网络分析最短路和最大流问题
运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
8.4 网络最大流问题
所有指向为vs→vt的弧，称为前向弧，记作μ +；
所有指向为vt →vs的弧，称为后向弧，记做μ
－，
增广链：设 f 是一个可行流，μ是从vs 到 vt 的一条链，若μ满 足下列条件，称之为(关于可行流 f 的)增广链。
1)在(vi , vj)∈μ+上，0≤fij＜cij，即μ+中的弧都是非饱和弧。
2)在(vi，vj)∈μ-上，0＜fij≤cij，即μ-中的弧都是非零流弧。
§8.4 网络最大流问题
Page 22
(3) 检查与v3点相邻的未标号的点，因f3t<c3t，故对vt 标 l(vt)=min{l(v3), c3t-f3t } =min{1, 1}= 1 找到一条增广链 vs→v1→v2 →v3 →vt ( v , 1) 2 (-v v12, 1) (4,3) v4 (3,3) (5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
v ( f ) f s1 f s 2 f 4 t f 3 t 5
§8.4 网络最大流问题
Page 25
例8.10 用标号算法求下图中vs→vt的最大流量，并找出最小 截。 v1 9(3) v3 8(7)
5(4) 5(4)
2(0)
vs
7(5)
6(1)
●
vt
10(8) v2 9(9) v4
§8.4 网络最大流问题
基本方法： (1)找出第一个可行流（例如所有弧的流量fij =0）；
Page 14
(2)用标号的方法找一条增广链：
首先给发点vs标号(0,+∞),第一个数字表示标号从哪一点得到；
第二个数字表示允许的最大调整量。
选择一个点 vi 已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收
道路交通运输网络分析技术-道路运输系统工程
§ 6.1
如图6-2 a和图6-2 b
引言
§ 6.1
在生产实际中，我们要了 解某地区的公路交通状况， 要了解公路分布状况和公 路长度，还有与节点或枝 线（弧）相关的数量指标。
引言
§ 6.1
引言
网络，网络理论，网络分析技术
我们带有某种数量指 标的图称为网络图或 称网络
网络
撇开各种图的具体 内容来讨论这种由 点、线段构成的抽 象形式的图，从中 研究其一般规律。
( vi , v j )A
f ij
( vi ,v j ) A
f
ji
0
对于发点vs，记 对于收点vt，记
( vs ,v j )A
f sj
( v j ,vs )A
f
js
V( f )
( vt , v j )A
f tj
( v j ,vt )A
f
jt
V ( f )
11
• 定义每条边与顶点的顺序无关，边都没有方向的 图称为无向图
在无向图中,有(vi , v j ) (v j , vi ). • 如果边是用顶点的有序对来定义，即令其一个 顶点是始点，另一个顶点是终点，那么称该边 为有向边，全部由有向边构成的图称为有向图。 • 有向图中的边称为弧。 • 从有向图中 D (V , A)去掉所有弧上的箭头,就成为无向 图,称为D的基础图. • 图中既有边又有弧, 称为混合图.
水取暖点相互连通，但总的线路长度最短。试求
最短的管道铺设方案。这类问题在网络分析中称 为最小生成树问题。
1、树的定义 无圈的连通图称为树。我们用了T表示树，树中 的边称为树枝
2、树的性质
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流(高级课堂)
v4
v5
高等课堂 7
图与网络的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图
e1
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
e2
e4 v1e3
v3
之间多于一条，称为多重边，如右图
e5
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
e6
e7
e8
称作简单图。
v4
v5
高等课堂 8
图与网络的基本概念与模型
的长度（单位：公里）。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
43
10
4
4
2
v5
v6
解：这是一个求v3无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向图，
即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。
最短路问题
最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找 到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小， 这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总 和被称为从Vs到Vt的距离。
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)（双标号）算法 逐次逼近算法
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 • 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲
直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
图的定义(P230)
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图 G可以定义为点和边的集合，记作：
4网络最大流问题
一、基本概念
(一)、网络与流
一个有向图D=(V,A,C)称为一个网络．其中， V 是D的顶点集；A是弧集；C是各弧上容量集 {cij:cij=c(vi,vj)} .在V中指定了两个顶点vs,vt,分别 称为发点和收点，其余的顶点称为中间点．
定义弧集A上的一个函数
f：(vi,vj)→f(vi,vj) 简为记网为络f的ij. (一10个,5)流v,并2 称((3f5,(,2v2)i,)vj)为弧v 5((1v1i,,6v)j)上v 6的流量，
2 、若μ是网络中联结发点vs和收点vt 的一条链,定 义链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分为两类:一 类是弧的方向与链的方向一致,称为前向弧,前向弧 的全体记为μ+ ,另一类弧与链的方向相反,称为后 向弧,后向弧的全体记为 μ－。
3 、设f是一个可行流,μ是从vs到vt的一条链,称μ 为一条增广链,如果满足
对于发点vs,
fsj fjsv(f);
(vs,vj)A (vj,vs)A
对于收点vt,
ftj fj tv(f).
