杆件的内力分析与内力图
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m2 m3 m1 m4
n A T
– 4.78 – 9.56
25
B
C
D
6.37
x
§5–4 弯曲 剪力图与弯矩图
一、弯曲的概念
1. 工程实例
26
§5–4 弯曲 剪力图与弯矩图
一、弯曲的概念 2. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 3. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Fs1 2 b
x
图（a）
Y qL F
Fs1 qL
s1
0
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
对所留部分而言是外力）。
7
§5–2 轴向拉压
一、概念
轴力图
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸长或缩短。
F F
8
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
9
二、轴力及轴力图 1. 轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。 P P P A A A 简图 FN x
37
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 (1) P MO L 解：①求支反力 Fs(x) M(x)
YO P ; MO PL
YO Fs(x)
x
②写出内力方程
P
Fs( x) YO P(0 x L)
–PL
x
M ( x) YO x M O P( x L)(0 x L)
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
31
三、弯曲内力： [举例]已知：如图，P，a，l。求： A 距A端x处截面上内力。 解：①求外力 a P B l P
X 0, XA 0 Pa mA 0 , RB l P(l a) Y 0 , YA l
FN 2 PB Pc PD 0
FN2= –3P
13
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA B PB FN3 PD C PC C
D
PD D PD
FN4
PC 求BC段，CD段内力分别为FN3，FN4：设置截面 如图 FN3= 5P X 0 FN4= P
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束力。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
29
③固定端 3个约束力。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
XA
YA
MA
M — 集中力偶
q(x) — 分布力 ②悬臂梁
30
③外伸梁 q — 均布力 P — 集中力
mx 0 T m 0 T m
3 扭矩的符号规定：
m
m
m
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则。让
其它四指与T转向一致，右手拇指指向外法线为正。
21
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
11
x
强度计算提供依据。
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA FN1 A PA B PB B PB C PC C PC
D
PD D PD
解： 求OA段内力FN1：设置截面如图
X 0 FN1 PA PB P PD 0 C
5
二、内力 · 截面法
1. 截面法的基本步骤：
例3： 截面法求内力
下刀刃
n n
上刀刃
截开：
FS
F
F
F
代替： 平衡：
F 0
F Fs 0
Fs F
6
二、内力 · 截面法 · 轴力 2、总结：截面法求内力的步骤
① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力
XA A YA
B RB
32
②求内力——截面法
m XA A
P B
P(l a) Y 0 , Fs YA l mC 0 , M YA x
剪力 ∴ 弯曲构件内力 弯矩 1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。
YA
m
x
RB
A
YA M
Fs C Fs C RB
m2
1
m3
2
m1
3
m4
T2 m2 m3 0 ,
A
1
B
2
C
n 3 D
T2 m2 m3 (4.78 4.78 ) 9.56kN m T3 m4 0 , T2 m4 6.37kN m
24
③绘制扭矩图
T max 9.56 kN m BC段为危险截面。
27
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
28
①固定铰支座 2个约束力。
T
x
22
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1 9.55
P 500 1 9.55 n 300 A 15.9(kN m)
M(x)
x
41
(3) A
P
C
a L Fs1 +
b
–
+
M1
Pab L
解：①求支反力 bP aP B RA ; RB L L ②内力方程 AC段 b Fs ( x) RA P(0 x a ) L x b M ( x) Px (0 x a) L CB段 a Fs ( x) RA P P(a x L) L x b M ( x) Pa Px (a x L) L ③根据方程画内力图
扭转变形是指杆件受到大小相等，方向相反且作用平面垂直于
杆件轴线的力偶作用，使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形的杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的， 所以主要介绍圆轴扭转。
A
B
O
A
O B
m
m
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
17
§5–3 扭转
M(x)
x
③根据方程画内力图
38
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 (1) P L A B
Fs(x)
P
AB段无外力作用，剪力 图为水平直线，弯矩图 为斜直线，且弯矩图的 斜率等于剪力图的数值 x
–PL
M(x)
x
39
(2)
q
解：①写出内力方程
x Fs(x)
L Fs(x)
M(x)
Fs( x) qx(0 x L)
35
2--2截面处截取的分离体
qL
2 1
q
Y qL Fs
2
q( x2 a) 0
1 a
y qL x
2
b
Fs2 q( x2 a L)
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Fs2
10
P P
4. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN与外法线反向,为负轴力(压力) FN FN FN FN F N>0 F N<0
三、 轴力图—— FN (x) 的图象表示。
意 义 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 FN P +
33
M P
2. 剪力：Fs
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定: ①剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Fs(+) Fs(+) Fs(–) Fs(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
34
第5章杆件的内力分析与内力图
•一、 基本概念与基本方法
•二、 轴力图与扭矩图
•三、 剪力图与弯矩图
1
§5–1 基本概念与基本方法
