度量空间中自列紧集、紧集、连通集与连续映射

开集与连续映射

1.定义在度量空间的开子集上的函数,连续⇔开集的逆象是开集。 证明：

设X 、Y 是度量空间，A 是X 的开子集，设有映射:f A Y →。 (1)充分性:

设映射:f A Y →连续，需证开集的逆象是开集。

设S 是Y 的任一开子集，并设S 的逆象是()1R f S -=。任取x R ∈，那么

()f x S ∈。因为A 是开集，所以存在正数x σ使得(),x U x A σ⊆。因为S 是开集，

所以存在正数x ε使得()(),x U f x S ε⊆。因为:f A Y →是连续映射，故存在正数

x τ使得()()()(),,x x f U x A U f x S τε⋂⊆⊆。

设{}min ,x x x δστ=,那么()(),,x x U x U x A δσ⊆⊆且()(),,x x U x U x δτ⊆，所以

()()()()()()()(),,,,x x x x f U x f U x A f U x A U f x S δδτε=⋂⊆⋂⊆⊆，那么

(),x U x R δ⊆

。所以S 的逆象()1

R f S -=是开集。

(2)必要性:

设开集的逆象是开集，需证映射:f A Y →连续。

任取x A ∈。任取正数x ε，设()(),x S U f x ε=，显然S 是Y 的开子集。设S 的逆象是()1R f S -=，那么R 是开集，所以存在正数x δ使得(),x U x R δ⊆ 。因为

()1R f S -= ，所以 ()()(),x f R S U f x ε⊆= 。又因为(),x U x R δ⊆，所以()()()()(),,x x f U x f R S U f x δε⊆⊆= 。所以映射:f A Y →连续。

自列紧集(列紧闭集)与连续映射

1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。 证明:

设X Y 、是度量空间，A 是X 的自列紧子集。

设:f A Y →是连续映射,象集为()B f X Y =⊆。设{}n y 是B 的序列。对任意正整数k ，设k y 的某个原象是k x A X ∈⊆，这样得到X 的序列{}n x 。因为X 是自列紧集，存在{}n x 的子列{}

n N x 收敛于0x X ∈。因为:f A Y →连续，所以序列

{}(){}n

n

N N y f x =收敛于()0

f x B ∈。{}(){}n n

N N y f x =是{}n

y 的子序列，故象集B

是自列紧集。所以自列紧集在连续映射下的象是自列紧集。

2.度量空间的自列紧子集到实数集连续映射可以取到最大最小值。 证明：

设X 是度量空间，A 是X 的自列紧子集。

设:R f A →是连续映射,象集为()R B f X =⊆。那么B 是自列紧集。由于实数集中的自列紧集是有界闭集，而有界闭集一定有最大最小值（若无，可构造出收敛于确界的序列，那么确界便为聚点，矛盾）。所以:R f A →可以取到最大最小值。

3.n R 的非空子集有最值性质(任意到R 的连续映射有最大最小值)当且仅当它是自列紧集。 证明: 充分性：

度量空间的自列紧子集具有最值性质已证。n R 是度量空间，所以n R 的非空自列紧子集有最值性质。

必要性：

假设A 是n R 的非自列紧子集，则A 是无界或不闭的(n R 中自列紧集等价于有界闭集)。

(1)若A 无界，定义函数()f x x =，该函数连续但是没有最大值。 (2)若A 不闭，存A 的序列{}n x 收敛于点0x A ∉。定义函数()0f x x x =－，该函数没有最小值,因为它可以任意接近于0但是取不到0。

综上，n R 的非自列紧子集不具有最值性质。

所以n R 的非空子集有最值性质当且仅当它是自列紧集。

紧集与连续映射

1.度量空间的紧子集在连续映射下的象是紧集。 证明:

设X Y 、是度量空间，A 是X 的紧子集。设:f A Y →是连续映射,象集为

()B f X Y =⊆。

设B 的一个开覆盖为G 。任意S G ∈是开集，所以对任意y S ∈，存在邻域

(),y U y S ε⊆。对于任意()1x f y -∈(()1f y -是y 的原象集)，因为:f A Y →是连

续映射，所以存在邻域(),x U x δ使得()()(),,x y f U x A U y δε⋂⊆。对于每个y S ∈记

()

()

1

,x y x f

y U U x δ-∈=

，易知

y

U 是开集,且

()()()()()()()11,,,y x f y x f y x x f U f U x f U x U y S δδε--∈∈⎛⎫

==⊆⊆ ⎪ ⎪⎝⎭

；

对每个S G ∈，记S y y S

R U ∈=

，易知S R 是开集，且()()S y y S

f R f U S ∈=

⊆；记{}|S F R S G =∈。

对于任意x A ∈,()f x B ∈。而G 是B 的开覆盖，所以存在S G ∈使得()f x S ∈。那么()S f x x U R ∈⊆，所以F 是A 的一个开覆盖。因为A 是紧集，F 可以选出有限

覆盖{}

|1,2k R k n =，对应于G 的有限子集为{}|1,2k S k n =，其中()()k

k y k y S f R f U S ∈=

⊆。所以 ()()11

1n n

n

k k k k k k B f A f R f R S ===⎛⎫=⊆=⊆

⎪⎝⎭。 所以 {}|1,2k S k n = 是B 的有限覆盖。所以B 是紧集。

2. 度量空间的紧子集到实数集连续映射可以取到最大最小值。 证明：

设X 是度量空间，A 是X 的紧子集。

设:f A →R 是连续映射,象集为()B f X =⊆R 。那么B 是紧集。由于实数集中的紧集是有界闭集，而有界闭集一定有最大最小值（若无，可构造出收敛于确界的序列，那么确界便为聚点，矛盾）。所以:f A →R 可以取到最大最小值。