(vt,vj) A (vj,vt) A
式中 v(f) 称为一个可行流的流量,即发
点的净输出量(或收点的净输入量)
2、最大流问题
maxv( f ) f
0fijcij,(vi,vj)A
c(V1,V2)
cij
(vi,vj)(V1,V2)
定理 1 可行流 f 是最大流的充要条件是不存 在关于f的增广链. 定理2 任一个网络D=(V,A,C)中,从vs到vt的 最大流的流量等于分离vs与vt的最小截集的容 量.
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二、求最大流的标号法(Ford,Fulkerson) 1 、标号过程
(在 v5,v4) 是 链 (v 1 ,v 饱 2,v 3 ,v 和 4,fv 55 4, v 弧 6 c)中 54 v 1 (10,5)
10.3_最短路问题
法适用于所有边的权为任意实数的情况 D）Dijkstra算法适用于所有边的权为任意实数的情况，
Ford算法适用于所有边的权非负情况
29
OR:SM
试试看——选择题
• 2、以下说法中错误的是（ ）。
4
8
1
v4
vt
1
7
3
6
1
2
v6
7
OR:SM
vs
方式之一：单标号算法
第一步：
T(vs)=∞
v1
2
3
P(vs)=0 vs
9
10
4 7
T(vs)=∞
v2 1
4
3
v3
2
T(vs)=∞
T(vs)=∞
v5
8 1
v4 T(vs)=∞
7
vt T(vs)=∞
6
1
v6
T(vs)=∞
8
OR:SM
方式之一：单标号算法
第二步：
第4年 19 3-4 18
第5年 24 4-5 27
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新设备”这 种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi, vj)表示 “第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以
wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。于是，该问题就 可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。其网络模型 如下：
本章小结
图论是应用十分广泛的运筹学分支，它已广泛应用在物 理、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等 各个领域。
图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)
e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
西交《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分
《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分一．图的基本概念 定义一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。
其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。
3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：(),i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。
—— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究 分类▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图.其他的所有图都称为非平凡图.图的特点：1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。
2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。
3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。
4 图的表示不唯一。
如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。
点(vertex)的概念1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。
2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。
在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v).在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。
第九章-网络图分析
最大流问题的目标是使得从源到收点 的总流量最大。这个流量的大小可以 用两种等价的方法来衡量，分别叫作 从源点出发的流量和进入收点的流量。
最大流问题标号法
基本思想：从任一初始可行流出发， 寻找这个可行流的一条可增路，利用 这条可增路使原可行流增加一个尽可 能大的流量，一直这样下去直到再也 找不到新的可增路为止。
最短路问题的Dijkstra标号法
步骤3：某临时标号点的所有可能标 号的最小值即是其最终标号，此时 将该临时标号点标记为已标号点， 并记录其前一节点
P(vl ) min {P(vi ) d (vi , vl )}
