混沌系统参数估计问题综述
混沌Hamilton系统的统计力学性质
混沌Hamilton系统的统计力学性质混沌系统是一类具有不确定性和高度敏感性的动力学系统，在长时间演化中表现出无序、混乱和随机的行为。
Hamilton系统是其中一种常见的动力学系统，它由哈密顿力学方程描述，具有能量守恒和相空间流体的特征。
本文将探讨混沌Hamilton系统的统计力学性质，包括熵增、吸引子、Liouville定理以及混沌系统的统计稳定性等方面。
1. 熵增在混沌系统中，熵增是描述系统演化的重要指标。
熵是描述系统无序程度的度量，可以通过系统的概率分布函数计算。
对于混沌系统，由于其非周期性和高度敏感性，系统的熵通常随时间增加。
混沌系统的熵增特性使得其在演化过程中趋向于无序，无法被简单的周期性或确定性模式所描述。
2. 吸引子吸引子是混沌系统中的重要概念，它描述了系统演化的稳定态。
对于一个混沌系统，其吸引子可以是一个有限维的奇异吸引子或一个无限维的奇异吸引子。
奇异吸引子通过吸引系统各个相空间轨迹使其局限于某一区域，从而使得系统在长时间演化中表现出有限范围内的稳定态。
混沌Hamilton系统的统计力学性质可以通过对吸引子的研究来揭示。
3. Liouville定理Liouville定理是描述Hamilton系统的守恒性质的重要定理。
根据Liouville定理，对于一个不可压缩的Hamilton系统，相空间中的体积在演化过程中保持不变。
这意味着在长时间演化中，系统的相空间轨迹虽然会发生复杂的变化，但相空间中的点密度保持恒定。
Liouville定理为混沌Hamilton系统的统计力学性质提供了重要的理论基础。
4. 统计稳定性混沌Hamilton系统的统计稳定性是指系统在经过足够长的演化后，其统计性质是否趋于稳定。
对于混沌系统而言，由于系统的高度敏感性和非周期性，统计分布函数通常不会呈现典型的正态分布或其他简单的分布形式。
然而，经过足够长的时间演化后，系统的统计分布函数往往会趋于稳定，并且可以用一些概率分布模型来描述。
混沌系统数学定义-概述说明以及解释
混沌系统数学定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容:引言部分的目的是介绍混沌系统的概念和其数学定义，并提供文章的结构和目的。
混沌系统是指一类表现出极其复杂、不可预测和无序行为的动态系统。
混沌系统的研究领域涉及物理、数学、生物学等多个学科，对于理解自然界和社会现象中的复杂性现象具有重要意义。
在本文中，我们将首先概述混沌系统的概念和特征。
混沌系统具有敏感依赖于初值条件、无周期性稳定状态、确定性演化以及具有范围性的特点。
这些特征使混沌系统成为一个有趣而复杂的研究对象。
接下来，我们将详细介绍混沌系统的数学定义。
混沌系统可以通过非线性动力学方程来描述，如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
数学定义的建立为混沌系统的分析和模拟提供了重要的途径。
最后，我们将总结混沌系统的数学定义，并展望对混沌系统的应用和研究。
混沌系统在天气预报、信号处理、密码学等领域中有广泛的应用，并且对于深入理解自然界中的复杂现象具有重要的指导意义。
未来的研究可以进一步探索混沌系统的性质和应用，以及开发新的数学工具和方法。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解混沌系统的概念和特征，掌握混沌系统的数学定义，并认识到混沌系统在科学和工程领域中的重要性和应用前景。
接下来，我们将详细介绍混沌系统的概念和特征。
1.2文章结构文章结构的目的是为了让读者更好地理解和掌握本文的内容。
通过合理的文章结构，可以使得文章的逻辑性更强，内容更加清晰明了。
在本文中，为了系统地介绍混沌系统的数学定义，文章结构如下：2. 正文2.1 混沌系统的概念和特征2.2 混沌系统的数学定义通过这样的结构安排，读者可以先了解混沌系统的概念和特征，为后续的数学定义打下基础。
然后，读者将会逐步深入了解混沌系统的数学定义，包括其中的数学模型、方程和陈述。
这样的结构安排将使得读者能够全面了解混沌系统的数学定义及其相关知识。
文章结构要求内容之间的连接紧密，逻辑严谨。
在介绍混沌系统的概念和特征时，可以首先从混沌系统的起源和背景入手，引出混沌系统的定义，并详细解释混沌系统的特征，例如敏感依赖于初始条件和非周期性等。
基于改进粒子群优化算法的混沌系统参数估计方法3
基于改进粒子群优化算法的混沌系统参数估计方法3高 飞 童恒庆(武汉理工大学数学系,武汉 430070)(2005年5月30日收到;2005年6月20日收到修改稿) 估计混沌系统的未知参数是混沌控制与同步中必须解决的关键问题.利用群集智能的新进展粒子群优化算法(PS O )的全局搜索能力,从初始粒子群的产生、目标函数的处理的角度改进PS O ,将改进的PS O 引入混沌系统参数估计和在线估计.仿真试验表明,改进算法具有良好的适应性、较高的收敛可靠性及精度,对信号叠加噪声的情形也具有较高的鲁棒性,是混沌系统参数估计的一种成功算法.关键词:混沌系统,参数估计,在线估计,粒子群优化算法PACC :05453科技部技术创新基金(批准号:02C26214200218),武汉理工大学校基金(批准号:X JJ2004113)及武汉理工大学大学生创新(UIRT )计划项目(批准号:A156,A157)资助的课题.E 2mail :gaofei @11引言20世纪90年代以来,群集智能(swarmintelligence )的研究[1]引起了众多学者的极大兴趣;Eberhart 和K ennedy 于1995年提出的粒子群优化(PS O )算法作为一种高效并行优化方法,得到了众多学者的重视和研究[1,2],可用于求解大量非线性、不可微和多峰值的复杂优化问题[3,4];因其程序实现异常简洁,需要调整的参数少,因而发展很快,出现了多种改进的PS O ,并已应用于多个科学和工程领域[4].近年来,混沌的控制与同步已成为非线性科学中重要的研究方向之一,已经提出很多有效的控制与同步方法[5—8].然而,这些方法一般在混沌系统的精确参数已知的前提下提出.在实际中,由于混沌系统的复杂性,它的某些参数难以测量或确定;或者出于某种特殊原因,系统的某些参数不可知(例如保密通信的需要).这时,要实现对混沌系统的控制或同步,上述方法有相当的局限性,必须估计混沌系统的未知参数[5,9,10].实际上,参数估计是混沌控制与同步中首先必须解决的课题,具有更重要的现实意义.文献[9]提出了未知参数辨识观测器的概念,并对Lorenz 系统的参数进行了有效的辨识;文献[8]提出一种并行遗传算法用于PI D 控制器结构和参数的同时优化;文献[10]通过构造一个适当的适应度函数,将混沌系统的参数估计问题转化为一个参数的寻优问题,对混沌系统的参数进行估计.基于PS O 具有全局优化搜索的能力,本文用均匀设计方法设计群体[11]、偏转目标函数[4,12]以改善PS O 的收敛性能;在文献[10]的基础上,采用改进的PS O 对混沌系统进行参数估计以及在线估计和校正,并以典型的Lorenz 混沌系统为例进行仿真,结果表明,即使在测量信号叠加噪声的情况下,这种方法也能得到较好的参数估计结果.21粒子群优化及改进2111粒子群优化PS O 是一种相对较新的基于群体的演化计算方法(E A ),根据对环境的适应度将群体中的个体移动到好的区域;它不像其他E A 那样对个体使用演化算子,而是将每个个体看作D 维搜索空间中的一个没有体积的微粒;所有的粒子都有一个被优化的函数决定的适应值,主要特点[3,4,12,13]为:1)每一粒子都第55卷第2期2006年2月100023290Π2006Π55(02)Π0577206物 理 学 报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.55,N o.2,February ,2006ν2006Chin.Phys.S oc.被赋予了初始随机速度并在解空间中流动;2)个体具有记忆功能;3)个体的进化主要根据自身以及同伴的飞行经验进行动态调整,通过迭代找到最优解.PS O 的优势在于算法的简洁性,易于实现,没有很多参数需要调整,且不需要梯度信息.PS O 是非线性连续优化、组合优化和混合整数非线性优化问题的有效工具,被广泛应用于函数优化、神经网络训练、模糊控制器设计、车间作业调度、机器人实时路径规划、自动目标检测、时频分析等[12,13].设k 时刻,第i 个微粒(i =1,…,M )表示为X i (k )=(x i ,1(k ),…,x i ,D (k )),它经历过的最好位置(有最好的适应值)记为p best =P i (k )=(p i ,1(k ),…,p i ,D (k ));在群体所有微粒经历过的当前最好位置的索引号表示为g best =Q g (k )=((q g ,1(k ),…,q g ,D (k ));微粒i 的速度用V i (k )=(v i ,1(k ),…,v i ,D (k ))表示.X i (t )的第d 维(1≤d ≤D )根据如下方程[1]变化:Tp i ,d (k )=rand (0,c 1)×[p i ,d (k )-x i ,d (k )],Tq i ,d (k )=rand (0,c 2)×[q g ,d (k )-x i ,d (k )],v i ,d (k +1)=w ×v i ,d (k )+Tp i ,d (k )+Tq i ,d (k ),x i ,d (k +1)=x i ,d (k )+v i ,d (k +1),(1)其中w 为惯性权重(inertia weight ),c 1认知加速常数(cognition acceleration constant ),c 2为社会加速常数(s ocial acceleration constant ),rand (a ,b )产生在[a ,b ]范围内变化的随机数,速度V i (k )被一个最大速度VM 限制:如果当前对微粒的加速导致它在某维的速度v i ,d ≥VM d ,则v i ,d :=VM k [12,13].按上述思想的PS O 是全局版的,虽然收敛快,但有时会陷入局部最优.