混沌控制综述_李卫东
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
综 述
Survey
《 自 动 化 技 术 与 应 用 》２ ０ ０ ９ 年 第 ２ ８ 卷 第 １ 期
混沌控制综述 ＊
李卫东， 王秀岩
（大连交通大学 电气信息学院，辽宁 大连 １１６０２８）
摘 要：混沌控制是非线性科学应用的新研究领域。本文介绍了近些年来混沌控制新技术， 论述了混沌控制技术的巨大进展， 并对 其进行全面的分析和总结，最后指出其在理论和应用上都有十分诱人的前景。 关键词：混沌；混沌控制；应用 中图分类号：Ｏ４１５．５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３－７２４１（２００９）０１－０００１－０６
目标。一般情况下， 在混沌吸引子中的无穷多不稳定的 周期轨道常被作为首选目标， 其目的就是将系统的混沌 运动轨迹转换到期望的周期轨道上。不同的控制策略必 须遵循这样的原则： 控制律的设计须最小限度的改变原 系统，从而对原系统的影响最小［３］。从这个观点来看， 控 制方式可以分为两类： 反馈控制和非反馈控制。反馈控 制是一种十分成熟而且应用广泛的工程设计技术， 它主 要利用混沌系统的本质特征， 如对于初始点的敏感依赖 性， 来稳定已经存在于系统中的不稳定轨道。一般来说， 反馈控制的优点在于不需要使用除系统输出或状态以外 的任何有关给定被控系统的信息， 不改变被控系统的结 构， 具有良好的轨道跟踪能力和稳定性。其缺点在于要 求一个比较精确的数学模型和输入目标函数或轨道， 在 只存在观测数据而没有数学方程时不能直接使用。和反 馈控制方式相比， 非反馈控制主要利用一个小的外部扰 动， 如一个小驱动信号、噪声信号、常量偏置或系统参 数的弱调制来控制混沌， 该控制方式的设计和使用都十 分简单， 但无法确保控制过程的稳定性。这两种方式都 是通过混沌动力学系统的稍微改变来求得系统的稳定解。 在控制混沌的实现中， 最大限度地利用混沌的特 性， 对于确定控制目标和选取控制方法非常关键。混沌 控制的基本方法有： Ｏ Ｇ Ｙ 方法、连续反馈控制法（外力 反馈控制法和延迟反馈控制法） 、自适应控制法以及智 能控制法（神经网络和模糊控制）等［ ５
［４］
。
３．１ OGY方法
综观混沌发展的历史， 起初人们认为混沌是不可控 的，直到 １９９０ 年 ＯＧＹ 方法的提出才彻底改变了这种观点。 ＯＧＹ 控制法是一种参数微扰控制方法，利用混沌运动对很 小参数扰动的敏感性，选择一个易调节的参数进行微小扰 动，将混沌吸引子中无穷多个不稳定周期轨道中所需要的 周期轨道稳定住， 使系统进人需要的周期状态， 达到控制 混沌的目的。由于在双曲不动点附近存在局部稳定和局 部不稳定流形，可以将当前状态与目标的偏差及参数的摄 动看成微小量，将下一步状态与目标的偏差按以上两个微 小量做线性化展开，并使得下一步状态和目标的偏差矢量 与不稳定流形方向垂直， 即可得到当前参数的调节值。 这类控制不需要知道混沌系统的确切动力学行为，只 需要使用微小的控制信号， 从而降低控制代价， 把系统的 混沌状态控制在任意周期轨道上， 基本不受噪声的影响， 不改变系统本身的结构。但这种方法必须有一个确定的 目标函数或给定轨道，只适用于离散动力学系统及可用庞
３ 混沌控制方法
混沌控制方法有两种， 一是通过合适的策略、方法 及途径，有效地抑制混沌行为，使李雅普诺夫指数下降进 而消除混沌；二是选择某一具有期望行为的轨道作为控制
2 | Techniques of Automation & Applications
综 述
