可行解，要首先找到初始基本可 行基，设B为约束矩阵的一个m阶子式，如果B非 奇异，则矩阵B是一个基，
进一步，若 B1b，那0么B是初始基本可行基。
B
0
1
b
就是初始基本可行解。找初始基本可行基的
方法如下
1．观察法与试验法。2.大M法。3.两阶段法
检验数为零，则 LP 问题有无穷多解。
当 检 验 数中 某 一个 分 量 k 0 同 时 有 当检验数中某一个分量 k 0 同时
B 1 Pk 0 ， 则 原 问 题 无 界 。
有 B 1 Pk 0 ， 则 原 问 题 无 界 。
b 显然， X 0 。 此 X D 。证完
说 明 X 满 足 LP 问 题 的 约 束 条 件 ， 因
线性规划问题的可行解X为基可行解的充要条件是 X的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证 明 ：（ 1 ） 必 要 性 ， 由 基 可 行 解 的 定 义 知 。
（ 2 ） 充 分 性 ， 若 向 量 P1 , P2 , , Pk 线 性 独 立 ， 则
第三章 线性规划的一般求解方法 ——单纯形法
一、线性规划问题的一般形式
它的一般形式为：
max或 (min）Zc1x1 cnxn
ai1xi1 ai2xi2 ainxin （或， ）bi
i 1,2,wk.baidu.com,m
xj1,xj2 ,xjk 0
其中，a
x
ij
j
, b i ，c j 是已知数，
x B B 1 b B 1 Nx N 令 xN 0 ， 就 得 到 约 束 方 程 组 的 一 种 特 殊 形 式 的 解
x
B
1b 0
，
称
这
一解为相应于
B
的基
本解。
当 B 1b 0 时 ， 称 基 本 解 为 基 本 可 行 解 。 这 是 对
应的基 B 称为可行基。由此可知；基的数目最多
则可将上述线性规划问题化成如下的标准型:
MinZ x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2,, x7 0
例4: 试将如下线性规划问题化成标准型
Min Z x1 2 x2 3x3
x1 x2 x3 7
x1
x2
x3
2
3x1 x 2 2 x3 5
x1 , x 2 0 , x3 无限制
(1) (2) (3)
解：令 x3 = x4 - x5 , x4 , x5 0 , (1)式左端加上 非负松弛变量 x6 , (2)式左端减去非负剩余变量 x7 ,
则
在
某
个
定
点
上
达
到
。虽
然
顶
点
数
目
是
有
限
的（
不
多
于C
m n
个 ）， 若 采 取 “ 枚 举 法 ” 找 所 有 的 基 可 行 解 ， 然 后 一 一 比
较 ，最 终 可 以 找 到 最 优 解 。但 当 m , n 较 大 时 这 种 方 法 是 行
不通的，如何有效的找到最优解，这就是单纯形法。
六、单纯形法(Simplex method)
量 组 ， 其 对 应 的 解 恰 为X ， 所 以 根 据 定 义 它 是 基
可行解。
X是基本可行解的充分必要条件是 X是可行域D的顶点
证明：充分性。设X 是 D 的顶点，则X 满足约
束条件，X 是一可行解，仍设X 的前k 个
分量取正值。即
X (x1 , x2, , xk ,0, ,0) 。则其正分量
是待决策的变量。
c 1 x 1 c n x n 称 为 目 标 函 数 (O b jectiv e fu n ctio n ), c j 称 为 价 值 系 数 (C o st C o efficien t),向 量 C (c1 , c 2 , c n ) 称 为 价 值
向 量 。 由 系 数 a ij 组 成 的 矩 阵 ，
一般情况下 m < n , m , n 为正整数,
分别表示约束条件的个数和决策变量的个数,
由前面一般形式可知,线性规划问题可能有各种 不同的形式。目标函数有实现最大化也有实现 最小化的;约束条件可以是“ ”形式、“” 形式不等式,有的是等式
决策变量有时有非负限制有时没有。这 种多样性给讨论问题代来了不便。为了便 于今后讨论，我们就要规定线性规划问题 的标准型
如何判断基本可行解是最优解？
对线性规划问题的求解结果可能出现唯 一最优解、无穷多最优解、无界解和无 可行解四种情况，
标准型
检验向量 判别结果
MaxZ CX AX b X 0, b 0
MinZ C X AX b X 0, b 0
C B B 1 A C 0 时，则 B 为最优基，基本可行解
对应的系数列向量 P1 , P2 , , Pk 一定线性无
关。从而，由定理 2 知X 为基本可行解。
