数值分析非线性方程求根

xk 1 (xk ), k 0,1,2, . 称 ( x)为迭代函数.
(2.1) (2.2)
如果对任何初值x0 [a,b],由(2.2)得到的序列{xk}有极限
lim
k
xk
x*,
则称迭代公式(2.2)收敛，且x* (x*)是(x)的不动点，
故称(2.2)为不动点迭代法.
说 明： 隐式化为显式，迭代法 是一种逐次逼近法；其
第7章 解非线性方程的迭代法
§1 方程求根与二分法
一、引言
考虑单变量非线性方程
f (x) 0
(1.1)
的求根问题，其中x R, f (x) C[a,b].
非线性方程的分两类：
1. 代数方程,
a0xn a1xn1 an1x an 0,
其中a0 0,ai R(i 0,1, ,n).如: x3 x 1 0. 2. 超越方程, 如: x ex 0.
• ④若b-a＜ε,则输出方程满足精度的根x,结 束;否则转向②。
图 7.2
2. 计算框图 (见下页）
例1 求方程 f(x)=x3-x-1=0
在区间(1,1.5)内的根。要求用四位小数计算,
精确到小数点后两位。
解 这里a=1,b=1.5，取区间(1,1.5)的中点
x0
1 2
Leabharlann Baidu
(1 1.5)
1.25
如果f (x)可以分解为 f (x) (x x*)m g(x),
其中0 | g(x*) | , m为正整数. 则称x *为f (x)的m重零点. 此时 f (x*) f (x*) f (m1) (x*) 0, f (m) (x*) 0. 若f (x) C[a,b], f (a) f (b) 0, 则可用搜索法求有根区间.
二分法缺点：收敛不够快，特别是精 度要求高时，工作量大，而且不能 够求复根及双重根。
§2 迭代法
一、不动点迭代
将非线性方程f (x) 0化为等价形式
x (x). f (x*) 0 x* (x*) ; 称x *为函数(x)的一个不动点. 给定初始近似值x0,可以得到x1 (x0).
如此反复，构造迭代公式
基本思想就是将隐式方 程（2.1）归结为一组显式的 计算公式（2.2），就是说，迭代过程 实质上是一个 逐步显示化的过程。
几何意义（. 如下图）
如果点列﹛Pk﹜趋向于点P*，则相应的迭代值xk收敛到 所求根x*.
例3 求x3 x 1 0在1.5附近的根x *. 解：（1）x0 1.5，xk1 3 xk 1,(k 0,1,2, ).
x1=2.375 x2=12.3976
这种不收敛的迭代过程称作是发散的。如下图：
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
定 理 1 如果迭代函数 (x) C[a,b] , 并且 (1) x [a,b], 都有(x) [a,b],
由于f(1)＜0,f(1.25)＜0,则令
a1=1.25, b1=1.5 得到新的有根区间(1.25,1.5)
如此重复二分下去，二分法的计算结果如下表
取x6=1.3242，误差限| x6-x*|<0.5/(2^7)<0.005,故x6即为所求近
似根，实际上根x*=1.324717…
二分法优点：计算简单，收敛性有保 证；
• 设f(x)为定义在某区间上的连续函数, 方程(1.1)存在实根。虽然方程(1.1)的根的 分布范围一般比较复杂,但我们不难将函 数f(x)的定义域分成若干个只含一个实根 的区间。
•
例如考虑方程
•
x2-2x-1=0
• 由图7.1所示,该方程的一个负实根在-1 和0之间,另一个正实根在2和3之间。
k xk 0 1.5 1 1.35721 2 1.33086 3 1.32588 4 1.32494 5 1.32476 6 1.32473 7 1.32472
虽然迭代法的基本思想很简单,但效果并不总是令人 满意的。对于上例,若按方程写成另一种等价形式
x=x3-1 建立迭代公式
xk+1=x3k-1, k=0,1,2,… 仍取初始值x0=1.5,
例1 求方程x ex 0的有根区间.
x
−1 0 1 2
f(x)的符号 − − + +
• 方程根的数值计算大致可分三个步骤进行:
• (1) 判定根的存在性。 • (2)确定根的分布范围,即将每一个根用
区间隔离开来。 • (3)根的精确化,即根据根的初始近似值
按某种方法逐步精确化,直至满足预先要 求的精度为止。
图 7.1
• 这样,我们总可以假设方程(1.1)在(a,b) 内有且仅有一个单实根x*。由连续函数 的介值定理知
•
f(a)·f(b)＜0
• 若数值b-a较小,那么我们可在(a,b)上 任取一点x0作为方程的初始近似根。
• 例如,方程
f(x)=x3-x-1=0
• 由 于 f(1) ＜ 0,f(1.5) ＞ 0, 又 f(x) 在 区 间 (1,1.5)上单调连续,故可知在(1,1.5)内有且 仅有一个实根。于是可取某个端点或区 间内某一个点的值作为根的初始近似值。
(1.3)
x xk
1 2k 1
(b
a)
(1.3)
对于确定的精度ε,从式(1.3)易求得需要二等分
的次数k。
二分法具有简单和易操作的优点。其计算步骤如
下,框图如图7.2所示。
• 1.计算步骤
• ①输入有根区间的端点a,b及预先给定的 精度ε;
• ②(a+b)/2 x;
• ③若f(a)f(x)＜0,则x=b,转向④;否则x=a,转 向④。
(a b) / 2. x0 , b1 b;
假如f
(x0 )是f
( x)的零点，
的如根此再在反取复x1x哪1二一分(侧a下1，去b从，1)而2确,然定后一通个过新根的的有搜根索区判间定a所2 ,求b2 ,
故[a,b] [a1,b1] [ak ,bk ] ,
且有
xk (ak bk ) / 2 x*, | xk x* | (bk ak ) / 2 (b a) / 2k1.
• 设函数f(x)在区间［a,b］上单调连续,且
•
f(a)·f(b)＜0
•
则 方 程 (1.1) 在 区 间 (a,b) 内 有 且 仅 有
一个实根x。
二、二分法
二分法简述.
如那图么否若（输f则a出(）aax)10与设,停ffa((,止axb10).)同假fx(号0b若.)，不则0然,取a，1 x0