而局部版PS O 通过保持多个吸引子来避免早熟,对每一个粒子X i :把所有粒子按序号排成一圈,X i 两侧各l 个粒子和X i 组成的共2×l +1个粒子的集合称为X i 的环状邻域N i ,从N i 中选出最好的,标记为l best =L i (t )=(l i ,1(t ),…,l i ,D (t )),X i (t )的第d 维(1≤d ≤D )根据如下方程[2]变化:Tp i ,d (k )=rand (0,c 1)×[p i ,d (k )-x i ,d (k )],Tq i ,d (k )=rand (0,c 2)×[q g ,d (k )-x i ,d (k )],Tl i ,d (k )=rand (0,c 3)×[l i ,d (k )-x i ,d (k )],v i ,d (k +1)=w ×v i ,d (k )+Tp i ,d (k )+Tq i ,d (k )+Tl i ,d (k ),x i ,d (k +1)=x i ,d (k )+v i ,d (k +1),(2)其中c 3为邻域加速常数(neighborhood acceleration constant ),其他与全局版PS O 相同.实验表明,局部版比全局版收敛慢,但不容易陷入局部最优[12,13].(2)式中的v i ,d (k +1)可改进为v i ,d (k +1)=χ[w ×v i ,d (k )+Tp i ,d (k )+Tq i ,d (k )+Tl i ,d (k )],(3)其中χ为收缩因子,通常χ=0.9.2121改进策略从社会认知学的角度看,PS O 理论基础主要包括[12,13]:刺激的评价;与近邻的比较;对领先近邻的模仿.与遗传算法(G A )比较,PS O 的信息共享机制是很不同的:在G A 中,染色体互相共享信息,整个种群比较均匀的向最优区域移动;在PS O 中,只有g best (或l best )给出信息给其他的粒子,这是单向的信息流动,整个搜索更新过程是跟随当前最优解的过程;与G A 比较,在大多数的情况下,PS O 所有的粒子可能更快的收敛于最优解;另外,PS O 算法对种群大小不十分敏感,即种群数目下降时性能下降不是很大[12,13].尽管PS O 具有是在算法的早期收敛快的特点,875物 理 学 报55卷但也存在着精度较低、易发散等缺点.若加速常数、最大速度等参数太大,粒子群可能错过最优解,算法不收敛;而在收敛的情况下,由于所有的粒子都向最优解的方向飞去,粒子趋同,后期收敛速度明显变慢,并且算法收敛到一定精度时,无法继续优化,所能达到的精度也比G A 低.因此很多学者都致力于改善PS O 算法的性能,如采用惯性权重法、压缩因子法、混合法、空间邻域法、社会趋同法、动态目标函数法、协同法、结合复杂系统的自组织临界性等[13].在分析PS O 理论基础、实现方式的基础上,结合在计算数学中的一些常用手段,本文从初始点集的选取和目标函数的处理两个方面对PS O 进行改进.在反映目标函数在搜索空间中分布性质这一点上随机分布的初始群体不如均匀设计的方法产生的点集[11].设u ij 是均匀设计表U n (n N)中的元素,a ij =(2u ij -1)Π2n ,j =1,…,N ,则集合P M ={a k =(a k 1,…,a kN ),k =1,…,M }是[0,1]N中的均匀散布的M 个点,图1是在[0,1]2中用均匀设计方法和随机方法分别产生的30个点组成的点集{(x i ,y j )}[11].图1 初始点集对比图从图1可以看出均匀设计的方法产生的点集所构成的初始群体比随机的初始群体更能从统计意义上反映出目标函数的特性.若目标函数f (x )为多峰函数,E A 在求解时往往易陷入局部极小点,引入偏转(deflection )目标函数方法[12],以免算法再次收敛到相同极小解:F (X )=∏ki -1[tanh (λi ‖X -x 3i ‖)]-1f (X ),(4)其中λi ∈(0,1),x 3i (i =1,2,…,k )是已经找到的k 个极小解;亦可以引入拉伸(Stretching )目标函数方图2 函数偏转、拉伸效果图法[12],以免算法再次收敛到相同极小解:G (x )=f (x )+β1‖x -x 3i ‖[1+sgn (f (x )-f (x 31))],(5)H (x )=H (x )+β21+sgn (f (x )-f (x 3i ))tanh[δ(G (x )-G (x 3i ))].(6)其中参数β1,β2,δ>0,将H (X )作为新的目标函数.图2是偏转、拉伸函数f (x )=sin x 在x =-π2附近函数值的图像.在此基础上,提出PS O 的改进算法如下:算法1 改进PSO 算法第1步 初始化.确定初始参数w ,c 1,c 2,c 3,l ,χ,用均匀设计的方法产生初始粒子群中的M 个个体X i (k )和初始速度V i (k )(i =1,…,M ),k 是迭代次数,设计目标函数f (x );第2步 计算适应值,标记p best ,g best ,l best ;第3步 根据(2)和(3)式更新粒子群,k =k +1;第4步 停止条件判断.若k ≤200,回到第3步;否则,输出当前的g best ,用(4)或(6)式更新f (x ),返回第3步,直到算法找到所有的最优解.31基于改进粒子群优化算法的混沌系统参数估计 在文献[9,10,14,15]的基础上,将混沌系统的参数估计问题转化为一个参数的寻优问题,以典型的Lorenz 混沌系统为例,说明基于改进PS O 混沌系统参数估计.9752期高 飞等:基于改进粒子群优化算法的混沌系统参数估计方法Lorenz 混沌系统是Lorenz 于1963年提出的一个表现奇异吸引子的动力系统[6]:x ′=σ・(y -x ),y ′=γ・x -x ・z -y ,z ′=x ・y -b ・z,(7)其中参数σ=10,γ=28,参数b 未知.当b =8Π3时,(7)式所表示的系统是混沌的.在数值仿真中用四阶龙格2库塔算法求解系统(7),步长h =0101.算法2 基于PSO 对参数b 进行估计第1步 初始化.随机产生初始种群中的M 个个体P (t )i (k )(i =1,…,M ),k 是迭代次数,且b min ≤P i (t )≤b max ,其中b min ,b max 参数b 取值的上、下限,根据已有和经验给定;第2步 计算适应值.设第k 代第i 个个体P (t )i (k )所对应的状态变量为(x (P (t )i (k )),y (P (t )i (k )),z (P (t )i (k ))). 根据测得的系统状态变量(x (t ),y (t ),z (t )),计算相应的适应值f i =∑Tt =0[(x (P (t )i (k ))-x (t ))2+(y (P (t )i (k ))-y (t ))2+(z (P (t )i (k ))-z (t ))2],(8)其中t 取为从0到T 的一系列离散时间序列;第3步 粒子群寻优.对当前粒子群按照算法1寻优;第4步 停止条件判断.若k ≤100,则停止;否则k :=k +1,回到第2步.一般而言,在预先估计的未知参数区间上,目标函数(8)的解空间是多峰的,具有非常复杂的结构.与其他搜索方法,如爬山法、穷举法以及随机搜索法比较,E A 在解决多峰函数的优化问题时有其独特的优点[1,16].本文选取E A 的新进展PS O 求解,先让Lorenz 系统自由演化,在经历过暂态之后任意选取一点作为初值,并以此为0时刻,由此初值出发再任其演化至T =300h 处,得到未知参数的Lorenz 混沌系统在离散时间序列0h ,h ,…,300h 上的标准状态变量值(x ,y ,z ).选取b min =2,b max =3,为了能够获得比较精确的结果,先进行20次的数值实验,每次实验初始种群中的个体都在可行域内随机设定,然后取每次实验结果的最优解,取平均值作为参数b 的最终估计结果,本文得到的参数b 的估计结果为2166666623060554,与真实值已经非常接近.图3是算法2所求的参数b ,其中N 是试验次数,lgb -83表示参数b 估计值与真实值的距离的对数,由于本文算法的结果较为精确,所以取对数.为检验算法的有效性,考虑实际应用中噪声对结果的影响,将标准状态变量(x ,y ,z )叠加上[-011,011]的白噪声,并设ε=011,由于每次实验结果都受到噪声的影响,直接将这20个最优解进行平均,得到了存在噪声时参数b 的最终估计结果为216779781064157,同真实值比较接近.图4为算法2独立运行20次的实验结果,b为参数估计值,N 是试验次数.图3 未加噪声是参数b 的试验结果图4 加噪声后参数b 的试验结果由于混沌系统的特性,即使参数估计结果与真实值非常接近,也仅能在短时间内有意义.随着系统的长时间演化,估计参数所表征系统与真实系统之间的误差将增大.图5给出系统在无噪声(b =2166666623060554)和有噪声(b =216779781064157)085物 理 学 报55卷情况下,参数b 所表征的系统(x b ,y b ,z b )与真实系统(x ,y ,z )间误差p 2=(x b -x )2+(y b -y )2+(z b -z )2随时间演化结果.图5 无噪声、有噪声下误差对比图由图5可以看出,即使估计参数b 与真实值很接近,经过长时间演化,两系统之间误差变得不能容忍.因此,在实际应用中必须对混沌系统的参数进行在线校正,不断修正估计结果.采用如下方法可以对混沌系统的参数进行在线估计和校正:从初始点开始,用四阶龙格2库塔算法求解系统(7),步长h =0101,用算法2求解出当前的参数b 的估计;以当前b 的估计带入到系统(7),计算出其轨迹,把最后一个点作为初始点,重复上述步骤,从而实现对混沌系统的参数进行在线校正.图6表示无噪声下在线校正b 的Lorenz 曲线对比图;图7中曲线a 表示无噪声下,在线估计参数b 时的系统误差,曲线b 表示有噪声下,在线估计参数b 时的系统误差,曲线c 表示有噪声时参数b 所对应系统误差.从图6可以看出,无噪声下,基于本文改进的PS O 对混沌系统的参数进行在线估计和校正,模拟曲线基本与Lorenz 曲线重合,取得效果非常好;从图7可以看出,在叠加噪声的情形,本文方法在线估计亦可以大幅降低误差(特别是在t ≤1000时),仅比无噪声的在线估计情形略差.41结束语在本文的数值模拟中,假设预先知道未知参数b 的大致取值范围.然而,即使在参数完全未知甚至没有任何经验可供参考的情况下,也可以使用PSO 图6 无噪声下在线校正b 的Lorenz曲线对比图图7 在线估计系统误差对比图先在一个较大的范围内进行搜索,然后采用本文介绍的排除局部极值的方法,根据结果逐步缩小搜索范围,直到最优解满足要求为止.