Survey
《 自 动 化 技 术 与 应 用 》２ ０ ０ ９ 年 第 ２ ８ 卷 第 １ 期
并且利用 Ｏ Ｇ Ｙ 方法可以实现混沌轨道的同步化， 其控制参量的扰动大小与系统状态输出量成正比， 从控 制理论角度来说属于线性反馈方法。
３．３ 自适应控制法
基于 Ｏ Ｇ Ｙ 方法存在的不足及实际问题需要， 很多 学者尝试用传统的控制手段实现混沌控制， 自适应控制 混沌运动是根据自适应原理发展而来， 由赫伯曼等人提 出的一种方法。在控制系统运动过程中， 系统自身来识 别被控的状态、性能或参量， 将系统当前的运行指标与 期望的指标加以比较， 改变控制器的结构、参量或控制 作用， 使系统运行在其所期望的指标下的最优或次优状 态。这种方法是通过参量的调整来控制系统， 使其达到 所需要的运动状态， 调节是依靠目标输出与实际输出之 间的差信号来实现的。例如连续时间混沌系统的参数 自适应控制； 离散混沌系统的自适应轨道控制。
wenku.baidu.com
《 自 动 化 技 术 与 应 用 》２ ０ ０ ９ 年 第 ２ ８ 卷 第 １ 期
综 述
Survey
若初值有微小偏差， 长时间后会出现较大的、无法预测 的偏差， 即系统的长期不可预测性。这一特性使得对系 统施加极小的扰动就可以对系统运动产生重大变化，人 们有可能在混沌条件下用经过特定选择的微小信号来 灵活、有效地控制系统的运动结果。 ２） 系统具有各态遍历性。混沌轨道的非周期轨道 在相空间中比周期轨道大得多， 即相空间中混沌吸引子 具有比任何周期吸引子大的维数， 而混沌运动在混沌吸 引子内部运动具有遍历性。人们可以在混沌吸引子存 在的任何范围内选择控制目标和实行控制操作， 使混沌 控制具有很大灵活性。 ３） 具有规律性的成分。
混沌系统以及控制的复杂性， 使人们自然考虑智能 方法引入到混沌控制中， 采用模糊逻辑控制器和神经网 络对混沌系统进行建模和控制已做了一些探索研究。
３．４．１ 神经网络法
人工神经网络已经被证明具有对非线性系统任意 逼近的特点， 把人工神经网络和混沌系统结合起来， 有 关学者相继提出了一些基于人工神经网络的混沌系统 的控制方法， 对有关混沌系统中的混沌行为实施有效的 控制。谭文等提出了基于前馈反传神经网络控制非线 性系统的混沌运动。控制算法以 ＯＧＹ 法为基础，用附加 动量的 Ｂ Ｐ 算法和可变学习速率的 Ｂ Ｐ 算法结合而成的 改进型 ＢＰ 学习算法镇定嵌入在不稳定混沌轨道中的吸 引子， 使之回到稳定不动点。 Ａｌｓｉｎｇ 采用反向传播 ＢＰ 网络来稳定嵌入混沌系统 的不稳定周期轨道。Ｃｈｅｎ － ＴｅｎｇＬｉｎ 提出了一种基于 Ｇ Ａ 的再激励学习神经网络控制器， 它不需要知道混沌 系统的平衡点， 而且不需要系统的输出数据即可将系统 稳定到高周期轨道上。
加莱映射表征的连续动力学系统，通常只能控制低周期轨 道。例如含控制参数 P 的 ｎ 维映射描述的有限动力系统：
k n 1
其中， τ为延迟时间， 应选取与所取的不稳定周期 时间相同， 通过调节 Ｋ 及 Ｄ （ ｔ） ，可以达到外力反馈控 制法的相同结果 ， 使混沌运动得到控制。
uk +1 = P(uk , pk ), uk ∈ R , pk ∈ R , k = 0,1, 2 （１）
９］
２．３ 混沌理论与应用