i
vl为零时标号点，vi是已标号点
最短路问题的Dijkstra标号法 步骤4：重复步骤2和3直至找到最 短路线，此时得到的最终标号即 为其最短路线的长度
摩登公司决定铺设最先进的光纤网络 系统以便在其主要中心之间提供高速 通信，包括数据、声音和视频等。
为了充分利用光纤技术在中心之间高 速通信的优势，不需要在每两个中心 之间都用一条光缆把它们直接连接起 来。可供选择的铺设光纤的线路如图。
应该铺设哪些光纤以 便在每两个中心之间 提供高速通信？
图的基本概念介绍
最小支撑树问题
练习
B
6 2 3 1 1
E
6 4 3
2 6
H
3
A
C
2
G
10
D
F
2
4
I
最小支撑树问题-破圈法
破圈法：任取一个圈，从圈 中去掉权最大的边(如果有两 条或两条以上的边都是权最 大的边，则任意去掉其中一 条)。在余下的图中，重复这 个步骤，一直到图中不含圈 为止。去边的同时必须保证 图的连通性
网络最大流问题
第七章Operational厂§ 4网络最大流问题网络最大流冋题是网络的另一个基本冋题。
许多系统包含了流量问题。
例如交通系统有车流量，金融系统有现金流，控制系统有信息流等。
许多流问题主要是确定这类系统网络所能承受的最大流量以及如何达到这个最大流量。
4.1基本概念与定理1. 1.网络与流定义14 （1）网络：例1如图7-20是连结某产品产地’和销地一的交通图。
弧:1 表示从二到匚的运输线，弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力，.，括号内的数字表示该弧上的实际流一［。
现要求制定一个运输方案，使从一运到尸，的产品数量最多。
可行流与最大流输网络的实际问题中，我们可以看出，对于流有两个基本要求：一是每条弧上的流量必须是非负的且不能超过该弧的最大通过能力(即该弧的容量)二是起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总和，且各中间点流 入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和， 即流入的流量之和与流出的流量之和的差为 零，也就是说各中间点只起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资。
因此有下面所谓的可行流的定义。
定义14对于给定的网络 D=(V,A,C )和给定的流 』」：.「，若「满足下 列条件:(1)容量限制条件：对每一条弧 .-，有- -(7.9)(2)平衡条件： 对于中间点：流出量=流入量，即对于每一个对于出发带点T ：，有SA -'K/)对于收点①，有 工二 'I(7.12)则称/ - ■为一个可行流，•-称为这个可行流的 流量。
注意，我们这里所说的出发点 r 是指只有从匚发出去的弧，而没有指向J 的弧;收点二是指只有弧指向--，而没有从它的发出去的弧。
在运i (i 丰 s,t)，有(7.10)(7.11)可行流总是存在的。
例如令所有弧上的流，就得到一个可行流，（称为零流）,其流量 ': 一。
如图7-20中，每条弧上括号内的数字给出的就是一个可行流 3 - f/yJ ，它显然满足定义中的条件（1 ）和（2）。
第六章物流运筹学——图与网络分析.
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
网络系统的最小费用最大流问题
网络系统的最大流问题
• 任意一个网络上的可行流总是存在的。例如零流v(f )=0,
就是满足以上条件的可行流。 • 网络系统中最大流问题就是在给定的网络上寻求一个可行
流f ,使其流量v(f )达到最大值。 • 设流f={fij}是网络D上的一个可行流，我们把D中fij=cij的
弧叫做饱和弧，fij<cij的弧叫做非饱和弧，fij>0的弧为非 零流弧，fij=0的弧叫做零流弧。
查点。(考虑后向弧)
于是vi成为标号已检查的点。重复以上步骤，如果所有的标
号都已经检查过，而标号过程无法进行下去，则标号法结束。这时
的可行流就是最大流。但是，如果vt被标上号，表示得到一条增广 链μ，转入下一步调整过程。
网络系统的最大流问题
2. 调整过程
首先按照vt和其他点的第一个标号，利用“反向追踪” 的办法，找出增广链 。例如，令vt的第一个标号是vk，则 弧（vk,vt）在μ上。再看vk的第一个标号，若是vi，则弧 (vi,vk)都在μ上。依次类推，直到vs为止。这时，所找出 的弧就成为网络D的一条增广链μ。取调整量θ= l(vt),即 vt的第二个标号，
未检查点vi，对一切未标号点vj：
网络系统的最大流问题
1) 如 果 在 弧 （ vi ,vj ） 上 ， fij<cij , 那 么 给 vj 标 号 （vi ,l(vj)），其中l(vj)=min[l(vi),cij -fij].这时，vj 成
为标号未检查的点。(考虑前向弧)
2) 如 果 在 弧 （ vj ,vi ） 上 ， fji>0, 那 么 给 vj 标 号 （ -vi , l(vj)）,其中l(vj)=min[l(vi),fji].这时，vj成为标号未检
网络最大流问题
以经过调整，得到一个新的可行流，其流量比原来的可
行流要大，重复这个过程，直到不存在关于该流的增广 链时就得到了最大流。
寻求最大流的思路：利用定理1中对V1*定义，根据vt是 否属于V1*来判断D中有无关于f的增广链。 实际计算时，可以用给顶点标号的方法来确定属 于V1*的点。
在标号过程中，有标号的顶点表示是V1*中的点，
l(v3) = min[l(v2), f32]=min[1, 1]=1