一、整体平衡与局部平衡的概念
弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从上 截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为 整体平衡或总体平衡；后者称为局部部平衡。
2
二、内力 · 截面法 1. 内力 物理中的内力：构件内部质点间的相互作用力。 材料力学的内力：外力作用引起构件内部的附加相互作 用力。 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。
3
二、内力 · 截面法
1. 截面法的基本步骤：
例1： 截面法求内力 P 截开： 代替： 平衡： P P A A A 简图 FN P P
X 0
P FN 0
P FN
4
二、内力 · 截面法
1. 截面法的基本步骤：
例2： 截面法求内力
截开：
m 代替：
m
x
m 平衡：
x T
mx 0
T m 0 T m
14
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O FN 2P + – 画出轴力图： F 2P N1 FN3= 5P FN2= –3P FN4= P
15
A PA
B PB +
C PC P
D
PD
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu O
A PA 2P + –
B PB
C PC
1 M2 q( x2 a)2 qLx2 2
36
四、剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Fs Fs ( x) M M ( x)
剪力方程
弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Fs Fs(x) 的图线表示 M M (x) 的图线表示
D PD
FN
+
P
x
结论：杆件截面上的内力与外力的相依关系
当杆件上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发 生突变时，内力的变化规律也将发生变化。 外力突变：指有集中力、集中力偶作用的情形，或分布载 荷间断或分布载荷集度发生突变。 内力变化规律：指内力变化的函数或变化的图线
16
§5–3 扭转
扭矩图
W p 10001N m
W Me 2 n 1N m 60
外力偶矩Me每秒内作功完成w为 两式相等，可得外力偶矩Me为
P Me 9.55 (kN m) n
p Me 9549 N m n
20
二、扭矩及扭矩图
1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
1 2 M ( x) qx (0 x L) 2
x – qL
qL2 2
②根据方程画内力图
M(x)
x
40
(2)
q
Fs( x) qx(0 x L)
L Fs(x) x – qL
qL2 2
1 2 M ( x) qx (0 x L) 2
弯矩方程对x的导数等 于剪力方程，剪力方程 对x的导数等于梁所受 载荷。
FN1 5P 8P 4P P 0
FN1 2P
12
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA FN2 B PB B PB C PC C PC D PD
D
PD
求AB段内力FN2：设置截面如图
X 0
n
B C D
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
23
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m
扭矩图
工 程 实 例
18
§5–3
传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 1 直接计算
外力偶矩：
Me＝Fd
19
§5–3
传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 2 按输入功率和转速计算 已知： 轴转速－n转/分钟 输出功率－p 千瓦 求力偶矩Me 电机每秒钟内输入功w为
n A T
– 4.78 – 9.56
25
B
C
D
6.37
x
§5–4 弯曲 剪力图与弯矩图
一、弯曲的概念
1. 工程实例
26
§5–4 弯曲 剪力图与弯矩图
一、弯曲的概念 2. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 3. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Fs1 2 b
x
图（a）
Y qL F
Fs1 qL
s1
0
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
对所留部分而言是外力）。
7
§5–2 轴向拉压
一、概念
轴力图
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸长或缩短。
F F
8
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
9
二、轴力及轴力图 1. 轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。 P P P A A A 简图 FN x
37
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 (1) P MO L 解：①求支反力 Fs(x) M(x)
YO P ; MO PL
YO Fs(x)
x
②写出内力方程
P
Fs( x) YO P(0 x L)
–PL
x
M ( x) YO x M O P( x L)(0 x L)
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
31
三、弯曲内力： [举例]已知：如图，P，a，l。求： A 距A端x处截面上内力。 解：①求外力 a P B l P
X 0, XA 0 Pa mA 0 , RB l P(l a) Y 0 , YA l
FN 2 PB Pc PD 0
FN2= –3P
13
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA B PB FN3 PD C PC C
D
PD D PD
FN4
PC 求BC段，CD段内力分别为FN3，FN4：设置截面 如图 FN3= 5P X 0 FN4= P
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束力。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
29
③固定端 3个约束力。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
XA
YA
MA
M — 集中力偶
q(x) — 分布力 ②悬臂梁
30
③外伸梁 q — 均布力 P — 集中力
mx 0 T m 0 T m
3 扭矩的符号规定：
m
m
m
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则。让
其它四指与T转向一致，右手拇指指向外法线为正。
21
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
11
x
强度计算提供依据。
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA FN1 A PA B PB B PB C PC C PC
D
PD D PD
解： 求OA段内力FN1：设置截面如图
X 0 FN1 PA PB P PD 0 C
5
二、内力 · 截面法
1. 截面法的基本步骤：
例3： 截面法求内力
下刀刃
n n
上刀刃
截开：
FS
F
F
F
代替： 平衡：
F 0
F Fs 0
Fs F
6
二、内力 · 截面法 · 轴力 2、总结：截面法求内力的步骤
① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力
