第七章 非线性动力学与混沌 讲义

二. 解的稳定性
Lyapunov稳定性定义：
x f (x)
x (x1, x2 ,, xn ) f ( f1, f2 ,, fn )
❖(1) 设t=t0时方程的解为x0 (t0 )，t时为 x0 (t) ，另一受扰动而偏离它的
解t0时为x(t0 ) ， t时为x(t)。如果对于任意小的数 0，总有一小数 0 存在，使得当 x(t0) x0(t0) 时，必有 x(t) x0(t) ,t0 t
例1. x 2 t
x0 (0) 1
解： x(t) 2t 1 t 2 c 2
x0 (0)Leabharlann c 1x0 (t)2t
1 2
t2
1
x(0) x0(0) c 1
x(t) x0 (t) c 1
x0 (t) 是Lyapunov稳定的
例2. x t x
1阶，2维 n+1维自治
Duffing方程
mx x kx x3 F cos t
x1 x, x2 x x3 cos t, x4 x3
x1 x2
x2
k m
x1
m
x13
m
x2
F m
x3
xx34
x4 2 x3
一阶常微分方程组 xi fi (x1, x2 ,, xn )
i 1,2,, n
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 自治方程与非自治方程
mx F(x, x )
不显含时间，自治的
mx F(x, x,t) 显含时间，非自治的
2. 常微分方程一般形式
（1）自治的 x f (x, x)
2阶，1维
x1 x x2 x x1
（2）非自治的 n维非自治
xi t, xi 1
x1 x2 x2 f (x1, x2 )
mx
k x2
二. 决定性系统与不可预测性
1. 力学决定论及其伟大成就
mx F(x, x,t) x x0, x x 0
t t0
x(t ), x (t )
存在且唯一， 可预测性
❖ 1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 ❖ 1846年，海王星在预言的位置被发现。 ❖ 今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
1. 定态解 xi 0 i 1,2,, n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
第七章 非线性动力学与混沌 Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@ 吉林大学物理学院
参考书
❖ 刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994
❖ 林振山，《非线性力学与大气科学》，南 京大学出版社，1993
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体 的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最 庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物 是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。
——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）
2. 力学决定论不断受到挑战
x12 A2
x22
( A0 )2
1
x
x2
t
时空轨迹
x1
相图
阻尼弹簧振子
x 2x 02 x 0
通解 x Aet
x1 x2
x2
02 x1
2x2
代入方程
2 2 02 0
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时 0 0 i, 02 2 x1 x Aet cos(t ) x2 x Aet[ cos(t ) sin(t )]
则称解x0 (t) 是Lyapunov意义下稳定的，简称Lyapunov稳定的或稳
定的。
x y (x1 y1)2 (x2 y2 )2 (xn yn )2 1 2 两矢量间的距离
❖(2) 如果解
x0 (t) 是稳定的，且
lim
t
x(t) x0 (t)
0
则称此解
是渐进稳定的。
❖(3) 不满足上述条件的解是不稳定的。
x
2 2 Aet sin(t 0 )
x2
t
时空轨迹
x1
相图
小结
❖ 非线性动力学系统 ❖ 决定性系统与不可预测性（初值敏感性） ❖ 一阶自治常微分方程组 ❖ 相空间
§7.2 运动稳定性分析
一. 非线性方程解的各种形式 xi fi (x1, x2 ,, xn ) i 1,2,, n
洛仑兹方程
x 10x 10y
y
28x
y
xz
z xy 8z / 3
初值敏感性
不可预测性，混沌
初值敏感演示
杜芬（Duffing）方程： （带阻尼弹性系统的强迫振动）
mx x kx x3 F cos t
x10 1,
x10 0
x20 1.000001, x20 0
三. 常微分方程的一般形式
❖ 数值计算 优点： ❖ 系统的状态
❖ 相空间
四. 相空间（相图）的概念
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度） 张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。
弹簧振子 x 02 x 0
x1 x2
x2
02 x1
通解 x Acos(0t ) x1 x A0 sin(0t ) x2
❖ 1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟）
❖ 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。
❖ 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。