图与网络模型_最大流问题

最大流问题

在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题等等。

网络系统流最大流问题是图与网络流理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。

基本概念

设一个赋权有向图D=(V , A)，在V 中指定一个发点（源）vs 和一个收点（汇）vt ，且只能有一个发点vs 和一个收点vt 。（即D 中与vs 相关联的弧只能以 vs 为起点，与vt 相关联的弧只能以 vt 为终点），其他的点叫做中间点。

对于D 中的每一个弧(vi, vj)A ∈，都有一个权cij 叫做弧的容量。我们把这样的图 D 叫做一个网络系统，简称网络，记做D =(V , A, C)

。

Vs

Vt 图1

图1是一个网络。每一个弧旁边的权就是对应的容量。

网络D 上的流，是指定义在弧集合A 上的一个函数f={f(vi, vj)}={fij}，f(vi,vj)=fij 叫做弧在(vi,vj)上的流量

。

Vs

Vt 图2

图2中，每条弧上都有流量fij ，例如fs1=5，fs2=3，f13=2等。

容量是最大通过能力，流量是单位时间的实际通过量。显然，0≤fij≤cij 。网络系统上流的特点：

(1)发点的总流出量和收点的总流入量必相等；

(2)每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于零；

(3)每一个弧上的流量不能超过它的最大通过能力（即容量）。网络上的一个流f={fij}叫做可行流，如果f 满足以下条件： （1）容量条件：对于每一个弧(vi,vj)A ∈，有0≤fij≤cij 。

（2）平衡条件：

对于发点vs ，有∑f sj −∑f js =v (f ) 对于收点vt ，有∑f tj −∑f jt =−v (f )

对于中间点，有∑f ij −∑f ji =0

其中发点的总流量（或收点的总流量）v(f)叫做这个可行流的流量。

网络系统中最大流问题就是，在给定的网络上寻求一个可行流f={fij}，其流量v(f)达到最大值，即从vs 到vt 的通过量最大。

最大流问题可以通过线性规划数学模型来求解。图1的最大流问题的线性规划数学模型为

max v =f s 1+f s 2

s.t.

{

∑j

f ij −∑i

f ij =0

i ≠s,t 0≤f ij ≤c ij

所有弧(v i ,v j )

fs1和fs2是与起点相连的两条弧上的流量。

满足上式的约束条件的解{fij}称为可行解，在最大流问题中称为可行流。

对有多个发点和多个收点的网络，可以另外虚设一个总发点和一个总收点，并将其分别

与各发点、收点连起来，就可以转换为只含一个发点和一个收点的网络。

S

T

所以一般只研究具有一个发点和一个收点的网络。

我们把fij=cij 的弧叫做饱和弧，fij0的弧为非零流弧，fij=0的弧叫做零流弧。

在图3（图1与2合并图）中，(v4,v3)是饱和弧，其他的弧是非饱和弧，并且都是非零

流弧。

Vs

Vt

,fij )图3

网络D 中，从发点νs 和收点vt 的一条路线称为链（记为μ）。从发点νs 到收点vt 的方向规定为链的方向。

链μ上的弧被分为两类：

一，弧的方向与链的方向相同，叫做前向弧，前向弧的集合记做μ+。

二，弧的方向与链的方向相反，叫做后向弧，后向弧的集合记做μ-。

在图3中，假设链μ=(vs,v1,v2,v3,v4,vt)中，则μ+={(vs,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v4,vt)}，μ-

={(v4,v3)}。

设f={fij}是一个可行流，如果存在一条从发点vs到收点vt到的链μ满足：

1．前向弧集μ+中的每一条弧是非饱和弧，即 fij

2．后向弧集μ-中的每一条弧是非零流弧，即0

则称链μ为增广链。

例如在图3中，链μ=(vs,v1,v2,v3,v4,vt)就是一条增广链。

定理 网络中的一个可行流f是最大流的充分必要条件是，不存在关于f的增广链。

定理实际上提供了一个寻求最大流的方法：如果网络D中有一个可行流f，只要判断网

络是否存在关于可行流f的增广链。如果没有增广链，那么f一定是最大流。如有增广链，

那么通过不断改进和增大可行流f的流量，最终可以得到网络中的一个最大流。

标号法（Ford-Fulkerson 算法）

标号法是一种图上迭代计算方法，该算法首先从发点开始，通过标号找出一条增广链，

然后增加增广链上的流量，得到更大的流量。再通过标号找出一条新的增广链，再增加流量，…，重复这个过程，直到收点不能标号为止，这时就得到网络中的一个最大流。

在标号过程中，一个点仅有下列三种状态之一：

●标号已检查(有标号且所有相邻点都标号了)

●标号未检查(有标号，但某些相邻点未标号)

●未标号

每个标号点的标号包含两部分：

第一个标号表示这个标号是从那一点得到的。以便找出增广链。

第二个标号是为了用来确定增广链上的调整量I(vi)。

1，标号过程

标号过程开始，先给发点vs标号(0,+∞)。这时，vs是标号未检查的点，其他都是未标号点。

一般地，选一端已标号未检查且另一端未标号的弧，然后向收点方向依次标号。

选择一个已标号未检查的点vi，

1）对每一个弧(vi, vj)，如果vj未标号，且fij

l(vj))。其中

I(v

)=min[I(v i),c ij−f ij]

j

这时，vj成为标号未检查点。

2）对每一个弧(vj, vi)，如果vj未标号，且fij>0，即即流入非零流弧，那么给vj标号(-vi, l(vj))。其中

I(v

)=min[I(v i),f ij]

j

这时，vj成为标号未检查点。

然后vi就成为标号已检查的点。