6_网络最大流详解

v( f ') v( f )
fij f ' fij f ij
(vi , v j ) (vi , v j ) 非增广链上的弧
割集和割集的容量
设有网络D={V，A，C}，点vs与点vt的是集合V中的任意两 点，若点集V被剖分成两个非空集合 V1和V1 ( V \ V1 ) ，使 vs V1 ,vt V1 ，记以 V1 中的点为始点， V1 中的点为终点 的A中弧的集合记为 ( V1 ,V1 ) 则称这个弧的集合是分离点vs与点vt的割集（又称截集）。 割集的容量是割集中各弧的容量之和，用
9(9)
D中，若为从vs到vt的一条链，给定向为从vs到vt , 前向弧集 ：与同向

后向弧集 ：与反向，

第10页
•可增广链
非饱和弧
f1 c1
8(8)
v1
9(4) 2(0)
v3
6(1)
5(5)
f 2 c2
f3 0 vs 5(4)
7(5)
f 是可行流，
非0流弧
v2
fn1 0
9(9)
f n cn
vt
v4
10(8)
0 f c 每一个 ( v , v ) ij ij i j 若 0 f c 每一个 ( v , v ) ij ij i j 则称为关于可行流f 的从vs到vt的可增广链。
cij fij (vi , v j ) ij f ( v , v ) ij i j min{ ij } 0
第六章 网络最大流
第 1页
网络最大流问题
如同我们可以把一个实际的道路地图抽象成一个有向 图来计算两点之间的最短路径，我们也可以将一个有向图 看作一个流网络来解决另一类型的问题。 流网络比较适合用来模拟液体流经管道、电流在电路 网络中的运动、信息网络中信息的传递等等类似的过程。
50年代福特（Ford）、富克逊（Fulkerson）建立 的“网络流理论”，是网络应用的重要组成部分。
第 2页
问题的提出
在一个输油管网中，有生产石油的油井、储存石油的油 库、转运石油的中间泵站，同时，还有各种口径不同的输油 管。当一个输油管网给定后，单位时间内最多可把多少石油 从油井输送到油库？具体方案如何？
分析：就输油管网络问题，可用顶点表示油井、油 库和中间泵站，用有向边表示输油管，用有向边上 的权表示单位时间沿相应的输油管可以输送石油的 最大数量（容量）。
c(V1,V1 ) 表示。
v3
6(1)
5(5)V1
V1 {s, v1 , v2 },V1 {v3 , v4 , vt } 8(8)
割集 {(v1 , v3 ),(v2 , v4 )} 割集的容量为9+9=18
V1
v1
5(4)
K 9(4)
vs
7(5)
2(0)
vt
10(8)
第12页
v2
K
9(9)
cij=5 fij=0 v2
（v1，v2）是0流弧
4、如果fij>0，该弧是非0弧；
v1
cij=5 fij>0 v2 （v1，v2）是非0弧
第 9页
链及可增广链 •链
8(8)
v1
5(4)
9(4) 2(0)
v3
6(1)
5(5)
vs
vt
在最大流问题中，研究的是有向网络图。但是在求最大流 7(5) 10(8) v2 v4 的方法中，则要使用无向网络中的链。
集合f { f ij }
(1)容量限制条件 (2)中间点平衡条件
可行流 满足下面条件Fra Baidu bibliotek流：
ki
运输问题中，每个运 输方案就是一个流
f f 用v( f )表示网络中从s t的流量 v( f ) f f 中间点的输入量 输出量
ij k j
sj j j
0 f ij cij
v4
考虑KK的不同画法
8(8)
v1
5(4)
9(4)
v3
6(1)
5(5)
vs
7(5)
2(0)
vt
10(8)
v2
割集
9(9)
v4
V {s} {s, v1} {s, v2 } {s, v1 , v2 } {s, v1 , v3} {s, v2 , v4 } {s, v1 , v2 , v3} {s, v1 , v2 , v4 } {s, v1 , v2 , v3 , v4 }
jt
任何网络必存在可行流，如流量为0的可行流：f {0}
8(8)
v1
5(4)
9(4) 2(0)
v3
6(1)
5(5)
vs
7(5)
vt
10(8)
v2
9(9)
v4
网络最大流问题
在容量网络中，寻求一个流 fij 使其流量v( f )最大
且满足 0 f ij cij
v( f ) fi j f ji 0 v ( f )
cij=5 fij=5 v2
（v1，v2）是饱和的
2、如果0≤fij<cij，该弧是非饱和弧；
v1
cij=5 fij=3 v2 （v1，v2）是不饱和的
间隙为12=c12-f12=5-3=2
第 8页
弧关于流的分类
设 f { fij }是网络D=（V，A，C）的一个可行流 3、如果fij=0，该弧是0流弧； v1
第 4页
网络上流的基本概念
8
v1
5
9
v3
6
5
网络有向图D=（V，A，C）
vs
7
2
vt
10
容量
发点（源）
D的每条弧(vi , v j )上有非负数 c
v2
9
v4
ij
一个入次为 0的点 v s 一个出次为 0的点 v t
收点（汇）
中间点
其余点
容量网络
D (V , A, C )
第 5页
流
对D中任一弧(vi , v j )都给定一个实际流量fij
(vt , v j ) A
(i s) (i s, t ) (i t )
此为一个特殊的线性规划问题，将会看到利用图的特点， 解决这个问题的方法要比单纯形法较为直观方便。
第 7页
弧关于流的分类
设 f { fij }是网络D=（V，A，C）的一个可行流 1、如果fij=cij，该弧是饱和弧； v1
第 3页
问题的提出
8
v1
5 2
9
v3
6
5
vs
7
vt
10
v2
9
v4
如果我们把图看做输油管道网，vt为起点，vs为终点， v1 , v2 , v3 , v4 为中转站，边上的数表示该管道的最 大输油能力，问应该如何安排各管道输油量，才能 使从 vs 到vt 的总输油量最大？ 管道网络中每边的最大通过能力即容量是有限的，实际流 量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论如何充分利用 装置的能力，以取得最好效果（流量最大），这类问题通 常称为最大流问题。