同时本文是在对未知系统已经基本知道其动力学规律(例如,上述的Lorenz 系统)的情况下,对其进行参数估计的问题,而不是系统的模式识别问题.而在化学反应、流体力学等实际系统中,通常可知道系统的动力学描述方程,但系统的某些参数却是不可测或是难以测量的[5,6,14],且它们对深入理解系统的动力学特性和对系统实施适当的控制具有重要作用[10].本文将改进的PS O 引入混沌系统的参数估计中和在线估计,充分发挥了PS O 的全局优化搜索能力,以典型的Lorenz 混沌系统为例进行了数值模拟,结果表明使用改进的PS O 可以得到很好的参数估计结果,且对噪声具有鲁棒性.1852期高 飞等:基于改进粒子群优化算法的混沌系统参数估计方法[1]Whitley D2001Information and So ftware Technology43817[2]Eberhart R C,Shi Y2000Proceedings o f the2000Congress onEvolutionary Computation,Piscataway,N J(IEEE Service Center)p84[3]Schutte J F,Reinbolt J A,Fregly B J et al2004Int.J.Numer.Meth.Engin.612296[4]Pars opolos K E,Vrahatis M N2002Natural Computing1235[5]Fang J Q2002Control Chaos and Develop High Technique(Beijing:Atom Energy Press)(in Chinese)[方锦清2002驾驭混沌与发展高新技术(北京:原子能出版社)][6]Chen G R,LüJ H2003Dynamics o f the Lorenz System Family:Analysis,Control and Synchronization(Beijing:Science Press)(inChinese)[陈关荣、吕金虎2003Lorenz族的动力学分析、控制与同步(北京:科学出版社)][7]Duchateau A,Bradshawn P,Bersini H1999Int.J.Control.72727[8]W ang D F2005Acta Phys.Sin.541495(in Chinese)[王东风2005物理学报541495][9]G uan X P,Peng H P,Li L X et al2001Acta Phys.Sin.5026(inChinese)[关新平、彭海朋、李丽香等2001物理学报5026] [10]Dai D,M a X K,Li F C et al2002Acta Phys.Sin.512459(inChinese)[戴 栋、马西奎、李富才等2002物理学报512459] [11]M a C X1999Uniform Design Based On Centered L2DiscrepancyU n(n s),http:ΠΠw w .hkΠUniformdesignΠUn-n^s.html,[12]M ag oulas G D,Vrahatis M N,Androulakis G S1997NonlinearAnal.Theory Meth.Appl.304545[13]X ie X F,Zhang W J,Y ang Z L2003Control and Decision18129(in Chinese)[谢晓锋、张文俊、杨之廉2003控制与决策18129][14]Y e M Y,W ang X D2004Chin.Phys.13454[15]T an W,W ang Y N2005Chin.Phys.1472[16]M ichalewicz Z,F ogel D B2000How to Solve It:Modern H euristics(Berlin:S pringer-Verlag)Parameter e stimation for chaotic system ba sed onparticle swarm optimization3G ao Fei T ong Heng2Qing(School o f Science,Wuhan Univer sity o f Technology,Wuhan 430070,China)(Received30M ay2005;revised manuscript received20June2005)AbstractIt’s of vital im portance to estimate the unknown parameters of chaos systems in chaos control and synchronization.W e firstly im prove the newly developed particle swarm optim ization(PS O)in view of the population initialization and objective function treatment.Then we use the im proved alg orithms for parameter estimation and on2line estimation of chaotic system for its global searching ability.Experiments show that the im proved method has better adaptability,reliability and high precision is robust to noise.It is proved to be a success ful approach in parameter estimation for chaotic systems.K eyw ords:chaos system,parameter estimation,on2line estimation,particle swarm optim izationPACC:05453Project supported by the Science F oundation for T echnology Creative Research from the M inistry of Science and T echnology of China(G rant N o.02C26214200218),the F oundation(G rant N o.X JJ2004113)and the UIRT Project(G rant N os.A156,A157)of Wuhan University of T echnology of China.E-mail:gaofei@285物 理 学 报55卷。
确定性混沌系统的实时数值解法研究
确定性混沌系统的实时数值解法研究摘要：混沌系统是一类表现出复杂动力学行为的数学模型，被广泛应用于许多领域，如地球科学、生物学和通信技术等。
然而，由于混沌系统的非线性和不可预测性质，对其进行实时数值求解一直是一个具有挑战性的问题。
本文旨在综述确定性混沌系统的实时数值解法研究进展，并探讨其应用前景和未来发展方向。
1. 引言混沌系统是一类动力学行为非常复杂、对初始条件敏感且难以预测的非线性系统。
它可以用一组非线性的微分方程或差分方程来描述。
混沌系统具有非周期性、高维性、迭代性和敏感性等特征，往往表现出类似于随机过程的行为。
混沌现象在许多实际应用中起着重要的作用，深入研究混沌系统的实时数值解法对于了解系统的行为规律和开发先进的控制方法具有重要意义。
2. 混沌系统的数值解法分类混沌系统的数值解法可以分为两类：离散时间解法和连续时间解法。
离散时间解法主要使用迭代算法，如Euler方法、Runge-Kutta方法等；连续时间解法则基于微分方程的求解方法，如有限元法、辛方法等。
根据系统的特征和求解的需求，选择合适的数值解法是非常重要的。
3. 实时数值解法研究进展近年来，随着计算机技术的快速发展和数值计算方法的提高，确定性混沌系统的实时数值解法研究得到了显著的进展。
主要研究方向包括算法改进、计算效率提升和数值稳定性分析等。
3.1 算法改进为了提高数值解法的准确性和收敛速度，研究人员提出了许多改进算法。
其中，改进的Euler方法和改进的Runge-Kutta方法是最常用的算法之一。
这些算法通过引入辅助变量、优化步长控制和适应性调整等方式，有效地改善了数值解法的性能。
3.2 计算效率提升在混沌系统的实时数值求解过程中，计算效率往往是一个关键的考虑因素。
针对这一问题，研究人员提出了一系列的优化策略。
例如，矩阵运算优化、并行计算和高效的存储算法等，都可以提高计算效率并降低计算复杂度。
3.3 数值稳定性分析混沌系统的数值解法在实际应用中必须具有良好的数值稳定性，以保证解的准确性和可靠性。
一个新混沌系统的参数辨识