混沌不是偶然的、个别的事件， 而是普遍存在于宇 宙间各种各样的宏观及微观系统的， 万事万物， 莫不混 沌。混沌也不是独立存在的科学， 它与其它各门科学互 相促进、互相依靠， 由此派生出许多交叉学科， 如混沌 气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研 究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。 理论上研究混沌的目的是多方面的：揭示混沌的本质 （内在随机性） 、刻画它的基本特征、了解它的动力性态， 并力求对它加以控制，使之为人类服务。在过去 ２０ 年中， 混沌在工程系统中逐渐由被认为仅仅是一种有害的现象转 变到被认为是具有实际应用价值的现象来加以探讨。近年 来的大量研究工作表明，混沌与工程技术联系愈来愈密切， 它在生物医药工程、动力学工程、化学反应工程、电子信 息工程、计算机工程、应用数学和实验物理等领域中都有 着广泛的应用前景 。在应用方面， 主要包括混沌信号同 步化和保密通信，混沌预测，混沌神经网络的信息处理、混 沌与分形图像处理，基于混沌的优化方法、混沌生物工程、 天气系统、生态系统、混沌经济等。此外， 控制混沌的 技术还被应用到神经网络、激光、化学反应过程、流体力 学、非线性机械故障诊断系统、非线性电路、天体力学、 医疗以及分布参数的物理系统的研究工作中去。当前，在 一些混沌显得非常重要而且有用的领域，有目的地产生或 强化混沌现象已经成为一个关键性的研究课题。
A Survey of Chaotic Control
LI Wei-dong, WANG Xiu-yan
( DaLian JiaoTong University, Faculty of Electronic Information, DaLian 116028, China )
Abstract: Chaotic control is a new research filed of the nonlinear science. This paper introduces some recent developments of chaotic control. The application progress of the technology is also presented. Keywords:chaos;chaoticcontrol; application
３．２．１ 外力反馈控制法
外力反馈控制的特点是用强迫信号激励系统， 并与 响应信号比较， 给出控制信号对系统微扰。其前提是有 可控的无穷多周期和非周期轨道， 要求无微扰系统存在 混沌奇异吸引子。 考虑非线性常微分方程模拟的动力系统， 为简单起 见， 认为微扰控制仅扰动第一个方程的响应变量：
３．４ 智能控制法
３．２ 连续反馈控制法
尽管 Ｏ Ｇ Ｙ 方法及其改进法对混沌的有效控制使其 广泛地应用于力学、光学和环境科学等领域中， 但由于 它必须获得庞加莱截面， 并且需要确定所需的不稳定周 期轨道及不动点的特征值和特征向量， 这使它的应用受 到一定的限制。在 ＯＧＹ 控制方法的基础上，德国科学家 Ｋ． Ｐｙｒａｇａｓ 在 １９９３ 年提出了外力反馈控制法和延迟反 馈控制法。这两种方法都可以实现对混沌吸引子的连 续控制， 使不稳定周期趋于稳定。
２．２ 混沌的特点［３］
１） 对初值的极其敏感性。混沌的本质特征是系统
＊ 基金项目： 辽宁省教育厅高校科研基金（编号： ２ ０ ０ ４ Ｄ ０ ２ ７ ） 收稿日期： ２ ０ ０ ８ － ０ ７ － ２ ９
Techniques of Automation & Applications | 1
长期行为对初始条件的敏感依赖性， 或称“蝴蝶效应” ，
１ 引言
