第二章 杆件的内力与内力图

第二章 杆件的内力与内力图
§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式
一、杆件的内力与内力分量
内力是工程力学中一个非常重要的概念。

内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。

显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。

在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。

这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。

需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。

受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力
N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。

轴力
N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。

剪力
y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。

扭矩x
M 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。

弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。

二、杆件变形的基本形式
实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。

杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。

1、轴向拉伸和压缩变形
轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。

其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。

其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。

轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。

图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。

内燃机中的连杆、压缩机
中的活塞杆等均属此类。

它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。

2、剪切变形
工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。

在联接部位，一般要有起联接作用的部
件，这种部件称为联接件。

例如图2-3a 所示两块钢板用铆钉(也可用螺栓或销钉)联接成
一根拉杆，其中的铆钉(螺栓或销钉)就是联接件。

图2-3
铆钉、螺栓等联接件的主要受力和变形特点如图2-3b 所示。

作用在联接件两侧面上的一
对外力的合力大小相等，均为F，而方向相反，作用线相距很近；并使各自作用的部分沿着与
合力作用线平行的截面m-m(称为剪切面)发生相对错动。

这种变形称为剪切变形。

3、扭转变形
杆件若受到作用面垂直于轴线的力偶的作用时，将会产生扭转变形。

工程中常把产生的变
形以扭转变形为主的杆件称为轴。

大多数受扭的杆件其横截面为圆形，称为圆轴。

圆轴扭转时
的变形特点是：各相邻截面产生绕杆件轴线的相对转动，杆件表面的纵向线将变成螺旋线。

机
械工程中的传动轴通常是圆形截面，建筑工程中常遇到的则是矩形截面。

房屋中的雨篷梁（图
2-4）和边梁（图2-5）均为受扭的杆件。

图2-4 图2-5
4、弯曲变形
弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。

如图2-6所示的楼板梁、公路桥梁、单位长度的混凝土重力坝和机车轮轴等的变形都是弯曲变形。

当杆件受到垂直于杆件轴线的荷载或作用面与杆件轴线共面的外力偶作用时，杆件的轴线将由直线变形为一条曲线，这种变形称为弯曲变形。

以弯曲变形为主要变形的杆件称为受弯构件或梁式杆，水平或倾斜放置的梁式杆简称为梁。

这类杆件的受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力作用。

其变形特点是：杆件的轴线被弯成一条曲线。

图2-6
三、求解杆件内力的方法
根据已知外力求解杆件横截面上内力的基本方法是截面法。

为求图2-7a所示两端受轴向拉力F的杆件任一横截面1-1上的内力，可假想地用与杆件轴线垂直的平面，在1-1截面处将杆件截开；
取左段为研究对象，设右段截面对左段截面的作用力用合力F N来代替（图2-7b），并沿杆轴线方向建立平衡方程：
=
-F
F
N
∴
F F
N
=
这种假想地将杆件截开成两部分，从而显示并解出内力的方法称为截面法。

用截面法计算内力的步骤为：
（1）截假想地沿待求内力所在截面将杆件截开成两部分。

（2）取：取截开后的任一部分作为研究对象。

（3）代：画出保留部分的受力图，其中要把弃去部分对保留部分的作用以截面上的内力代替。

（4）平衡：列出研究对象的平衡方程，计算内力的大小和方向。

在用截面法求解杆件任一横截面上的内力分量时，若内力分量的方向不易判断，则一般采用设正法——按正向假设，若最后求得的内力分量为正号，则表示实际内力分量的方向与假设方向一致，若最后求得的内力分量为负号，则表示实际内力分量的方向与假设方向相反。

§2-2 轴向拉压杆和扭转杆的内力与内力图
一、轴向拉压杆的内力与内力图——轴力与轴力图
轴向拉压杆的横截面上只有一个内力分量——轴力N
F。

用截面法可求出轴向拉压杆任一横截面上的轴力。

轴力的正负由杆件的变形确定。

为保证无论取左段还是右段作研究对象所求得的同一截面上轴力的正负相同，对轴力的正负号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法线一致时，轴力为正；反之为负。

