线性变换的特征值和特征向量

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例3.5 续
解: 1) 特征多项式
特征值： 特征值： 2) 特征向量
的基础解系. 的基础解系
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例3.5 续
的基础解系. 的基础解系
特征子空间: 特征子空间 特征子空间
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变换的特征值与特征向量的求法
(1) 特征多项式 特征多项式; (2) 求特征值； 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间． 写出特征子空间．
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例题
Biblioteka Baidu
因此, 矩阵R在实数域上没有特征值 在实数域上没有特征值. 因此 矩阵 在实数域上没有特征值 如果把R看成复数域上的矩阵 则有两个特征值, 如果把 看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值 看成复数域上的矩阵 但没有几何意义. 但没有几何意义
特征值与特征向量与矩阵所在的数域有关系
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例子: 线性变换的矩阵 例子
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线性变换的特征值与特征向量
1) 特征向量与经过线性变换后的向量共线 特征向量与经过线性变换后的向量共线.
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例子
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例子
思考: 对于n维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量 维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量. 思考 对于 维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量
§3 线性变换的特征值与特征向量
在有限维的线性空间中，取定一组基后， 在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就 确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。 确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节 初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。 初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。 线性变换的特征值与特征向量 若干例子 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法 特征多项式, 特征多项式 齐次线性方程组 特征值的一些重要性质
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特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量 特征子空间
如果存在非零列向量X使得 如果存在非零列向量 使得
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变换的特征向量与矩阵的特征向量
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特征矩阵与特征多项式
一个n阶方阵在数域 个特征值, 一个 阶方阵在数域 K 上至多有 n 个特征值 个特征值(重根计算重数 重根计算重数). 在复数域上正好有 n 个特征值 重根计算重数
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特征值与行列式, 迹 特征值与行列式
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特征多项式的性质
线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值 矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标 随着基的变化而变化
相似的矩阵有相同的特征多项式, 相似的矩阵有相同的特征多项式 因此有相同的特征值
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例题 3.5
特征多项式; 解: (1) 特征多项式 (2) 求特征值； 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间． 写出特征子空间．