混沌是指发生在确定性系统中的貌似随即的不规则 运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确 定性、不可重复、不可预测， 这就是混沌现象。进一步 研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性 系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论（确定性理论提 出：只要知道初始条件就可以解决未来的一切，而混沌的 发现是对确定论最大的冲击。 ）能够处理的多为线性系 统， 而线性系统大多是由非线性系统简化来的， 因此， 在 现实生活和实际工程技术问题中， 混沌是无处不在的。 在自然界和人类社会中广泛存在混沌这一事实已 被普遍接受， 而如何应用混沌研究的成果为人类服务已 成为非线性科学发展提出的重要课题之一。由于混沌 运动的规律及特性， 混沌控制就成为混沌应用的关键环 节。同时混沌控制在工程技术上的重大研究价值和极 其诱人的应用前景， 使得混沌控制问题引起了国际上非 线性动力系统和工程控制专家的极大关注， 成为非线性 科学研究的热点之一［１］ 。
２ 混沌理论与应用
２．１ 混沌的定义
混沌科学的发展引起各学科的兴趣，但作为科学术 语， 混沌没有被普遍认可的定义。被誉为“混沌之父” 的 Ｌｏｒｅｎｚ 指出，混沌系统是指某种对初始条件敏感的内 在变化的系统［２］。 Ｊ．Ａ．Ｙｏｒｋｅ 在 １９７５ 年《周期三意味混沌》首先提出 现代科学意义上混沌的数学定义。但是 Ｌｉ－Ｙｏｒｋｅ 定义的 缺陷在于定义中的集合的勒贝格测度有可能为零，即这时 混沌是不可观测的， 而人们感兴趣的则是可观测的情形。 Ｒ．Ｌ．Ｄｅｖｎｅｙ 在 １９８９ 年给出了混沌的又一种定义： 设 Ｘ 是一个度量空间， 一个连续映射 ｆ ： Ｘ → Ｘ 称 Ｘ 上的混沌 ， 如果： １） ｆ是拓扑传递的； ２） ｆ 的周期点在 Ｘ 中稠密； ３） ｆ 具有对初始条件有敏感性。 除了上述对混沌的定义之外，还有诸如 Ｓｍａｌｅ 马蹄、 横截同宿点、拓扑混合以及符号动力系统等定义。
Survey
《 自 动 化 技 术 与 应 用 》２ ０ ０ ９ 年 第 ２ ８ 卷 第 １ 期
混沌控制综述 ＊
李卫东， 王秀岩
（大连交通大学 电气信息学院，辽宁 大连 １１６０２８）
摘 要：混沌控制是非线性科学应用的新研究领域。本文介绍了近些年来混沌控制新技术， 论述了混沌控制技术的巨大进展， 并对 其进行全面的分析和总结，最后指出其在理论和应用上都有十分诱人的前景。 关键词：混沌；混沌控制；应用 中图分类号：Ｏ４１５．５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３－７２４１（２００９）０１－０００１－０６
目标。一般情况下， 在混沌吸引子中的无穷多不稳定的 周期轨道常被作为首选目标， 其目的就是将系统的混沌 运动轨迹转换到期望的周期轨道上。不同的控制策略必 须遵循这样的原则： 控制律的设计须最小限度的改变原 系统，从而对原系统的影响最小［３］。从这个观点来看， 控 制方式可以分为两类： 反馈控制和非反馈控制。反馈控 制是一种十分成熟而且应用广泛的工程设计技术， 它主 要利用混沌系统的本质特征， 如对于初始点的敏感依赖 性， 来稳定已经存在于系统中的不稳定轨道。一般来说， 反馈控制的优点在于不需要使用除系统输出或状态以外 的任何有关给定被控系统的信息， 不改变被控系统的结 构， 具有良好的轨道跟踪能力和稳定性。其缺点在于要 求一个比较精确的数学模型和输入目标函数或轨道， 在 只存在观测数据而没有数学方程时不能直接使用。和反 馈控制方式相比， 非反馈控制主要利用一个小的外部扰 动， 如一个小驱动信号、噪声信号、常量偏置或系统参 数的弱调制来控制混沌， 该控制方式的设计和使用都十 分简单， 但无法确保控制过程的稳定性。这两种方式都 是通过混沌动力学系统的稍微改变来求得系统的稳定解。 在控制混沌的实现中， 最大限度地利用混沌的特 性， 对于确定控制目标和选取控制方法非常关键。混沌 控制的基本方法有： Ｏ Ｇ Ｙ 方法、连续反馈控制法（外力 反馈控制法和延迟反馈控制法） 、自适应控制法以及智 能控制法（神经网络和模糊控制）等［ ５