由此知，当杆件受拉时轴力为正，杆件受压时轴力为负。

工程实际中，轴向拉压杆所受外力可能很复杂，这时轴向拉压杆各横截面上的轴力将随截
面位置的变化而变化，N F 将是横截面位置坐标x 的函数。

即
()x F F N N = 这种函数关系称为轴向拉压杆的轴力方程。

为了清楚地表达杆件各截面的轴力，采取作轴力图的方法：以平行于杆件轴线的x 坐标表
示各横截面的位置，以垂直于杆轴线的F N 坐标表示对应横截面上的轴力，把轴力方程表示的函
数关系用图形表示出来，这样画出的函数图形称为轴力图。

例2-1 求图6-6a 中杆件1-1、2-2截面上的内力。

已知1F =6KN ，2F =10KN ，
3F =4KN 。

解 （1）求1-1截面上的内力。

从1-1截面处截开，取左段为研究对象，受力如图2-6c
所示。

∑x F = 0 1F + 1N F = 0 1N F ＝－1F ＝－6KN(压)
（2）求2-2截面上的内力。

从2-2截面处截开，取右段为研究对象，受力如图2-6d 所示。

∑x F = 0 －2N F ＋ 3F = 0 2N F =3F =4KN
（3）绘制该杆的轴力图，如图2-6b 所示。

例2-2 图2-7a 所示杆件，已知1F =70KN 、2F =20KN 、3F =10KN ，试绘出轴力图。

图2-7 图2-6
解：（1）求1-1、2-2、3-3截面的轴力。

对图2-7c ∑x F = 0 －1N F －3F = 0 ， 1N F = －3F = -10KN （压）
对图2-7d ∑Fx = 0， －2N F －2F －
3F = 0 ， 2N F = －2F －3F = －30KN （压）
对图2-7e ∑x F = 0 ， －3N F +1F －2F －
3F = 0 ， 3N F =1F －2F －3F =
40KN （拉） （2）绘出轴力图 如图4-7b 所示。

例2-3 图2-8a 所示截面面积为A ，高为2L 的等截面钢杆，顶端固定，B 截面受力F 1=5KN ，
C 截面受力F 2=10KN 作用， 绘出钢杆的轴力图。

解： （1）计算距顶端为A 处横截面的轴力.从A 处截面截开,取AC 为段为研究对象,受力
如图2-8b 所示。

该段所受外力有F1和F2。

由平衡条件 得
∑F X =0 F N （A ）+F 1 – F 2 = 0 F N （A ）
= 10–5 = 5KN
同理，F N （B 〞）= 5KN ，沿B ＇截面截开，取B ＇C 为研究对象，如图2-8d 所示。

由平衡
方程 得
∑Fx = 0 F N （B ˊ）=10KN
轴力图如图2-8e 所示。

二、扭转杆的内力与内力图——扭矩与扭矩图
受扭杆的横截面上只有一个内力分量——扭矩M x 。

用截面法可求出受扭杆任一横截面上的扭矩。

图2-8
如图2-9a 所示为某转动轴简图，为求任一截面上的扭矩，假想地沿图示截面截开，用M x 代替两段间相互作用的扭矩，取左段研究其平衡（图4-9b ），可得
∑M = 0 x M – M e = 0 x M = M e
若取右段研究其平衡（图4-9c ），也能求得截面上的扭矩，但与取左段时的扭矩转向相反。

为使得分别取左、右两段时求得的同一截面上的扭矩不仅数值而且符号也相同，用右手法则确定扭矩的正负符号。

即以右手四指表示扭矩的转向，拇指指向与截面外法线一致时为正扭矩，反之为负扭矩（如图4-9d 、图4-9e ）。

计算时，通常都假定扭矩为正，若求得的结果为负值，则表示扭矩的实际转向与假设相反。

对于受力复杂的受扭杆，各横截面上的扭矩x M 将是横截面位置坐标x 的函数。

即
()x M M x x = 这种函数关系称为受扭杆的扭矩方程。

对于受多个外力偶作用的圆轴，为了分析各截面上扭矩的大小，常用图示的方法来表示：以横坐标表示各截面的位置，以纵坐标表示各截面扭矩的大小，并标上正负号，这种表达受扭杆各不同位置截面扭矩分布情况的图形，称为扭矩图。