第7卷第3期2009年9月167226553/2009/07⑶/23524动力学与控制学报JOURNAL OF DY NAM I CS AND CONTROLVol .7No .3Sep.20092008212211收到第1稿,2008212229收到修改稿.3国家自然科学基金资助项目(50475109),甘肃省自然科学基金资助项目(3ZS042-B25-049),兰州交通大学科研基金(DXS -07-0028,DXS -07-0029)一个新混沌系统的参数辨识3常迎香1 王淑英1 李险峰2 张建刚1(1.兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州 730070)(2.香港城市大学电子工程系,香港)摘要 基于稳定性理论,对一个新混沌系统设计了合适的参数辨识观测器,并选择适当的未知参数初值,达到该系统所有参数能准确和快速的辨识,同时结合小波降噪法,提高参数的辨识精度.数值仿真结果表明了所设计的参数辨识观测器的有效性.关键词 参数辨识, 观测器, 小波变换引言二十世纪六十年代初,美国气象学家E N.Lorenz ,发现第一个混沌吸引子[1],之后混沌理论的研究与应用得到了极大的关注[2-4].1999年,陈关荣等在研究混沌反控制的过程中发现了一种与Lorenz 类似但不拓扑等价的Chen 系统[5].2001年,吕金虎等又发现了一个临界系统L ü系统[6].2007年,褚衍东等提出一个新混沌系统[7],并用电子电路实现了该系统,由于这个新混沌系统与Lorenz 系统类似但并不拓扑等价,并且具有奇特的复杂动力学特性,所以对其各方面的研究具有重要意义.尤其是对于该新混沌系统的控制与同步及其应用也得到了广泛的研究和实现[8].但是在现实问题中,参数未知情况下的混沌控制与同步更为普遍,关键是对混沌系统的参数进行准确和快速的辨识[9-11],对于噪声干扰下的参数辨识曲线,本文引入小波变换对其进行消噪处理,且原理简单、实现容易、效果明显.同时针对这个新混沌系统,设计出合适的参数辨识观测器,考虑到实际问题中有些系统的可控参数存在小幅度涨落,本文对于任选的一个稳定的参数值施加扰动,并通过数值模拟验证了该观测器的高效性.1 理论分析1.1 参数观测器的设计该新系统的动力学方程描述为:x 1=a (x 2-x 1) x 2=x 1x 3-x 2 x 3=b -x 1x 2-cx 3(1)其中x =(x 1,x 2,x 3)T ∈R 3为系统的状态变量,a,b,c ∈R 为参数且a >0,b >0,c >0.并由文献[4]可知,当固定参数a =5,b =16,c =1时,系统(1)表现为混沌状态.需要辩识的未知参数a,b,c 均为时不变的,设未知参数的辨析结果分别是^a,^b ,^c .令^a ・=-l 1(x 1,x 2)(x 2-x 1)^a +l 1(x 1,x 2)x 1^b ・=-l 2^b +l 2(x 1x 2+cx 3+ x 3)^c ・=-l 3(x 3)x 3^c +l 3(x 3)(b -x 1x 2- x 3)(2)设参数误差系统分别为e 1=^a -a,e 2=^b -b,e 3=^c -c .则有e 1=^a・- a =-l 1(x 1,x 2)(x 2-x 1)e 1 e 2=^b・- b =-l 2e 2 e 3=^c・- c =-l 3(x 3)x 3e 3(3)式中l 1(x 1,x 2),l 2,l 3(x 3)分别为关于参数a,b,c 的增益函数.而在实际情况下,变量x 1和x 3的导数不能观测到,那么通过引入辅助变量来消除系统(2)中的x 1和 x 3,令p 1=^a +<1(x 1,x 2)p 2=^b +<2(x 1,x 2,x 3)p 3=^c +<3(x 1,x 2,x 3)(4)式中<1(x 1,x 2),<2(x 1,x 2,x 3),<3(x 1,x 2,x 3)均为动 力 学 与 控 制 学 报2009年第7卷要设计的辅助函数,它满足9<1(x 1,x 2)9x 1=-l 1(x 1,x 2)9<2(x 1,x 2,x 3)9x 3=-l 29<3(x 1,x 2,x 3)9x 3=-l 3(x 3)(5)由(1)、(2)、(4)和(5)可以得到 p 1=-l 1(x 1,x 2)(x 2-x 1)p 1+l 1(x 1,x 2)× (x 2-x 1)<+(x 1x 3-x 2)9<19x 2p 2=-l 2p 2+l 2(x 1x 2+cx 3+<2)+a (x 2- x 1)9<29x 1+(x 1x 3-x 2)9<29x 2p 3=-l 3(x 3)x 3p 3+l 3(x 3)(b -x 1x 2+ x 3<3)+a (x 2-x 1)9<39x 1+(x 1x 3-x 2)9<39x 2(6)显然,只要选取合适的增益函数就可使误差系统(3)渐近稳定,结合(4)和(5)构造辅助函数,那么(6)和(4)所构成的观测器能够使系统(1)中的未知参数a,b,c 分别快速准确的辨识出来.增益函数通常分别选为l 1(x 1,x 2)=k 1(x 2-x 1)2n 1-1l 2=k 2l 3(x 3)=k 3x 2n 3-13其中常数k 1,k 2,k 3>0(n 1,n 3=0,1,2…).此时,相应的参数误差系统为e 1=-k 1(x 2-x 1)2n 1e 1e 2=-k 2e 2e 3=-k 3x 2n33e 3随着t →∞,参数误差e 1,e 2,e 3都以指数倍率收敛于零.那么增益函数的最简单选择分别为l 1(x 1,x 2)=k 1(x 2-x 1)l 2=k 2l 3(x 3)=k 3x 3(7)此时辅助函数分别为<1=-k 1(x 1x 2-0.5x 21)<2=-k 2x 3<3=0.5k 3x 23(8)将式(7)和式(8)代入式(6),可得辨识未知参数a,b,c 的观测器分别为p 1=-k 1(x 2-x 1)2p 1+k 21(x 2-x 1)2(0.5x 21- x 1x 2)+k 1x 1(x 2-x 1x 3)^a =p 1+k 1(x 1x 2-0.5x 21) p 2=-k 2p 2-k 22x 3+ck 2x 3+k 2x 1x 2^b =p 2+k 2x 3p 3=-k 3x 23p 3+0.5k 23x 43+bk 3x 3-k 2x 1x 2x 3^c =p 3-0.5k 3x 231.2 小波变换理论小波变换是把原始信号分解成为一个低频概貌信号和一个高频概貌信号,它是利用小波母函数的平移和伸缩实现的.小波函数的定义如下:ψa,b (t )=1|a |ψ(t -b a )式中a 为尺度参数,b 为时间参数.当参数a 变化时,小波函数具有伸缩性,当参数b 变化时,小波函数随时间轴活动,如果a,b 同时变化则形成一簇小波函数,信号f (t )可以按这簇小波函数进行分解.对于任意信号f (t )∈L 2(R ),其小波函数定义如下:W (a,b )=∫∞-∞f (t )ψ3a,b (t )d t基于小波变换的阈值降噪方法的步骤简述如下:(1)选择合适的小波,对信号进行小波分解,得到小波系数W.(2)计算小波阈值δ,选择合适的阈值方法,对小波系数进行取舍,得到新的小波系数W δ.(3)对得到的小波系数W δ进行逆小波变换,得到降噪后的信号.Donoho 将阈值函数分为软阈值和硬阈值,设W 是小波系数的大小,W δ是施加阈值δ后的小波系数大小.(1)硬阈值当小波系数的绝对值小于给定阈值时,令其为0,而大于阈值时,保持其不变,即W δ=W , |W |≥δ0, |W |<δ(2)软阈值当小波系数的绝对值小于给定阈值时,令其为0,大于阈值时,令其都减去阈值,即W δ=sign (W )(|W |-δ), |W |≥δ 0, |W |<δ632第3期常迎香等:一个新混沌系统的参数辨识2 数值仿真用四阶R unge -Kutta 法进行数值仿真,为使系统处于混沌状态,系统参数如前所述,初始条件取为(x 1(0),x 2(0),x 3(0))=(-6,-4,1),积分步长为h =0.001,为达到精确和快速的参数辨识,各未知参数的初始值分别取为^a 0=x 1(h )-x 1(0)h (x 2(0)-x 1(0)),^b 0=x 1(0)x 2(0)+cx 3(0)+x 3(h )-x 3(0)h,^c 0=1x 3(0)[b -x 1(0)x 2(0)+x 3(h )-x 3(0)h].图1 系统(1)的三个未知参数a,b,c 随时间变化的辨识曲线Fig .1 I dentificati on curves of three uncertain para metersa,b,c of syste m (1)with varying ti m e图1给出了当选取控制增益k 1,k 2,k 3均为常数1时,未知参数a,b,c 的辨识结果随时间变化的曲线.对于不同的控制增益k,它的取值直接影响到辨识曲线的收敛速度,以参数b 为例,如图2所示,从参数b 的辨识曲线的收敛速度可知,k 值越大,系统参数b 所需的辨识时间也就越短.图3是选择Daubechies 小波作为小波母函数,采用db6进行尺度为8的分解,分别用软、硬阈值降噪法对染噪的参数c 的辨识结果进行处理,然后进行降噪信号的重构,消噪后的信号保持了原信号的光滑性和相似性,更凸显了辨识曲线的趋势,显然未知参数最终稳定在^c .图5给出参数b 在t =50s 后,在外界扰动下的辨识曲线,其中图5(a )给出参数b 由16跃变到,其它参数不变的情形,图5(b )给出参数b在t =50s 后按b =16+2sin t 变化,其它参数不变的情形.显然,在参数b 分别处于稳定值、发生跃变变化和缓慢变化时其辨识曲线仍然保持光滑性且稳定性.图2 不同k 值下未知参数b 的辨识曲线Fig .2 I dentificati on curves of uncertain para meterb with different values of k图3 硬、软阈值降噪下未知参数c 的辨识曲线Fig .3 I dentificati on curves of uncertain para meterc under hard and s oft threshold de -noising图4 其它参数不变,参数b 在不同外界扰动下的随时间变化的辨识曲线Fig .4 I dentificati on curves of para meter b under different interferences while other para meters are stable3 结论构造出合适的参数观测器,对一个具有研究价值的新混沌系统的所有参数进行辨识,并且对于公共参数a 实现了准确和快速的辨识,理论方法简单明了,同时利用小波变换可以进行多分辨率分析的特点,对信号小波变换在不同尺度下的小波系数进行阈值降噪,然后进行信号重构,提高了参数辨识的精确度.实验证明数值仿真与理论分析一致.732动 力 学 与 控 制 学 报2009年第7卷参 考 文 献1 Lorenz E N.Deter m inistic non -peri odic fl ow .J A t m os Sci,1963,20:130～1412 李险峰,张建刚,禇衍东,常迎香.一个类Lorenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真.动力学与控制学报.2007,5(4):324～329(L i Xianfeng,Zhang J iangang,Chu Yan 2dong,Chang Yingxiang .Dyna m ics analysis and circuit ex 2peri m ent si m ulati on f or a ne w Lorenz -like chaotic syste m.Journal of D ynam ics and Control,2007,5(4):324～329(in Chinese ))3 单梁,李军,王执铨.