［４］
。
３．１ OGY方法
综观混沌发展的历史， 起初人们认为混沌是不可控 的，直到 １９９０ 年 ＯＧＹ 方法的提出才彻底改变了这种观点。 ＯＧＹ 控制法是一种参数微扰控制方法，利用混沌运动对很 小参数扰动的敏感性，选择一个易调节的参数进行微小扰 动，将混沌吸引子中无穷多个不稳定周期轨道中所需要的 周期轨道稳定住， 使系统进人需要的周期状态， 达到控制 混沌的目的。由于在双曲不动点附近存在局部稳定和局 部不稳定流形，可以将当前状态与目标的偏差及参数的摄 动看成微小量，将下一步状态与目标的偏差按以上两个微 小量做线性化展开，并使得下一步状态和目标的偏差矢量 与不稳定流形方向垂直， 即可得到当前参数的调节值。 这类控制不需要知道混沌系统的确切动力学行为，只 需要使用微小的控制信号， 从而降低控制代价， 把系统的 混沌状态控制在任意周期轨道上， 基本不受噪声的影响， 不改变系统本身的结构。但这种方法必须有一个确定的 目标函数或给定轨道，只适用于离散动力学系统及可用庞
３ 混沌控制方法
混沌控制方法有两种， 一是通过合适的策略、方法 及途径，有效地抑制混沌行为，使李雅普诺夫指数下降进 而消除混沌；二是选择某一具有期望行为的轨道作为控制
2 | Techniques of Automation & Applications
综 述
Survey
《 自 动 化 技 术 与 应 用 》２ ０ ０ ９ 年 第 ２ ８ 卷 第 １ 期
并且利用 Ｏ Ｇ Ｙ 方法可以实现混沌轨道的同步化， 其控制参量的扰动大小与系统状态输出量成正比， 从控 制理论角度来说属于线性反馈方法。
３．３ 自适应控制法
基于 Ｏ Ｇ Ｙ 方法存在的不足及实际问题需要， 很多 学者尝试用传统的控制手段实现混沌控制， 自适应控制 混沌运动是根据自适应原理发展而来， 由赫伯曼等人提 出的一种方法。在控制系统运动过程中， 系统自身来识 别被控的状态、性能或参量， 将系统当前的运行指标与 期望的指标加以比较， 改变控制器的结构、参量或控制 作用， 使系统运行在其所期望的指标下的最优或次优状 态。这种方法是通过参量的调整来控制系统， 使其达到 所需要的运动状态， 调节是依靠目标输出与实际输出之 间的差信号来实现的。例如连续时间混沌系统的参数 自适应控制； 离散混沌系统的自适应轨道控制。
wenku.baidu.com
《 自 动 化 技 术 与 应 用 》２ ０ ０ ９ 年 第 ２ ８ 卷 第 １ 期
综 述
Survey
若初值有微小偏差， 长时间后会出现较大的、无法预测 的偏差， 即系统的长期不可预测性。这一特性使得对系 统施加极小的扰动就可以对系统运动产生重大变化，人 们有可能在混沌条件下用经过特定选择的微小信号来 灵活、有效地控制系统的运动结果。 ２） 系统具有各态遍历性。混沌轨道的非周期轨道 在相空间中比周期轨道大得多， 即相空间中混沌吸引子 具有比任何周期吸引子大的维数， 而混沌运动在混沌吸 引子内部运动具有遍历性。人们可以在混沌吸引子存 在的任何范围内选择控制目标和实行控制操作， 使混沌 控制具有很大灵活性。 ３） 具有规律性的成分。
混沌系统以及控制的复杂性， 使人们自然考虑智能 方法引入到混沌控制中， 采用模糊逻辑控制器和神经网 络对混沌系统进行建模和控制已做了一些探索研究。