实际工程中，受扭杆所受到的外力偶矩（或称转矩）M 通常不是直接给出的，已知的是轴的转速ｎ和转递功率P ，可以根据功率、转速、力偶矩之间的如下关系计算外力偶矩：
图2-9
M = 9549n P
式中M 为外力偶矩，单位是牛·米（N ·m ）；Ｐ为转递功率，单位是千瓦（kW ）；ｎ为轴的转速，单位是转数／分（r/min ）。

例2-4 图2-10所示传动轴，轴的转速ｎ＝300 r/min ，输入功率P A ＝220 kW ，输出功率P B ＝110 Kw,P C ＝110 Kw,试作该轴的扭矩图。

解： （1）计算外力偶矩
A M ＝9549n P
=9549⨯300220N ·m ＝7KN ·m B M ＝9549n P
=9549⨯300110N ·m ＝
3.5KN ·m C M ＝9549n P =9549⨯300110
N ·m ＝3.5KN ·m
AB 段，取左端为研究对象如图2-10(c ）。

BC 段取右端为研究对象如图2-10（d ）
1x M ＝A M ＝7KN 2x M ＝C M ＝3.5KN
作转动轴AC 的扭矩图,图2-10(b)所示。

例2-5 轴的计算简图如图2-11a 所示。

试作出该轴的扭矩图。

（d ） （c ）
图2-10
解: 该轴仍分为三段即AB 、BD 、DE 进行计算。

为避免计算支座反力，各段在计算扭矩时，可均取右段为研究对象。

计算1-1截面的扭矩 如图2-11C 所示。

∑=0M 1x M -2=0 1x M =2KN ·m
计算2-2截面的扭矩 如图2-11d 所示。

∑=0M
2x M +8-2=0 2x M ＝－6KN ·m 计算3-3截面的扭矩 如图2-11e 所示。

∑=0M 3x M －9＋8－2=0
3x M ＝3 KN ·m 作扭矩图,如图2-11b 所示。

§2-3 弯曲杆（梁）的内力与内力图
如前所述，以弯曲变形为主要变形的杆件称为受弯构件或梁式杆，水平或倾斜放置的梁式杆简称为梁。

本节主要讨论几种单跨静定梁的内力和内力图。

工程上常见的单跨静定梁一般可分为如下三类：
简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，如图2-12a 所示。