参数不确定L iu 混沌系统的自适应同步.动力学与控制学报,2006,4(4):338～343(Shan L i 2ang,L i Jun,W ang Zhiquan .Adap tive synchr onizati on of L iu chaotic syste m with uncertain para meters .Journal of D ynam 2ics and Control,4(4):338～343(in Chinese ))4 王琳,倪樵,刘攀,黄玉盈.一种新的类Lorenz 系统的混沌行为与形成机制.动力学与控制学报,2005,3(4):1～6(W ang L in,N i Q iao,L iu Pan,Huang Yuying .Chaos and its f or m ing mechanis m of an ne w Lorenz likes syste m.Journal of D ynam ics and Control,2005,3(4):1～6(in Chinese ))5 Chen G R,Ueta T .Yet another chaotic attract or .Int J B ifur 2cation Chaos,1999,9:1465～14666 L üJ H,Chen G R.A ne w chaotic attract or coined .Int J B i 2furcation Chaos,2002,3:659～6617 褚衍东,李险峰,张建刚,常迎香.一类新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟.四川大学学报(自然科学版),2007,44(3):596～601(Chu Yandong,L i Xianfeng,Zhang J iangang,Chang Yingxiang .Computer si m ulati on and circuit i m p le mentati on for a ne w aut onomous chaotic syste m Chaos and chaos synchr onizati on for a non -aut onomous r o 2tati onal .Journal of S ichuan U niversity:N atural Science Edi 2tion,2007,44(3):596～601(in Chinese ))8 刘晓君,李险峰,张建刚.一个新自治混沌系统的混沌同步控制.复杂系统与复杂性科学,2007,4(4):51(L iu Xi 2aojun,L i Xianfeng,Zhang J iangang .Chaos synchr onizati on f or a ne w aut onomous chaotic syste m.Co m plex Syste m and Co m plexity Science,2007,4(4):51(in Chinese ))9 关新平,彭海明,李丽香.Lorenz 混沌系统的参数辨识与控制.物理学报,2001,50(1):26～29(Guan Xinp ing,Peng Hai m ing,L i L ixiang .Para meters identificati on and contr ol of Lorenz chaotic syste m.A cta Physica S inica,2001,50(1):26～29(in Chinese ))10 马军,唐国宁,蒲忠胜等.一类复杂动力系统的参数辨析.郑州大学学报(自然科学版),2004,36(4):28～31(M a Jun,Tang Guoning,Pu Zhongsheng,et al .Parameter i 2dentificati on for one class of comp lex syste m.Journal of Zhengzhou U niversity:N atural Science Edition,2004,36(4):28～31(in Chinese ))11 马军,唐国宁.四维L C 振子的超混沌系统的参数辨识与同步.河南大学学报(自然科学版),2003,33(1):30～34(Ma Jun,Tang Guoning .Synchr onizati on of L.C oscil 2lat or hyperchaos syste m base on parameter identificati on .Journal of Henan U niversity (N atural Science Edition ),2003,33(1):30～34(in Chinese ))Received 11Dece mber 2008,revised 29Dece mber 2008.3The Pr oject supported by Nati onal Natural Science Foundati on of China (50475109),Gansu Pr ovince Government of China (3ZS -042-B25-049)and Scientific Research Foundati ons of Lanzhou J iaot ong University of China (DXS -07-0028,DXS -07-0029)PARA M ETER ID ENT IF I CAT I O N O F A NE W CHAO T I C S Y STE M3Chang Yingxiang 1 W ang Shuying 1 L i Xianfeng 2 Zhang J iangang1(1.School of M athe m atics,Physics and Soft w are Engineering,L anzhou J iaotong U niversity,L anzhou 730070,China )(2.D epart m ent of Electronic Engineering,C ity U niversity of Hong Kong,Hong Kong,China )Abstract Based on the stability theory,the suitable observers were given t o identify all the unknown para meters of a ne w chaotic syste m.The accurate and fast identificati on was i m p le mented by selecting right initial value .A t the sa me ti m e,the accuracy of para meter identificati on was i m p r oved by combining the wavelet de -noising .The 2ory analysis and numerical si m ulati on results show that the observers t o identify the para meters are effective and feasible .Key words para meter identificati on, observer, wavelet transf or m832。
混沌系统参数估计结果的不确定性分析
（ 中国船 舶重 工集 团公 司 第 ７ ０研 究所 ，湖 北 宜昌 ４ ３ ０ ） １ ４ ０ ３
摘
要 ：针 对混 沌 系统 参数估 计研 究 中 由于 随机观 测噪 声影 响而 导致 的参数 估计 结果 不确定 性 问题 ， 于 贝叶 基
斯定 理提 出 了一 种客观 评价 混沌 系统参 数估 计结 果不确 定性 的统 计方 法 ； 而以典 型的 Ｌ ｒｎ 进 ｏｅ ｚ系统 为例 进行 了 数值仿 真 ， 分析 了不 同 大小噪声 背景 下各 未知参 数估计 结 果 的不 确 定性 ； 最后 基 于仿 真 结 果提 出 了一种 在 有噪
ｔ ｍ． Ａｎｄ ｃ ｒｉ ｄ ｏ ｔｕ ｅ ａｎ ｙ ａ ａｙｓｓ ｏ ｓｉ ｔｏ ｅ ｕ ｔ ｆｔｅ Ｌ ｅ ｙ ｔ ｅ ａｒｅ ｕ ｎｃ ｒ ｉｔ ｎ ｌ ｉ ｆｅ ｔｍａ ｉｎ ｒ ｓ ｌｓ ｏ ｈ ｏｒｎｚ ｓ ｓｅｍ ａ ａ ｅｅｓ ｉ ｈ ａ ｅ ｏ ｆｅ ｅ ｔｎ ｓ ｔ ｐ ｒ ｍ ｔ ｒ ｎ ｔｅ ｃ ｓ ｆｄｉｆｒ ｎ ｏｉｅ
ｔ ｅ ｐ ｅ ｉｕｓｍｅ ｈ ｄ ｕｎ ｅ ｈ ａ ｉ ｌ ｔｏ ｏ ｉｉｎｓｉ ｄｉａｅ ｈａ Ｍ ＶＭ ｉ ｏ ｕ ｔａ ａｎ ｔｔ ｅ ｐ ｅ ｅ ｅ ｏ ｂ ｅ ｖ ｔｏ ｈ ｒ ｖ ｏ ｔ ｏ ｄ ｒｔ ｅ ｓ ｍｅ ｓｍｕ ａｉ ｎ ｃ ｎｄｔｏ ｎ ｃ ｔｓ ｔ ｔＰ Ｓ ｒ ｂ ｓ ｇ ｉ ｓ ｈ ｒ ｓ ｎｃ ｆｏ ｓ ｒ ａｉ ｎ
中图分 类号 ：Ｔ ３ Ｐ 文献 标志 码 ：Ａ 文章 编号 ：１０ — ６ ５ ２ １ ） １０ ４ — ３ ０ １３ ９ （ ０ ０ ０ ０ ５ ０
ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊ ｉ ｎ １０ —６ ５ ２ １ ． １０ ２ ｏ：０ ３ ６ ／．ｓ ．０ １３ ９ ． ０ ０ ０ ． １ ｓ
基于混合量子进化计算的混沌系统参数估计
基于混合量子进化计算的混沌系统参数估计
任子武;熊蓉
【期刊名称】《控制理论与应用》
【年(卷),期】2010(27)11
【摘要】混沌系统参数估计本质上是一多维参数优化问题.为精确估计混沌系统的未知参数,本文提出一种混合量子进化算法(HQEA)用于求解该优化问题,该方法采用实数量子角形式表示染色体,用量子比特的概率作为个体的当前位置信息;提出由差分进化计算更新量子位置状态的量子差分进化算法(QDE),并将其与实数编码量子进化算法(RQEA)相融合,以便令算法在解空间的全局探索和局部开发能力之间取得平衡,算法还引入量子非门算子,对当前最佳个体中按某个概率选中的量子比特位,进行变换操作,以便增强算法跳出局部最优解的能力.基准函数测试表明混合算法的全局搜索能力及可靠性都有很大改善,通过Lorenz混沌系统进行数值仿真,结果表明了该混合算法的有效性.