v2 (-v1,1) (4,3) (3,3) (0,+∞) vs (5,1) v1 (vs,4) (2,2) v4 (v2,1) (5,3) (3,0) (2,1) v3 (-v2,1) vt
(1,1)
(1,1)
(5) 在v3, v4中任选一个进行检查。
v4 (v2,1) (5,3)
(3,0) (2,1) v3 (-v2,1) vt (v4,1)
(二) 调整过程 (1) 按点的第一个标号找到一条增广链。
v2 (-v1,1) (4,3) (3,3) v4 (v2,1) (5,3)
(0,+∞) vs
(5,1)
(1,1)
(1,1)
(3,0)
(2,1)
vt (v4,1)
(2)未标号点。
标号过程: (1) 给发点 vs 标上 (0 ， +∞) ；这时 vs 是标号而未检查
的点，其余都是未标号点。
(2) 取一个标号而未检查的点 vi，对于vi的所有未给 标号的相邻点vj按下列规则处理： (a)若在弧(vi,vj) 上，fij<cij，则给vj标号(vi，l(vj))。这 里l(vj)=min[l(vi), cij-fij]。这时点vj成为标号而未检查的点。 (b) 若在弧 (vj,vi)上， fji>0 ，则给 vj 标号 (-vi ， l(vj))，这 里l(vj)=min[(l(vi),fij]。这时点vj成为标号而未检查的点。 这样，vj成为标号而已检查过的点。
西交《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分
《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分一．图的基本概念 定义一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。
其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。
3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：(),i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。
—— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究 分类▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图.其他的所有图都称为非平凡图.图的特点：1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。
2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。
3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。
4 图的表示不唯一。
如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。
点(vertex)的概念1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。
2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。
在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v).在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。
图论与网络流问题的LINGO求解技巧
图论与网络流问题的LINGO 求解技巧我们介绍使用LINGO 求解图论与网络问题中的一些典型问题。
如最短路问题、最大流问题、关键路径问题、最优树问题，以及TSP 问题。
这里主要介绍使用LINGO 求解的方法，重在应用和解决问题。
1 最短路问题的Lingo 求解设图共有个节点，其赋权图的邻接矩阵为n n n w ×.ij w p =表示节点i 到j 的权值为.当为有向图时，p ji w w ij =；当为无向图时，和ij w ji w 分别由图得到，通常不一样。
当，表示节点i 与节点0ij w =j 不连通。
令0ii w =。
假设图的所有权值 0ij w ≥现求节点a 到节点b 的最短路，其线性规划模型为：模型一、决策变量：设1ij i j x i j ⎧=⎨⎩节点与节点连通节点与节点不连通目标函数为寻找一条节点到节点的通路，使其上权值和最小，故目标函数为：a b 11min .nnij ij i j Z w x ===∑∑1. 对节点恰有一条路出去，却不能有路回来，故有：a 11najj j ax=≠=∑ 且10nkak k a x=≠=∑2. 对节点恰有一条路到达，却不能有路出去，故有：b 11nkbk k bx=≠=∑ 且10nbjj j bx=≠=∑3. 对除起始点a 和目标点之外，其它点进入和出去的路是一样多（可都为0），则：b 11,nnkiijk j xx i a ===≠∑∑b4. 对不通的路不取，约束为：,1,2,ij ijx w i j ≤=L n总的线性规划模型为：11111111min .,10..10,1,2,,01n nij iji j nnki ijk j naj j j a n ka k k a n kb k k a nbj j j a ij ijijZ w x x x i a b x x s t x x x w i j x =====≠=≠=≠=≠=⎧=≠⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎪≤=⎪⎪=⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑L 或n示例演示。