悬臂梁 梁的一端为固定端，另一端自由，如图2-12b 所示。

外伸梁 梁的一端或两端伸出支座之外的简支梁，如图2-12c 所示。

(a) (b) (c)
梁横截面上的内力分量一般有两项：剪力F Q 和弯矩M 。

梁横截面上的内力计算，仍然采用截面法。

现以图2-13所示的简支梁为例,说明求梁任一截面m-m 上的内力的方法。

图2-12
图2-11
根据梁的平衡条件，先求出梁在荷载作用下的支座反力F A 和F B ，然后用截面法计算其内力。

沿m-m 截面将梁截开，取左段为研究对象，由图2-13b 可见，为使梁左段平衡，在横截面m-m 上必然存在一个平行于截面方向的内力F Q 。

则平衡方程为
∑=0Fx A F - F Q = 0 F Q = A F
F Q 是横截面上切向分布内力分量的合力，称为剪力。

因剪力F Q 与支座反力F A 组成一力偶，故在横截面m-m 上必然存在一个内力偶与之平衡（图2-13b ）。

设此内力矩为M ，则平衡方程为
∑=0Mo M –x F A ⋅= 0 M = x F A
这里的矩心O 是横截面m-m 的形心。

M 是横截面上的法向分布内力分量的合力偶矩，称为弯矩。

当然，截面上的内力也可以通过取右段梁为研究对象求得，其结果与取左段为研究对象求得的结果大小相等、方向相反。

为了使得无论取左段还是取右段梁，得到的同一截面上的剪力和弯矩不仅大小相等，而且符号一致，通常根据梁的变形来规定它们的正负号。

图2-13
图2-14
①剪力：当截面上的剪力对所取的研究对象内部任一点产生顺时针转向的矩时，为正剪力，反之为负剪力（图2-14a）。

②弯矩：当截面上的弯矩使所取梁段下边受拉、上边受压时，为正弯矩，反之为负弯矩（图2-14b）。

上述结论可归纳为一个简单的口诀“左上右下，剪力为正；下部受拉，弯矩为正”。

计算梁指定截面上的剪力和弯矩最基本的方法是截面法，其步骤如下：
①计算支座反力；
②用截面法将梁从需求内力的截面出截为两段；
③任取一段为研究对象，画出受力图（一般将剪力和弯矩均假设为正）；
④建立平衡方程，求解出剪力和弯矩。

例2-6 简支梁如图2-15a所示。

试求横截面1-1，2-2，3-3上的剪力和弯矩。

图2-15
解：（1）求支座反力
由梁的整体平衡条件，求得支座反力为
F A = F B = 10KN
（2）求横截面1-1上的剪力和弯矩
沿1-1截面将梁截为两段，取左段为研究对象，并设截面上的剪力F Q 1和弯矩M1均为正（图2-15b）。

列平衡方程
∑=0
Fy
FA- F Q 1 = 0 F Q 1 = FA = 10KN
∑=0
Mo
M1-FA×1m = 0 M1 = FA×1M = 10KN·m
（3）求横截面2-2上的剪力和弯矩
沿横截面2-2将梁截为两段，取左段为研究对象，设截面上的剪力F Q 2和弯矩M2均为正（图2-15c）。

列平衡方程
∑=0
Mo
Fy∑=0
可得F Q 2 = 0 M2 = 20 KN·m
（4）求横截面3-3上的剪力和弯矩
沿横截面3-3将梁截为两段，取右段为研究对象，设截面上的剪力F Q 3和弯矩M3均为正（图5-6d）。

列平衡方程
∑=0
Fy∑=0
Mo
可得F Q 3 = -10KN M3 = 10 KN·m 一般情况下，梁上各截面的剪力和弯矩值是随位置不同而变化的。

如果沿梁的轴线方向建立x轴，梁横截面的位置用x坐标来表示，则剪力和弯矩应该是x的函数，
F Q = F Q（X）M = M(x)
上面的函数表达式，称为梁的内力方程，其中第一个方程称为剪力方程，第二个方程称为弯矩方程。

剪力方程和弯矩方程分别表达了梁截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的规律。

表示剪力和弯矩随梁截面位置的不同而变化的情况的图形，分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图大体相似。

剪力图中一般把正剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方；需要特别注意的是，土木工程中习惯把弯矩画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x轴的下方，负弯矩画在x轴的上方。

下面，通过例题来说明根据内力方程绘制梁的剪力图和弯矩图的方法。

例 2-7 图2-16a所示的悬臂梁AB，自由端受力F的作用，试作剪力图和弯矩图。

图2-16
解：（1）列剪力方程和弯矩方程
设梁左端为坐标原点，在距梁的原点x处取一截面，写出该截面的剪力值和弯矩值，即为剪力方程和弯矩方程
F Q（x）= - F （0＜x＜l）
M（x） = - Fx （0≤x＜l）
(2)作剪力图和弯矩图。

F Q（x）为一常数，所以函数图形为水平直线，见图5-7b示。

M（x）为一次函数，图形为直线，取两点：
当x = 0 时M A = 0
当x = l 时M B = -F l
连接AB两点的弯矩值得M图，见图2-16c所示。

例2-8简支梁受均布荷载作用，如图2-17a所示，试作梁的剪力图和弯矩图。

解： （1）求支座反力 由梁的对称性可得
ql F F B A 21=
=
(2) 列剪力方程和弯矩方程
取梁左端A 距离为x 处的截面，写出该截面的剪力值和弯矩值。

F Q （x ）=21
q l －q x （０＜x ＜l ） M （x ）＝21q l ·x －q x ·21
x
＝21q l ·x －21
2ql
（０≤x ≤l ）
（３）作剪力图和弯矩图
剪力方程为一次函数，取两点作图可得剪力图，如图2－17b 所示。