【总页数】7页(P1448-1454)
【作者】任子武;熊蓉
【作者单位】浙江大学智能系统与控制研究所,浙江,杭州,310027;浙江大学智能系统与控制研究所,浙江,杭州,310027
【正文语种】中文
【中图分类】TP18
【相关文献】
1.基于量子混沌粒子群优化算法的分数阶超混沌系统参数估计 [J], 闫涛;刘凤娴;陈斌
2.基于混合遗传粒子群算法的混沌系统参数估计 [J], 张健中;王庆超
3.基于不同混沌时延系统同步的混沌遥测系统参数估计 [J], 魏恒东
4.基于不同混沌时延系统同步的混沌遥测系统参数估计 [J], 魏恒东
5.基于多机制混合象群算法的混沌系统参数估计 [J], 张子建;王宏伟;周怀芳;尤森槟
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自适应人工蜂群优化的混沌系统参数估计
自适应人工蜂群优化的混沌系统参数估计任开军;邓科峰;刘少伟;宋君强【摘要】In order to accurately estimate the unknown parameters for chaotic systems,the artificial bee colony optimization algorithm was improved,and an adaptive artificial bee colony optimization algorithm was proposed.The proposed method formatted the problem of parameter estimation for chaotic systems to a multidimensional variable optimization problem,and used the artificial bee colony optimization algorithm to search the unknown parameters in a guided random manner.During the search process,the method adaptively adjusted the step size and the solution trial limits based on the optimum degree of the population and the quality of the solutions.The numerical simulation on the classic Lorenz chaotic system demonstrates that the proposed method is robust and can obtain accurate estimation for chaotic systems without noise or with intensive noise.%为了对混沌系统未知参数进行准确估计，改进了人工蜂群优化算法，提出自适应人工蜂群算法的混沌系统参数估计方法。
混沌的数值计算与分析
本科毕业论文（设计）题目混沌的数值计算与分析学生姓名专业名称指导教师2012 年5月9 日目录一、论文（设计）正文引言 (1)1 混沌介绍 (1)1.1混沌的定义 (1)1.2混沌的基本特征 (2)1.3混沌的数学特征 (3)1.3.1关联维数 (3)1.3.2L YAPUNOV指数 (4)2 混沌的计算与分析 (5)2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)2.2混沌的定义特征分析 (8)2.2.1混沌的定义分析 (8)2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)2.3L ORENZ系统族 (13)2.3.1L ORENZ方程组 (13)2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)3 混沌本质及前景 (18)参考文献： (21)谢辞 (22)二、附录1.论文（设计）任务书 (23)2.论文（设计）结题报告 (245)3.论文（设计）成绩评定及答辩评议表 (27)4.论文（设计）答辩过程记录（附页） (29)混沌的数值计算与分析摘要：本文首先对混沌的定义和特点及判别方式做了基本的介绍，然后用数值计算与分析的方法利用MATLAB软件以Logistic映射为例对混沌的定义和特征做了编程绘图详细分析。
介绍了两个判别系统进入混沌的定量指标如Lyapunov指数等。
再以Lorenz系统为例通过数值计算分析其性质特征。
用软件绘图直观展示混沌吸引子的特征。
最后对混沌的定义加以总结，强调数值计算与分析在混沌研究中的重要性，并展望混沌研究的发展前景。
关键词：Logistic映射；Lorenz系统；奇怪吸引子；MATLAB；INumerical calculation and analysis of the chaosAbstract:This paper the definition and characteristics of chaos and the way to do the basic criterion introduced, and then the numerical calculation and analysis method of use of MATLAB software to Logistic mapping as example to the definition and characteristics of chaos made a detailed analysis of the programming drawing. Introduces two discriminant system into the chaos of the quantitative indicators such as Lyapunov index, etc. And Lorenz system for example through numerical analysis and characteristics. With the software drawing intuitive show the characteristics of chaotic attractor. At last the definition of chaos summarized, emphasize the calculation and analysis of the importance of study in chaos, the prospect of the development of the research prospect of chaos.Key words: Logistic mapping; Lorenz system; Strange attractor; MATLAB;II目录引言 (1)1 混沌介绍 (1)1.1混沌的定义 (1)1.2混沌的基本特征 (2)1.3混沌的数学特征 (3)1.3.1关联维数 (3)1.3.2L YAPUNOV指数 (4)2 混沌的计算与分析 (5)2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)2.2混沌的定义特征分析 (8)2.2.1混沌的定义分析 (8)2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)2.3L ORENZ系统族 (13)2.3.1L ORENZ方程组 (13)2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)3 混沌本质及前景 (18)参考文献 (21)谢辞 (22)11引言混沌，被誉为相对论和量子力学之后的本世纪最重要的科学发现之一。
混沌Hamilton系统的统计力学模拟
混沌Hamilton系统的统计力学模拟混沌系统是指一类具有极其敏感的初始条件的动力学系统，其行为看似无序、不可预测，但实际上具有确定性。
Hamilton系统是经典力学中描述具有保守性质的系统的一种理论框架。
在混沌Hamilton系统的研究中，统计力学模拟成为了一种重要的工具，可以用来描述系统的平均行为、稳定性和相空间的统计分布等。
1. 引言混沌理论的提出和发展，为我们认识自然界中的复杂系统提供了一种新的途径。
混沌Hamilton系统作为混沌理论的重要研究对象，被广泛应用于天体力学、固体物理学、流体力学等领域。
在研究混沌Hamilton系统时，我们通常需要通过统计力学模拟来获取系统的相关信息。
2. 混沌Hamilton系统的基本方程混沌Hamilton系统通常由Hamilton函数和Hamilton方程组来描述。
Hamilton函数是系统的总能量函数，而Hamilton方程组则给出了系统中各个自由度的演化规律。
对于一个N维的混沌Hamilton系统，其Hamilton函数可以表示为：H(p, q) = Σ(p_i^2 / 2m_i) + V(q_1, q_2, ..., q_N)其中，p和q分别代表系统中的广义动量和广义坐标，m_i代表第i个质点的质量，V(q_1, q_2, ..., q_N)为系统的势能函数。
3. 统计力学模拟方法（此处可以详细介绍几种常用的统计力学模拟方法，如Monte Carlo 模拟、分子动力学模拟等）4. 混沌Hamilton系统的统计力学模拟在进行混沌Hamilton系统的统计力学模拟时，我们通常利用数值方法来求解Hamilton方程组。
通过选取适当的初始条件和参数，可以模拟系统的演化过程，并研究系统的平均行为和统计性质。
5. 统计物理量的计算在混沌Hamilton系统的统计力学模拟中，我们通常关注的是系统的平均物理量。
通过对模拟过程中的轨迹进行时间平均或者相空间平均，可以计算出系统的平均动能、平均势能、平均总能量等物理量。
Lorenz混沌系统的参数辨识与控制
在实际中需要得到未知参数 b 的值. 然而 , 在
很多情况下 ,未知参数的动态信息很难被得知 ,因此
本文假定
·
b = 0.
对于未知的参数 b ,把它作为状态变量 , 则可得到一
增广的系统状态变量 [ x T ; b ] T , 更进一步 , 假设 (1)
式中的所有状态均可得到 ,只需辨识未知的参数. 为
统.
下面给出系统仿真结果. 本文研究 P = 10 , R = 28 时 , 参数 b 辨识的情 况. 为了仿真需要 ,不妨假设 b = 21667. 根据前面的 分析 ,我们选择 p ( x3) = kln ( x3) , k = 0 . 5 ,则易得
图 1 系统的混沌动力学轨迹
(a) 系统参数的辨识结果
l ( x3)
=
d p ( x3) d x3
.
综合上面的方程得到
δ·=
· ^b +
d p ( x3) d x3
x·3
= - l ( x 3) x 3 (δ -
即
p ( x3) ) + l ( x3) x1 x2 ,
δ·= - l ( x 3) x 3δ + l ( x 3) ( x 3 p ( x 3) + x 1 x 2) ,
方冷却的热对流管中的环流 , 此时 , x 1 是流体速度 , x 2 和 x 3 分别为水平和垂直的温度差 , P 与流体的
Prandtl 数成比例 , b 是与空间相关的常数 , R 与流
体的 Rayleigh 数成比例. 本文主要研究系统参数 P ,
R 为已知参数 ,而 b 为未知参数时的情况.