这 一 部 分 是 线 性 规 划 部 分 的 基 本 定 理 ，也 是 单 纯 形 法 求 解 LP 问 题 的 数 学 原 理 。 通 过 这 一 部 分 的 学 习 ， 一 定 要 清 楚 线性规划问题的可行解、基可行解、最优解的几何意义。 即 线 性 规 划 问 题 的 所 有 可 行 解 构 成 的 集 合 是 凸 集 ，也 可 能 为 无 界 域 ，他 们 有 有 限 个 顶 点 ，线 性 规 划 问 题 的 每 个 基 可 行解对应可行域的一个顶点；若线性规划问题有最优解，
为
C
m n
个
，基
解
的
数
目
最
多
也
为
C
m n
个
，一
般
基
本
可行解的数目要小于基解的数目。
解之间的关系
可行解：满足约束条件 AX b X 0
最优解：满足约束条件，同时使目标函数值最优。
基础解：满足 AXb且, 非零分量的数目不大于方 程的个数m。
基可行解：是基础解又是可行解。
基最优解：满足约束条件，且无非零分量，或非 零分量对应的列向量现性无关，同时使目标函数值 最优。
(basic solution、basic feasible solution)
minZ CX s.t. AX b
X 0
秩（A）=m，则矩阵A中存在一个m阶满秩 子方阵B。称B矩阵为线性规划问题的一个基。
故 A 中 必 有 m 个 线 性 无 关 的 列 向 量 。 构 成 满 秩 方 阵 B ,把 A
一个基本可行解是最优解。
若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集
证明：只需证明 D 上的任意两点为端点的线段 上的点全部属于 D。
对 于 任 意 给 定 的 0 ,1 ， 令
X X 1 (1 ) X 2
则
AX AX 1 (1 ) AX 2
b (1 )b
五、 LP问题的几何意义（单纯 形表的数学原理）
若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是的正
分量所对应的系数列向量线性无关。 X是基本可行解的充分必要条件是X是可行域D的顶点 一个标准的LP问题，若有可行解，则至少有一个基本
可行解 一个标准的LP问题，若有有限的最优值，则一定存在
三、什么是可行解、可行域， 可行域的几何结构？
满足所有约束条件的决策变量，称为可 行解或可行点(feasible point)。
使目标函数值最大的可行解称为最优解
所 有 可 行 点 组 成 的 集 合 称 为 可 行 域 （feasible region），记为D.
给定一个LP问题可行域D,下列三种情况 必居其一
Z C B B 1b
XB
B 1b
X CB B1 A C
B 1 A
2． 单纯形方法步骤
Step1 转换一般的LP模型为标准型。 Step2 找一个初始可行基。 Step3 计算单纯形表中的各矩阵。 Step4 构造单纯形表。 Step5 判断最优解，是，则结束。否 则，转入下一步。 Step6 换基迭代，返回Step5。
由以上定理可知，最优解一定在某一 基本可行解处达到。因此单纯形法的 基本思想是：先找一个基本可行解， 然后判断它是否为最优解，如不是， 就找一个更好的基本可行解，再进行 判断，如此迭代进行，直到找到最优 解或者判断该问题无界。
1．单纯形表
为了计算的方便，我们可以将单纯形法的全部计 算过程在一个类似增广矩阵的数表上进行，这种 表格称单纯形表，不同的教材设计表格稍有不同， 这里设计如下：
C B B 1 A C 0 时，则 B 为最优基，基本可行
B
1b 0
就
是
最
优
解
，
C
B
B
1
就
是
最
优
值。
当 0 又存在某个非基变量的检验数为
零，则 LP 问题有无穷多解。
解
B
1b 0
就
是
最
优
解
，
C
B
B
1
就
是
最优值。
当 0 ，又存在某个非基变量的
R（i或g
h
t
-
ha
n，d-
s）i d
e
b
i
，
i
vecto r
1,2,
）
,m 和
，
xj1,xj2, 称xjk为约0束条件(Subject to)。 xjl 0,l称1, 为,变k量的非负约束条件。其余的变量 可取正值、负值、或零值，称这样的变量为符号 无限制变量或自由变量。 线性规划模型的特征是：一组决策变量 ，一组约 束条件。一个目标函数。目标函数和约束条件都 是线性的。
必有，k m ；当k m 时，他们恰构成一个基，
从 而 X ( x1 , x 2, , x k ,0, ,0) 为 相 应 的 基 可 行 解 。当 k m 时 ，则 一 定 可 以 从 其 余 的 基 向 量 中 m k 个 与 P1 , P2 , , Pk 构 成 最 大 的 线 性 独 立 向