当x = 0 时 F Q Ａ＝21
q l
当x = l 时 F Q Ｂ＝－21
q l
弯矩方程为二次抛物线，至少选三点，即Ａ、Ｂ和跨中Ｃ点。

当x = 0 时 M A = 0
图2-17
当x = l 时 M B ＝21q l ·l －21
q l ２
＝０ 当x =Ｃ时 M Ｃ= 81
q l
２
将三点用一条光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，如图2-17b 所示。

例 2-9 简支梁AB 在C 处受一集中力F 作用，如图2-18a 所示，试作剪力图和弯矩图。

图2-18
解： （1） 求支座反力
∑=0
B
M
-F A ·l ＋Ｆ·b = 0
F A = l Fb
∑=0A M -Ｆ·a ＋F B ·l
＝０
F B = l Fa
（2）列剪力方程和弯矩方程
由于集中力F 的作用，整个AB 梁段的内力不能用一个方程表达，应分为AC 段和CB 段分段列内力方程。

AC 段 取距离原点A 处为x 1 的任意截面。

F Q （x 1）= F A =l Fb （ 0 ＜ x 1＜ a ） M （x 1）= F A ·x 1 ＝l Fb
x 1 （ 0 ≤ x 1≤ a ）
ＡＣ段剪力为一水平线，弯矩为一条斜直线。

当x 1 = 0 时 M A = 0
当x 1= a 时 M C =l Fb ·a ＝l Fab
CB 段 取距原点A 处为x 2的任意截面。

F Q （x 2）＝－l Fa
（ a ＜ x 1＜l ）
M （x 2）＝l Fa
·(l －x 2) （ a ≤ x 1≤l ）
CB 段剪力仍为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

对弯矩图
当x 2= a 时 M C =l Fa (l －a ) ＝l Fab
当x 2= l 时 M B =l Fa
(l －l )＝０
最后所得梁的剪力图和弯矩图如图2-18b 、c 所示。

§2－4 弯矩、剪力和分布荷载间的微分关系
弯矩、剪力和分布荷载集度之间存在微分关系。

利用这些关系可以简捷地作出梁的剪力图和弯矩图。

图2-19a 所示梁上作用有任意分布载荷q(x)，q(x)以向下为正。

任取一微段dx 来研究，如图5-10b 所示。

微段左侧的剪力为 F Q (x)，弯矩为M （x ）；微段右侧剪力和弯矩较左侧之均有一个微小的增量：剪力为F Q (x)+d F Q (x)；弯矩为M （x ）+d M （x ）；由于dx 很小，微段上的q(x)可认为是均布的。

图2-19
由平衡条件
∑=0Fy
F Q (x)－q(x)·dx －〔F Q (x)＋d F Q (x)〕= 0 得
)
()(x q dx
X dF Q -= （a ）
=∑C
M
－M （x ）+M （x ）+d M （x ）－F Q (x )·dx ＋q(x)·dx ·2dx
＝０
略去高阶微量2)(2dx 项，得 )()
(x F dx x dM Q = (b)
将（a ）式中的F Q (x)用(b)式代换，得
)()
(2
2x q dx x M d -= （c ）
式（a ）、（b ）、（c ）表达了弯矩、剪力和荷载集度之间的微分关系，即：剪力对x 的一阶导数等于荷载集度的负值；弯矩对x 的一阶导数等于剪力；弯矩对x 的二阶导数等于荷载集度的负值。

根据这一微分关系，可得出梁的剪力图和弯矩图规律如下： ①
在无载荷作用的一段梁上，该梁段内各横截面上的剪力F Q (x)为常数，则剪力图为
一条水平直线；弯矩图为一斜直线，且斜直线的斜率等于该梁段上的剪力。

②
在均布载荷作用的一段梁上，q(x)为常数，且q(x)≠0。

剪力图必然是一斜直线弯
矩图是二次抛物线。

若某截面上的剪力F Q (x)=0，则该截面上的弯矩为极值。

③在集中力作用处的左、右两则截面上剪力图有突变，突变值等于集中力的值；两则截面上的弯矩值相等，但由于两则的剪力值不同，所以弯矩图在集中力作用处两则的斜率不相同，弯矩图曲线发生转折，出现尖角，尖角的指向与集中力的指向相同。