1期
关新平等 :Lorenz 混沌系统的参数辨识与控制
《混沌时间序列盲估计方法研究》
《混沌时间序列盲估计方法研究》一、引言混沌时间序列分析是现代时间序列分析领域的一个重要分支，它主要研究的是那些具有复杂非线性特性的动态系统的时间序列数据。
在实际应用中，这类数据的获取和有效分析通常具有较大的挑战性，特别是在需要进行盲估计时。
盲估计是指在没有完全确定系统模型或系统参数的情况下，通过观测到的数据对系统状态或系统特性进行推断和估计。
本文主要探讨了混沌时间序列的盲估计方法及其相关应用。
二、混沌时间序列的特性和研究意义混沌时间序列是由复杂的非线性系统产生的，具有随机性、不可预测性、非周期性等特点。
这类时间序列在许多领域如气象、经济、生物医学等都有广泛的应用。
因此，对混沌时间序列的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
然而，由于混沌系统的复杂性和不确定性，使得对这类时间序列的准确估计变得非常困难。
因此，发展有效的盲估计方法成为了一个重要的研究方向。
三、混沌时间序列的盲估计方法1. 基于统计学习的盲估计方法统计学习是处理时间序列数据的一种常用方法，它可以有效地提取出数据中的统计特性。
在混沌时间序列的盲估计中，基于统计学习的方法可以依据观测到的数据建立统计模型，通过模型的输出对系统状态进行估计。
常用的统计学习方法包括自回归模型、移动平均模型等。
2. 基于机器学习的盲估计方法随着机器学习技术的发展，越来越多的研究者开始将机器学习方法应用于混沌时间序列的盲估计中。
这种方法通过训练模型来学习数据中的模式和规律，从而实现对系统状态的估计。
常用的机器学习方法包括神经网络、支持向量机等。
3. 基于小波变换的盲估计方法小波变换是一种有效的信号处理方法，它可以将信号分解成不同频段的子信号，从而实现对信号的细致分析。
在混沌时间序列的盲估计中，基于小波变换的方法可以通过对观测到的数据进行小波变换，提取出信号中的有用信息，从而实现对系统状态的估计。
四、实验与结果分析本文采用了几种不同的盲估计方法对混沌时间序列进行了实验研究。
chen混沌系统方程_解释说明
chen混沌系统方程解释说明1. 引言1.1 概述混沌系统是指具有不可预测性和高度敏感依赖于初始条件的动力学系统。
这些系统在数学上表现出复杂的、非周期的行为，其演化过程无法由常规的微分方程描述。
Chen混沌系统是其中一种经典的混沌系统模型，由Chen等人在20世纪90年代提出，并引起了广泛关注。
1.2 文章结构本文将首先介绍混沌系统方程的背景知识，包括其理论基础、历史发展和应用领域。
接着详细解释Chen混沌系统方程的定义和属性，并探讨其数学表达式、相空间描述以及Lyapunov指数和混沌性质。
随后，我们将对Chen混沌系统方程进行动力学行为分析和模拟探究，包括平衡点和稳定性分析、流场特征与相轨迹演化以及参数选择与动力学行为模拟。
最后，文章将总结对Chen混沌系统方程的研究成果，并展望未来研究的方向与挑战。
1.3 目的本文旨在对Chen混沌系统方程进行全面的解释和说明。
通过详细介绍Chen混沌系统方程的数学表达式、属性特征以及动力学行为分析，读者能够对该混沌系统模型有更深入的理解。
此外，本文还将探讨未来研究该方程可能面临的挑战和可行的研究方向，为相关领域的学者提供参考和启示。
2. 混沌系统方程的背景2.1 理论基础混沌系统是一类具有无规则行为和高度敏感依赖于初始条件的动力学系统。
与传统的线性系统不同，混沌系统表现出不可预测性和复杂性，其运动轨迹在相空间中呈非周期性而且高度复杂。
正是这种无规律的行为给混沌系统带来了很多新奇的特性和应用。
混沌理论的发展起源于随机过程和动力学领域，早期由著名数学家洛伦茨所提出的洛伦兹吸引子模型成为了研究混沌现象的重要基础。
此后，多个混沌模型被提出并广泛研究，其中包括经典的Henon映射、Logistic映射以及Chua电路等。
2.2 历史发展Chen混沌系统方程是由陈氏夫妇于1999年提出的一种三维非线性动力学方程。
这个方程通过调节参数可以实现从周期运动到混沌现象的转变，在控制理论、信息加密等领域得到了广泛应用。
混沌振动的系统参数研究及其仿真计算
混沌振动的系统参数研究及其仿真计算一、本文概述混沌振动是自然界中普遍存在的非线性现象，其复杂的动态行为和不可预测性一直是物理学、工程学和数学等领域的研究热点。
系统参数对混沌振动的产生、演化以及控制起着至关重要的作用。
本文旨在深入研究混沌振动的系统参数，通过理论分析和仿真计算，揭示参数变化对混沌振动特性的影响规律，为混沌振动的理论研究和实际应用提供有益的参考。
具体而言，本文首先将对混沌振动的基本概念、特点和产生机制进行简要介绍，为后续研究奠定理论基础。
然后，将重点探讨系统参数，如质量、阻尼、刚度等对混沌振动的影响，并通过数学模型和仿真计算，分析参数变化与混沌振动特性之间的关系。
在此基础上，本文将进一步研究混沌振动的控制方法，探讨如何通过调整系统参数来实现混沌振动的有效抑制和利用。
本文的研究内容不仅有助于深化对混沌振动现象的理解，也为混沌振动的实际应用提供了新的思路和方法。
通过仿真计算和实验验证，本文将为混沌振动的控制、预测和优化提供科学依据，推动混沌振动理论在工程实践中的应用和发展。
二、混沌振动理论基础混沌振动，作为一种非线性动力学现象，在多个领域，包括物理学、工程学、生物学、经济学等中均有广泛应用。
混沌理论旨在揭示看似随机、无序的复杂系统中的内在规律性和可预测性。
混沌振动的研究始于对简单非线性系统的分析，如范德波尔振荡器，后逐渐拓展至更复杂的系统和实际应用。
混沌振动的一个核心特征是系统的敏感性依赖于初始条件，即所谓的“蝴蝶效应”：在混沌系统中，一个微小的初始差异可能导致长期的巨大差异。
混沌系统往往具有不可预测的长期行为，并且表现出复杂的频率和振幅变化。
混沌振动的研究依赖于一系列数学工具，如微分方程、傅里叶分析、功率谱密度等。
通过这些工具，研究人员可以分析混沌系统的动力学特性，如频率、振幅、相位等，并揭示其潜在的周期性或准周期性结构。
在混沌振动的研究中，系统参数起着至关重要的作用。
参数的变化可能导致系统从有序状态转变为混沌状态，或反之。
混沌系统控制与优化研究
混沌系统控制与优化研究混沌系统（Chaotic System）是指具有非线性动力学行为，表现出高度复杂和不可预测性质的系统。
它在物理、生物、经济等各个领域中具有广泛的应用和研究价值。
混沌系统的控制与优化研究是一门专业性强的学科，本文将按类划分章节，详细介绍混沌系统控制与优化的相关内容。
一、混沌系统基础知识1.混沌系统定义和特点：介绍混沌系统的基本概念和主要特征，包括非线性、敏感依赖初值、周期倍增和拓扑混沌等。
2.混沌系统产生机制：探讨混沌系统的产生机制，如Logistic映射、Lorenz方程等，解释混沌现象的动力学原理。
3.混沌系统的分析方法：介绍混沌系统的常用分析方法，如Poincaré截面、相空间重构和Lyapunov指数等，用于描述混沌系统的特性。
二、混沌系统控制方法1.传统控制方法：介绍传统控制方法在混沌系统中的应用，如PID控制、模糊控制和自适应控制等，分析其优势和不足。
2.混沌控制方法：探讨专门针对混沌系统开发的控制方法，如辨识控制、反馈控制和混沌同步等，详细介绍其原理和实现步骤。
3.基于优化算法的混沌系统控制：介绍将传统优化算法应用于混沌系统控制的方法，如遗传算法、粒子群优化和模拟退火等，讨论其优化效果和适用性。
三、混沌系统优化方法1.目标函数的优化：讨论混沌系统中目标函数的定义和优化方法，如最小二乘法、最大似然估计和极大似然估计等，分析其应用场景和效果。
2.参数优化：介绍针对混沌系统中参数的优化方法，如精确搜索、约束优化和粒子群算法等，详细解释其原理和应用步骤。
3.优化算法在混沌系统中的应用：探讨将优化算法应用于混沌系统建模和参数优化的实例，如混沌序列预测和混沌电路设计等，分析其优势和限制。
四、混沌系统控制与优化应用1.物理领域：介绍混沌系统控制与优化在物理领域中的应用，如混沌电路设计、自然气体控制和非线性振动系统控制等，分析其研究意义和实际应用效果。
2.生物领域：探讨混沌系统控制与优化在生物领域中的应用，如生物振荡器调控、神经网络模拟和生物多样性保护等，讨论其潜在贡献和技术挑战。
一类超混沌系统的参数辨识和混沌反同步
下 ， 数 未 知 超 混沌 系统 实现 混 沌 反 同步 ， 参 从而 证 明 该观 测 器 和 控 制 器 的有 效 性 。
关键 词 ： 学 ； 沌 反 同步 ； 混 沌 系 统 ； 数 观 测 器 ； 定 性 理 论 ； 线 性 反馈 控 制 器 数 混 超 参 稳 非
中图 分 类 号 ：Ｐ ７ Ｔ２３
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混沌动力学模型构建及其特征参数解释