XA A YA
B RB
32
②求内力——截面法
m XA A
P B
P(l a) Y 0 , Fs YA l mC 0 , M YA x
剪力 ∴ 弯曲构件内力 弯矩 1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。
YA
m
x
RB
A
YA M
Fs C Fs C RB
m2
1
m3
2
m1
3
m4
T2 m2 m3 0 ,
A
1
B
2
C
n 3 D
T2 m2 m3 (4.78 4.78 ) 9.56kN m T3 m4 0 , T2 m4 6.37kN m
24
③绘制扭矩图
T max 9.56 kN m BC段为危险截面。
27
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
28
①固定铰支座 2个约束力。
T
x
22
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1 9.55
P 500 1 9.55 n 300 A 15.9(kN m)
M(x)
x
41
(3) A
P
C
a L Fs1 +
b
–
+
M1
Pab L
解：①求支反力 bP aP B RA ; RB L L ②内力方程 AC段 b Fs ( x) RA P(0 x a ) L x b M ( x) Px (0 x a) L CB段 a Fs ( x) RA P P(a x L) L x b M ( x) Pa Px (a x L) L ③根据方程画内力图
扭转变形是指杆件受到大小相等，方向相反且作用平面垂直于
杆件轴线的力偶作用，使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形的杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的， 所以主要介绍圆轴扭转。
A
B
O
A
O B
m
m
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
17
§5–3 扭转
M(x)
x
③根据方程画内力图
38
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 (1) P L A B
Fs(x)
P
AB段无外力作用，剪力 图为水平直线，弯矩图 为斜直线，且弯矩图的 斜率等于剪力图的数值 x
–PL
M(x)
x
39
(2)
q
解：①写出内力方程
x Fs(x)
L Fs(x)
M(x)
Fs( x) qx(0 x L)
35
2--2截面处截取的分离体
qL
2 1
q
Y qL Fs
2
q( x2 a) 0
1 a
y qL x
2
b
Fs2 q( x2 a L)
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Fs2
10
P P
4. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN与外法线反向,为负轴力(压力) FN FN FN FN F N>0 F N<0
三、 轴力图—— FN (x) 的图象表示。
意 义 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 FN P +
33
M P
2. 剪力：Fs
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定: ①剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Fs(+) Fs(+) Fs(–) Fs(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
34
第5章杆件的内力分析与内力图
•一、 基本概念与基本方法
•二、 轴力图与扭矩图
•三、 剪力图与弯矩图
1
§5–1 基本概念与基本方法
一、整体平衡与局部平衡的概念
弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从上 截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为 整体平衡或总体平衡；后者称为局部部平衡。
2
二、内力 · 截面法 1. 内力 物理中的内力：构件内部质点间的相互作用力。 材料力学的内力：外力作用引起构件内部的附加相互作 用力。 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。
3
二、内力 · 截面法
1. 截面法的基本步骤：
例1： 截面法求内力 P 截开： 代替： 平衡： P P A A A 简图 FN P P
X 0
P FN 0
P FN
4
二、内力 · 截面法
1. 截面法的基本步骤：
例2： 截面法求内力
截开：
m 代替：
m
x
m 平衡：
x T
mx 0
T m 0 T m
14
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O FN 2P + – 画出轴力图： F 2P N1 FN3= 5P FN2= –3P FN4= P
15
A PA
B PB +
C PC P
D
PD
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu O
A PA 2P + –
B PB
C PC
1 M2 q( x2 a)2 qLx2 2
36
四、剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Fs Fs ( x) M M ( x)
剪力方程
弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Fs Fs(x) 的图线表示 M M (x) 的图线表示
D PD
FN
+
P
x
结论：杆件截面上的内力与外力的相依关系
当杆件上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发 生突变时，内力的变化规律也将发生变化。 外力突变：指有集中力、集中力偶作用的情形，或分布载 荷间断或分布载荷集度发生突变。 内力变化规律：指内力变化的函数或变化的图线
16
§5–3 扭转
扭矩图
W p 10001N m
W Me 2 n 1N m 60
外力偶矩Me每秒内作功完成w为 两式相等，可得外力偶矩Me为
P Me 9.55 (kN m) n
p Me 9549 N m n
20
二、扭矩及扭矩图
1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
1 2 M ( x) qx (0 x L) 2
x – qL
qL2 2
②根据方程画内力图
M(x)
x
40
(2)
q
Fs( x) qx(0 x L)
L Fs(x) x – qL
qL2 2
1 2 M ( x) qx (0 x L) 2
弯矩方程对x的导数等 于剪力方程，剪力方程 对x的导数等于梁所受 载荷。
FN1 5P 8P 4P P 0
FN1 2P
12
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA FN2 B PB B PB C PC C PC D PD
D
PD
求AB段内力FN2：设置截面如图
X 0
n
B C D
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
23
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m
扭矩图
工 程 实 例
18
§5–3
传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 1 直接计算
外力偶矩：
Me＝Fd
19
§5–3
传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 2 按输入功率和转速计算 已知： 轴转速－n转/分钟 输出功率－p 千瓦 求力偶矩Me 电机每秒钟内输入功w为