网络数学实验6图与网络分析-最短路问题
实验六：图与网络分析-最短路问题
一、实验目的：掌握不同问题的输入方法，求解网络模型，观察求解步骤，显示并读出结果。
二、内容和要求：用WinQSB软件求解最短路问题，并对结果进行简单分析。
例：求下图的最短路。
三、操作步骤：
1．“开始”菜单→“winQSB”→“Network Modeling”（网络模型）。
2．建立新问题：File→New Problem，出现下面界面。
选择Shortest Path Problem、Minimization、输入问题标题、节点的个数，然后单击“OK”。
3．修改节点名称：菜单“Edit”→“Node Names”，编辑完点“OK”，如下图。
4．按下图输入图的权矩阵，本例是无向图，每一条边必须输入两次。
5．菜单“Solve and Analyze”→“Solve the Problem”，出现以下对话框，
6．然后选择起点v1和终点v10，点“Solve”按键，出现下图：
从图中可以看到v1到v10的最短路径为v1→v3→v7→v10，总长为6，另外从v1到其他各点的最短距离也都计算了出来。
7．实例求解：有九个城市v1，v2…，v9，其公路网如下图，弧旁数字是该段公路的长度，有一批货物从v1运到v9，试用Dijkstra方法求出走哪条路最短？
自己先用标号法求出最短路，然后用winWSB软件进行验证。
8．思考题：教育部门打算在某新建城区建一所学校，让附近七个居民区的学生就近入学。
七个居民区之间的道路如下图所示，学校应建在哪个居民区，才能使大学都方便？(图中距离单位：百米)。
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Page 4
此游戏转化为在下面的二部图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。
( M,W,G,H ) ( M,W,G) ( M,W,H ) ( M,G,H ) ( M,G)
v1
v2
v3
v5
u5
( M,G)
u4
( M,G,H)
u3
( M,W,H )
u2
( M,W,G)
( M,W,G,H )
u1
最短路问题
2 2 D 2 dij 其中dij 表示i和j点之间至多相隔三个点时， 2 1 1 1 它们之间的最近距离，dij min{dij ; dir d rj }。 k k D k dij 其中dij 表示i和j点之间至多相隔2k 1个点时， k k k k 它们之间的最近距离，dij min{dij 1; dir 1 d rj1}。
6.3 最短路问题
问题描述：
Page 1
就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之间 距离最短的一条路 . 有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投 资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最短 路的问题。因此这类问题在生产实际中得到广泛应用。
最短路问题
例 渡河游戏
Page 2
Page 21
s
7(6)
5(4)
2(0)
6(1)
●
t
10(8) v2 A 9(9) B v4
网络的最大流
Page 22
定理1 设网络N中一个从 s 到 t 的流 f 的流量为v(f )， (V, V´) 为任意一个割集，则 v(f ) = f(V, V´) f(V´, V) 推论1 对网络 N中任意流量v(f )和割集 (V, V´)，有
dij表示i点到j点 两相邻点间的 距离，若i和j点 不相邻，则 dij=∞
最短距离的矩阵算法
例3中用矩阵算法求各点之间的最短距离 图的矩阵表示
0 5 2 5 0 2 7 2 0 7 4 2 7 0 6 2 7 6 0 1 3 4 2 1 0 6 3 6 0 0 5 2 5 0 7 2 7 0 7 2 6 12 7 5 6 4 4 10 10 7 12 6 2 6 0 3 2 8 7 5 3 0 1 3 4 4 2 1 0 4 10 10 8 3 4 0
Page 27
由一个流开始，系统地搜寻增广链，然后在此链上增流， 继续这个增流过程，直至不存在增广链。 [基本方法]
v(f ) c(V, V´)
[证明] w= f(V, V´) f(V´, V) f(V, V´) c(V, V´)
推论2 最大流量v＊ (f )不大于最小割集的容量，即： v＊ (f ) min{c(V, V´)}
定理2 在网络中s→t的最大流量等于它的最小割集的容量，
即： v＊ (f ) = c ＊(V, V´)
④ 2
8 10
⑦
最短距离的矩阵算法
网络图的矩阵表示
Page 11
v1 d11 v2 d 21 B vi d i1 vn d n1 v1
d1i d 2i vi d ii d ni
d1n d 2n d in d nn vn
(ci f i ), 对 fi , 对
f i , 对 f ' f i , 对 f , 对非增广链上的狐 i
结论：对于新的流f',仍 然满足可行流条件，而 且对s-t的流增大了一个 θ值，因此只要途中找 不到一个增广链时，s-t 的流才不能进一步增大。
最短路问题
例3 求下图v1到v7的最短路长及最短路线 7 7 5 5 2 7 1 3 10 2 7
Page 7
0
6 2
4 6
v7已标号，计算结束。从v1到v7的最短路长是 10, 最短路线： v1→ v3 → v6 → v5→ v7
最短路问题