３．４．１ 神经网络法
人工神经网络已经被证明具有对非线性系统任意 逼近的特点， 把人工神经网络和混沌系统结合起来， 有 关学者相继提出了一些基于人工神经网络的混沌系统 的控制方法， 对有关混沌系统中的混沌行为实施有效的 控制。谭文等提出了基于前馈反传神经网络控制非线 性系统的混沌运动。控制算法以 ＯＧＹ 法为基础，用附加 动量的 Ｂ Ｐ 算法和可变学习速率的 Ｂ Ｐ 算法结合而成的 改进型 ＢＰ 学习算法镇定嵌入在不稳定混沌轨道中的吸 引子， 使之回到稳定不动点。 Ａｌｓｉｎｇ 采用反向传播 ＢＰ 网络来稳定嵌入混沌系统 的不稳定周期轨道。Ｃｈｅｎ － ＴｅｎｇＬｉｎ 提出了一种基于 Ｇ Ａ 的再激励学习神经网络控制器， 它不需要知道混沌 系统的平衡点， 而且不需要系统的输出数据即可将系统 稳定到高周期轨道上。
加莱映射表征的连续动力学系统，通常只能控制低周期轨 道。例如含控制参数 P 的 ｎ 维映射描述的有限动力系统：
k n 1
其中， τ为延迟时间， 应选取与所取的不稳定周期 时间相同， 通过调节 Ｋ 及 Ｄ （ ｔ） ，可以达到外力反馈控 制法的相同结果 ， 使混沌运动得到控制。
uk +1 = P(uk , pk ), uk ∈ R , pk ∈ R , k = 0,1, 2 （１）
９］
２．３ 混沌理论与应用
混沌不是偶然的、个别的事件， 而是普遍存在于宇 宙间各种各样的宏观及微观系统的， 万事万物， 莫不混 沌。混沌也不是独立存在的科学， 它与其它各门科学互 相促进、互相依靠， 由此派生出许多交叉学科， 如混沌 气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研 究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。 理论上研究混沌的目的是多方面的：揭示混沌的本质 （内在随机性） 、刻画它的基本特征、了解它的动力性态， 并力求对它加以控制，使之为人类服务。在过去 ２０ 年中， 混沌在工程系统中逐渐由被认为仅仅是一种有害的现象转 变到被认为是具有实际应用价值的现象来加以探讨。近年 来的大量研究工作表明，混沌与工程技术联系愈来愈密切， 它在生物医药工程、动力学工程、化学反应工程、电子信 息工程、计算机工程、应用数学和实验物理等领域中都有 着广泛的应用前景 。在应用方面， 主要包括混沌信号同 步化和保密通信，混沌预测，混沌神经网络的信息处理、混 沌与分形图像处理，基于混沌的优化方法、混沌生物工程、 天气系统、生态系统、混沌经济等。此外， 控制混沌的 技术还被应用到神经网络、激光、化学反应过程、流体力 学、非线性机械故障诊断系统、非线性电路、天体力学、 医疗以及分布参数的物理系统的研究工作中去。当前，在 一些混沌显得非常重要而且有用的领域，有目的地产生或 强化混沌现象已经成为一个关键性的研究课题。
A Survey of Chaotic Control
LI Wei-dong, WANG Xiu-yan
( DaLian JiaoTong University, Faculty of Electronic Information, DaLian 116028, China )
Abstract: Chaotic control is a new research filed of the nonlinear science. This paper introduces some recent developments of chaotic control. The application progress of the technology is also presented. Keywords:chaos;chaoticcontrol; application