④集中力偶作用的左、右两则截面上，剪力相等；弯矩发生突变，突变值等于集中力偶的数值。

利用上述规律绘制梁的内力图的主要步骤如下： ①正确求解支座反力。

②根据荷载及约束力的作用位置，确定控制截面。

③应用截面法确定控制截面上的剪力和弯矩数值。

④应用平衡微分方程确定各段控制截面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。

例2-10 利用微分关系，作图2-20a 所示梁的剪力图和弯矩图。

解：（1）求梁的支座反力得
Ay
F ＝３KN
By
F ＝15KN
（2）作剪力图。

该梁可分AC 、CB 、和BD 段。

各段均无荷载，可求出各段代表截面的剪力
==Ay L QC F F 3KN
-
=Ay R QC F F 12KN ＝－9KN
6
=R QB F KN
绘出各段的剪力图，如图2-20b 所示。

从上面的计算得到的剪力图可以看出。

在集中力作用处（B 、C 两截面处）剪力要发生突变，突变值等于该集中力的值。

（3）绘制弯矩图
AC 段为斜直线，=A M 0 31=⨯=m F M Ay L
C KN
CB 段为斜直线，
=
⨯=m F M Ay R
C 13KN 616-=⨯-=m KN M L
B KN ·m
BD 段为斜直线，
-=R B M 6 KN ·m 0=D M 绘出各段的弯矩图，如图2-20c 所示。

从上例计算可以看出：集中力作用处左右两侧截面的弯矩相等，但弯矩图要发生转折。

例2-11 简支梁受力如图2－21a 所示。

试画出其剪力图和弯矩图，并确定二者绝对 值的最大值
F Q max
和M max 。

图2-20
图2-21
解：（1）确定支座处的约束力 由整体平衡方程
可求得 （2）选择
控制截面，并确定其上之剪力和弯矩值
在集中力和集中力偶作用处的两侧截面，以及支座约束力内侧截面均为控制面，即图2－21a 中所示A 、B 、C 、D 、E 、F 各截面均为控制截面。

应用截面法和平衡方程，求得这些控制截面上的剪力和弯矩值分别为：
A 截面： F Q = — 0.89 kN ， M = 0
B 截面： F Q = －0.89 kN ， M = —1.335 kN ·m
C 截面： F Q = － 0.89 kN ， M = — 0.335 kN ·m
D 截面： F Q = － 0.89 kN ， M = 一1.665 kN · m
E 截面：
F Q =1.11 kN ， M = —1.665 kN ·m F 截面： F Q =1.11 kN ， M =0 （3）作剪力图和弯矩图
因为梁上没有分布载荷作用，所以AB 、CD 、EF 各段F Q （x ）图形均为水平直线；M （x ）图形均为斜直线。

由各控制截面的内力可得到梁的剪力图与弯矩图如图7－5b 、c 所示。

从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为
KN
F Q
111max
．=
kNm
M
665.1max
=
从图中不难看出AB 段与CD 段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。

此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩也是不相等的(但剪力相等)，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，可以证明，这是维
持DE 小段和BC 小段梁的平衡所必需的。

例2－12 外伸梁受力如图2－22a 所示。

试画出其剪力图与弯矩图，并确定
Q
F max
和
M
max
值。

图2-22
解：（1）根据梁的整体平衡，确定支座约束力
F Ay ＝49qa F By ＝43qa
（2）确定控制截面及控制截面上的F Q 、M 值
由于AB 段上作用有连续分布载荷，故A 、B 两个截面为控制面，约束力F By 右侧的C 截面，以及集中力左侧的D 截面，也都是控制面。

应用截面法和平衡方程求得A 、B 、C 、D 四个控制面上的F Q 、M 数值分别为：
A 截面： F Q ＝49
qa ， M ＝0 B 截面： F Q ＝－47
qa ， M ＝qa 2
C 截面： F Q ＝—qa ， M ＝qa 2
D 截面： F Q ＝—qa ， M ＝0 分别得到相应的a 、b 、c 、d 各点，如图2－22c 、d 所示。