混沌动力学模型构建及其特征参数解释混沌动力学是一种描述非线性系统行为的数学模型，它能够揭示复杂系统中的非周期性、随机性和敏感依赖性等特征。
混沌动力学模型的构建是分析和理解复杂系统行为的重要工具，具有广泛的应用领域，包括物理学、天文学、生物学、经济学等。
一、混沌动力学模型的构建1. 变量选择：混沌动力学模型的构建首先需要确定系统中的变量。
变量的选择应基于对系统行为的理解和研究目标的要求。
通常，我们选择与系统行为密切相关的变量作为研究对象，比如系统的位置、速度、温度等。
在选择变量时，还要考虑是否能够获取足够的数据和观测结果，以便进行模型验证和参数估计。
2. 系统方程：混沌动力学模型的构建需要建立系统方程，描述系统变量之间的相互作用和演化规律。
系统方程通常是非线性的，可以是一阶、二阶或更高阶的微分方程。
为了使得系统呈现混沌行为，通常会引入非线性项和随机项。
3. 初始条件：混沌动力学模型的构建需要给定合适的初始条件。
初始条件对系统的演化过程具有重要的影响，不同的初始条件可能会导致完全不同的系统行为。
在实际应用中，为了得到可重复和可验证的结果，通常会使用特定的初始条件或者随机生成的初始条件集合进行模拟。
4. 数值求解：混沌动力学模型通常很难求解解析解，所以需要利用数值方法进行模拟和求解。
常用的数值方法包括欧拉法、Runge-Kutta法和蒙特卡洛模拟等。
在进行数值求解时，需要选择合适的时间步长和求解精度，以保证模拟结果的准确性。
二、混沌动力学模型的特征参数解释混沌动力学模型的特征参数是用来描述系统行为和性质的重要指标，常用于对混沌现象进行定量分析和比较。
以下是几个常用的特征参数及其解释：1. Lyapunov指数：Lyapunov指数是衡量系统混沌程度和敏感依赖性的指标。
Lyapunov指数是通过计算系统中不同相邻轨道之间的差异来定量度量系统的敏感依赖性。
Lyapunov指数越大，系统混沌程度越高。
2. 分岔图：分岔图是描述系统分岔现象的工具。
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1 概述
混沌系统的控制与同步是非线性控制理论中一个重要的研究方向，要实现对混沌系统的控制与同步，首先的问题是必须估计出混沌系统的未知参数，因而对混沌系统参数估计问题的研究是十分有意义的。
对于混沌系统参数估计的问题研究由来已久。
研究人员最初所使用的方法大多是基于线性系统理论的基本方法，随着新的技术手段和计算机技术的进步，新的研究方法不断涌现，实现了线性系统控制向非线性系统控制的转化，再到智能控制上的转化。
这些方法的提出给混沌系统参数估计提出更新的思路。
2 基于线性系统理论的方法
一般情况下，混沌系统的动力学方程是确定性的非线性方程，而非线性系统理论中的某些问题的解决，很多都是借鉴了线性系统的基本理论，估算动力学方程的某些未知参数时，产生了诸如最大误差最小方法、投影算法、BAYES方法等。
寻求简单、实用的方法对于工程问题来说就是值得好好研究的课题。
王绍明根据连续混沌系统状态变量的极值大小和位置都是随机的特点，利用状态变量在极值处导数等于零的特点，将微分方程在状态变量的
极值点化为代数方程，结合最小二乘法提出了一种较为简单的估计方法，该方法具有较好的抗噪声干扰能力。
关新平等提出了一种比较巧妙的方法，将要辨识参数问题转化为未知状态的观测辨识问题，其关键就是构造某种状态观测器。
该观测器具有很强的鲁棒性，且参数辨识速度具有快速收敛性。
随后，王绍明等改进了该项工作，提出了对多变量的未知参数的状态观测器，该方法避免了较复杂的理论，方法简洁明了，但是上述方法中对于如何构建观测器没有给出具体的说明。
3 基于优化理论的方法
随着现代科学技术的发展，人们在设计一个工程时，总是希望得到一个最优方案。
而在操作一个工程装置时，总是希望得到一个最优的操作条件。
把优化的思想引入到混沌系统的参数估计问题中，结合驱动响应同步的方法，成功地解决了参数的估计问题。
任海鹏等在已知驱动系统结构，未知驱动系统参数的情况下，设计了与同步误差有关的性能指标，通过共轭梯度方法调节响应系统参数（即实现某种调节了的最优情况），使得同步误差减小，直到完全同步，即在实现同步的同时实现了对参数的估计。
但是此法有一定的局限性，如果参数存在局部极小，则有可能得不到真实的参数值。
另外，
混沌系统参数估计问题综述
吴 雷 李啟尚
（空军空降兵学院六系，广西 桂林 541003）
摘要：
混沌参数估计问题是混沌控制与同步中首要解决的课题，具有很重要的现实意义。
文章阐述了对混沌系统参数估计的基本方法以及新的智能算法在参数估计中的应用，并指出了这些方法的优缺点。
关键词：
混沌系统；参数估计；智能算法中图分类号：
TP3 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2012）30-0133-022012年第30期（总第237期）NO.30.2012
（CumulativetyNO.237）
交流园地
E
xchange Field
任海鹏把自适应机制引入到此类问题的解决中，问题的解决框架仍然是驱动响应模式，其核心是设计一个与同步误差有关的二次型性能指标函数，将参数估计的问题转换为特定性能指标下的优化问题。
这些方法可用于混沌键通信的破译。
4 基于智能算法的技术
自然科学领域中某些问题，利用现有的知识和技术手段可能面临着很大的困难，但是人们从大自然中得到了启发，种类繁多的生物界在长期“优胜劣汰”的进化过程中逐渐适应了纷繁复杂的变化，从而得以生存和发展。
自然界就是人类各种技术思想﹑工程原理及重大发明的源泉，利用大自然的某些机理来解决各种实际工程问题，就成为一条可能的途径。
在国内，利用智能算法解决参数估计问题发表的文献不是很多，但是给后续的研究工作提供了一种思路。
戴栋等利用了遗传算法的全局优化搜索能力，将参数的估计问题转化为求最大化问题。
遗传算法是一种以自然选择和遗传理论为基础，将生物进化过程中适者生存规则与群体内部染色体的随机信息交换相结合的搜索算法，在该文献中基于遗传算法，提出了一种以新的合适的适应度函数，成功地实现了对Lorenz系统参数b的估计，但是参数估计只在短时间内有意义，且需要多次试验求取统计平均值，总体来看此法对噪声具有鲁棒性。
高飞等在前述工作的基础上，基于群集智能，利用PSO的全局优化搜索能力，采用了均匀设计方法设计群体﹑偏转目标函数来改善PSO的收敛性能，改进了基本PSO对混沌系统进行参数估计及在线估计和校正，但是此法仍然没避免长时间参数估计有效的问题。
李丽香等提出了采用蚁群算法对混沌系统进行参数估计，在单参数和多参数以及无噪声和存在加性噪声的情况下，该算法能取得较好的结果。
相对于文献，蚁群算法中不需要编码过程，比用遗传算法要简练，其结果也优于遗传算法，但是该算法比较冗杂、速度慢、精度低。
基于智能算法的混沌参数估计结果存在不确定的问题。
其原因之一是由于实际应用中不可避免的随机观测噪声等因素引起的，具体表现为最优参数的确定过于依赖于采用估计方法，不同的智能算法在参数设置的随机性，进化策略上都不尽相同，需要有一个客观的评价标准。
由于随机性的存在，只能依赖于统计学的方法加以确定。
高伟提出了基于贝叶斯定理的一种客观评价方法，这对评估智能算法的有效性上提出了一种有效的途径。
参考文献
[1] 王绍明，岳超源，罗海庚．基于极值点的混沌系统参数估
计方法及应用[J]．华中科技大学学报，2007，35（9）：121-124．
[2] 关新平，彭海朋，李丽香，等．Lorenz混沌系统的参数辨
识与控制[J]．物理学报，2001，50（1）：26-29．
[3] 王绍明，岳超源，廖晓昕，等．基于观测器的Lorenz混沌
系统参数辨识[J]．武汉理工大学学报，2006，28（12）：120-123．
[4] 任海鹏，韩崇召．基于共轭梯度法的混沌系统参数辨识
与同步[J]．仪器仪表学报，2008，25（2）：213-220．[5] 任海鹏，殷佳，郑岗，等．基于自适应同步的混沌系统参数
辨识方法的研究[J]．量子电子学报，2008，25（2）：213-220．
[6] 戴栋，马西奎，李富才，等．一种基于遗传算法的混沌系
统参数估计方法[J]．物理学报，2002，51（11）：2459-2462．
[7] 高飞，童恒庆．基于改进粒子群优化算法的混沌参数估
计方法[J]．物理学报，2002，55（2）：557-582．
[8] 李丽香，彭海朋，杨义先，等．基于混沌蚂蚁群算法的
Lorenz混沌系统参数辨识[J]．物理学报，2007，56（1）：51-55．
[9] 高伟．混沌系统参数估计结果的不确定性分析[J]．计算
机应用研究，2010，27（1）：45-47．
作者简介：吴雷（1979-），男，湖南长沙人，空军空降兵学院六系讲师，工学硕士，研究方向：混沌控制和优化算法。
（责任编辑：叶小坚）
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