３．２．１ 外力反馈控制法
外力反馈控制的特点是用强迫信号激励系统， 并与 响应信号比较， 给出控制信号对系统微扰。其前提是有 可控的无穷多周期和非周期轨道， 要求无微扰系统存在 混沌奇异吸引子。 考虑非线性常微分方程模拟的动力系统， 为简单起 见， 认为微扰控制仅扰动第一个方程的响应变量：
３．４ 智能控制法
３．２ 连续反馈控制法
尽管 Ｏ Ｇ Ｙ 方法及其改进法对混沌的有效控制使其 广泛地应用于力学、光学和环境科学等领域中， 但由于 它必须获得庞加莱截面， 并且需要确定所需的不稳定周 期轨道及不动点的特征值和特征向量， 这使它的应用受 到一定的限制。在 ＯＧＹ 控制方法的基础上，德国科学家 Ｋ． Ｐｙｒａｇａｓ 在 １９９３ 年提出了外力反馈控制法和延迟反 馈控制法。这两种方法都可以实现对混沌吸引子的连 续控制， 使不稳定周期趋于稳定。
２．２ 混沌的特点［３］
１） 对初值的极其敏感性。混沌的本质特征是系统
＊ 基金项目： 辽宁省教育厅高校科研基金（编号： ２ ０ ０ ４ Ｄ ０ ２ ７ ） 收稿日期： ２ ０ ０ ８ － ０ ７ － ２ ９
Techniques of Automation & Applications | 1
长期行为对初始条件的敏感依赖性， 或称“蝴蝶效应” ，
１ 引言
混沌是指发生在确定性系统中的貌似随即的不规则 运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确 定性、不可重复、不可预测， 这就是混沌现象。进一步 研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性 系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论（确定性理论提 出：只要知道初始条件就可以解决未来的一切，而混沌的 发现是对确定论最大的冲击。 ）能够处理的多为线性系 统， 而线性系统大多是由非线性系统简化来的， 因此， 在 现实生活和实际工程技术问题中， 混沌是无处不在的。 在自然界和人类社会中广泛存在混沌这一事实已 被普遍接受， 而如何应用混沌研究的成果为人类服务已 成为非线性科学发展提出的重要课题之一。由于混沌 运动的规律及特性， 混沌控制就成为混沌应用的关键环 节。同时混沌控制在工程技术上的重大研究价值和极 其诱人的应用前景， 使得混沌控制问题引起了国际上非 线性动力系统和工程控制专家的极大关注， 成为非线性 科学研究的热点之一［１］ 。
２ 混沌理论与应用
２．１ 混沌的定义
混沌科学的发展引起各学科的兴趣，但作为科学术 语， 混沌没有被普遍认可的定义。被誉为“混沌之父” 的 Ｌｏｒｅｎｚ 指出，混沌系统是指某种对初始条件敏感的内 在变化的系统［２］。 Ｊ．Ａ．Ｙｏｒｋｅ 在 １９７５ 年《周期三意味混沌》首先提出 现代科学意义上混沌的数学定义。但是 Ｌｉ－Ｙｏｒｋｅ 定义的 缺陷在于定义中的集合的勒贝格测度有可能为零，即这时 混沌是不可观测的， 而人们感兴趣的则是可观测的情形。 Ｒ．Ｌ．Ｄｅｖｎｅｙ 在 １９８９ 年给出了混沌的又一种定义： 设 Ｘ 是一个度量空间， 一个连续映射 ｆ ： Ｘ → Ｘ 称 Ｘ 上的混沌 ， 如果： １） ｆ是拓扑传递的； ２） ｆ 的周期点在 Ｘ 中稠密； ３） ｆ 具有对初始条件有敏感性。 除了上述对混沌的定义之外，还有诸如 Ｓｍａｌｅ 马蹄、 横截同宿点、拓扑混合以及符号动力系统等定义。