从上例知，只要某点已标号，说明已找到起点vs到 该点的最短路线及最短距离，因此可以将每个点标 号，求出vs到任意点的最短路线，如果某个点vj不能 标号，说明vs不可达vj 。
f ( v , v ) f (v , v ) 0
i j j i
(i s, t )
网络的最大流
Page 18
最大流问题的数学模型:
max z f jVi f ij jV i f ji 0 (vi V但i s, t ) jVs f sj jV s f js f jVt f tj jV t f jt f f ij cij (vi , v j V , i j ) 注：（v ， v ）∈E， i j f 0 ij 则有 fij ≥ 0
f2>0
f4<c4
f5<c5
定理3 网络N中的流 f 是最大流当且仅当N中不包含任何增广 链
网络的最大流
v1 8(8) 9(4) v3 5(5) 5(4) 2(0) 6(1)
Page 24
s
7(5)
●
t
10(8)
v2
9(9)
v4
增广链：s→v2→v1→v3→v4→t。
网络的最大流
Page 25
定理3 网络N中的流 f 是最大流当且仅当N中不包含任何 增广链 在增广链中做如下流的调整：
网络的最大流
增广链
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在网络的发点和收点之间能找到一条链，在该链上所有 指向为s→t的弧，称为前向弧，记作μ +,存在 f < c；所有指向 为t→s的弧，称为后向弧，记做μ－，若f > 0，则称这样的链 为增广链。 例如下图中，s→v2→v1→v3→v4→t。 f1<c1 s f3 >0
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最短路问题
例3.1 求下图v1到各点的最短距离及最短路线。
Page 10
4
②
4 4 6 9
7 11 3 6 9 12 3 3 6
6
⑤
2
12 18 8
16 24 12 18 24
0 ①
2
5 5
5 ③
8
⑥
⑧ 18
1
2
6
6 所有点都已标号，点上的标号就是v1到该点的最短距离，最短 路线就是红色的链。
2. 网络的最大流 是指网络中从发点到收点之间允许通过的最大流量。 3. 流与可行流
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流是指加在网络各条弧上的实际流量，对加在弧(vi,vj)上的 负载量记为fij。若fij=0，称为零流。
满足以下条件的一组流称为可行流。 容量限制条件。容量网络上所有的弧满足：0≤fij≤cij 中间点平衡条件。
2
v1 v5
v3
最短路问题
Page 6
求网络图的最短路，设图的起点是vs,终点是vt ,以vi为起点vj 为终点的边记为 (i, j) 距离为dij Lsj —起点vs到点vj的最短路长； k(i,j)=Lsi+dij.
Dijkstra算法步骤： 从s点出发，因Lss=0,.并将Lss的值标注在s点旁的小方框内。 表示s点已标注。 从s点出发，找出与s点相邻的所有的点，记为点集V1，取vr， s.t.， Lsr = min v V {L ss +，则将r点标注，并将Lsr的值标注在 d si } r点旁的小方框内。
网络的最大流
基本概念：
Page 15
1. 容量网络：对网络上的每条弧(vi,vj)都给出一个最大的通 过能力，称为该弧的容量，简记为cij。容量网络中通常规定 一个发点(也称源点，记为s)和一个收点(也称汇点，记为t)， 网络中其他点称为中间点。
①
4 s 4 1
4
③
7
t 9
6 2 ④
8
②
2
网络的最大流
c (V ,V )
( i , j )(V ,V )
c(v
i
,v j )
如下图中，AA′将网络上的点分割成 V ,V 两个集合。并 有 s V , t V ，称弧的集合{(v1,v3),(v2,v4)}是一个割，且
V V 的流量为18。
网络的最大流
v1 8(8) A’ 9(4) v3 B’ 5(5)
直到D k D k 1时，停止
有2
k 1 k
lg( p 1) lg( p 1) 1 p 1 2 1即， k 1 lg 2 lg 2
6.5 网络的最大流
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如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品输送量最大。 这就是一个网络最大流问题。
一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要从南岸过河 到北岸，河上只有一条独木舟，每次除了人以外，只能带一 样东西；另外，如果人不在，狼就要吃羊，羊就要吃白菜， 问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西都运过河去， 并且在河上来回次数最少？这个问题就可以用求最短路方法 解决。
最短路问题
定义：
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( i , j )(V ,V )
f ( j, i)
v * ( f ) f * (V , V ) c(V , V ) c * (V , V ) 又v * ( f ) c * (V , V ) 则v * ( f ) c * (V , V )
网络的最大流
求网络最大流的标号算法： [基本思想]
迪科斯彻 (迪杰斯特拉 Dijkstra)标号算法的基本思路： 若序列{ vs,v1…..vn-1,vn }是从vs到vt间的最短路，则序列{ vs,v1…..vn-1 } 必为从vs 到vn-1的最短路。