2．根据平衡微分方程连图线
对于剪力图：在AB 段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a 、b 两点，
即得这一段的剪力图；在CD 段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于C 轴的直线，由连接c 、d 二点而得，或者由其中任一点作平行于x 轴的直线而得。

对于弯矩图：在AB 段，因为有均布载荷作用，图形为二次抛物线。

又因为q 向下为负，故弯矩图为凸向M 坐标正方向的曲线。

这样，AB 段内弯矩图的形状便大致确定。

为了确定曲线的位置，除AB 段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有无极值点，
以及极值点的位置和弯矩数值。

从剪力图上可以看出，在e 点剪力为零。

根据)
()
(x F dx
x dM =弯矩图在e 点有极值点。

利用 F Q ＝0 这一条件，可以确定极值点e 的位置。

为了确定M E 的数值，由图7－13b 所示之隔离体的平衡方程 ∑ M C = 0 由此解得
=E M 2
3281qa
得到e 点，根据a 、b 、c 三点，以及图形为下凸曲线，并在e 点取极值，即可画出AB 段的弯矩图。

在CD 段因无分布载荷作用，故弯矩图为一斜直线，它由c 、d 两点直接连得。

从图中可以看出：在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等）。

弯矩图在该处出现折角（曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线的斜率）。

例2－13 图2－23a 所示等截面直梁，在B 、C 两处分别为固定铰支座和辊轴支座，梁在AB 和BC 段分别承受向上和向下的均匀分布载荷作用，其集度均为q 。

试画出梁的剪力图和弯矩图。

图2-23
解：（1）确定B 、C 两处的约束力
根据整体平衡的要求，由∑ M B ＝0 ，∑ M C ＝0 ，求得
F Cy = ql ， F By = ql
（2）确定控制截面及控制截面上的剪力值和弯矩值
在B 、C 两处均有集中力作用，A 处为分布荷载作用的起点，所以在A 右侧、B 处两侧、 C 左侧的四个截面（图中虚线所示）均为控制面。

采用假想截面分别从图2－23a 所示A 、B ′、B ″、C 处将梁截为两部分，考察左边或右边部分平衡，即可求得各控制面上的剪力和弯矩如下： A 截面： F Q ＝0，M （A ）＝0
B ′截面： F Q ＝ql ，M ＝21
ql 2
B ″截面： F Q ＝0 ，M ＝21
ql 2
C 截面： F Q ＝－ql ，M ＝0
上述数值，得到a 、b ′、b ″、c 四点。

然后，利用平衡微分方程，判断控制面之间剪力和弯矩变化图线的大致形状。

A ～
B ′之间：因为q 向上，可见F Q 按直线变化，但斜率为正；M z 按二次抛物线变化，
且为凹向M z 坐标正方向的二次抛物线；同时，根据A 处剪力为零，由)()
(x F dx x dM ，可以
判断二次抛物线的极值点在点a 处。

据此，即可绘制出AB ′段上的剪力图和弯矩图。

B ″～
C 之间：因为q 向下，由此可见，F Q 按直线变化，但斜率为负；M z 按二次抛物线变化，且为凸向M z 坐标正方向的二次抛物线；又因为截面B ″上剪力为零，故点b ″（与b ′重合）为B ″C 段弯矩抛物线的极值点。

据此，即可给制B ″C 段的剪力图和弯矩图。

可以看出，绝对值最大的剪力发生在截面B ′和C 上，其绝对值均为ql ；绝对值最大的弯矩发生在B
截面处，其值为21
ql 2。

§2－5 利用叠加原理绘制弯矩图
结构或构件在小变形的情况下，由多个外力所引起的某一参数（支座反力、内力、变形等）等于每个外力单独作用时所引起的该参数的叠加。

这个结论称叠加原理。

应该注意，叠加原理只有在参数与外力成线性关系时才成立。

由前面的例子可以看出，梁在外力作用下（小变形情况）所产生的内力满足这一关系，所以梁在多个外力作用下所引起的内力可以利用叠加原理来求。

对某些梁段，用叠加原理来绘制弯矩图是比较简捷的。

下面举例说明。

例2-14 用叠加法绘制图2-24所示梁的弯矩图。