抛物线的简单几何性质 课件
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例：求抛物线x2＝4y的范围、对称性、顶点、离心率．
答案：范围是：y≥0，x∈R；对称轴是：x＝0； 顶点是(0,0)；离心率是e＝1；
5．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是( B )
15 A. 8
B．±
15 8
15 C.64
D．±1654
1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4 的抛物线方程是( D )
解析：中点到准线的距离为3＋2＝5，A、B到准线距 离和为10，所以AB＝10.
答案：10
3．过抛物线y2＝4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交 抛物线于A、B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆方程是 ____________．
解析：当x＝1时y＝±2，所以圆的半径为2. 答案：(x－1)2＋y2＝4
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
2．抛物线 y＝－18x2 的准线方程是( C )
A．x＝312 B．x＝12 C．y＝2 D．y＝4
解析：对于此类问题，解决过程中尤其要注意所给的方 程形式是否是标准方程形式，否则容易出错．由 y＝－18x2 得 x2＝－8y，故其准线方程是 y＝2.
即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标
为 5.因此点M到抛物线准线的距离为 ＋5 1＝ .7
2
2
2
2．若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A， B两点，且线段AB中点的横坐标为2，求线段AB的长．
答案：6
焦点弦问题 过抛物线y2＝8x的焦点作一条直线与抛物线相 交于A、B两点，它们的中点横坐标等于3，则AB的长度为 ______．
抛物线的简单几何性质
1．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点的距离为5，则点P 的横坐标为( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．抛物线y2＝4x过焦点的弦AB的长度为8，则AB的中 点横坐标为( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点且垂直对称轴的弦叫通 径，它是过焦点的最短的弦，通径的长度为2p.
例：抛物线y2＝6x过焦点且垂直对称轴的弦长度为 (D )
A．3
B．4
C．5
D．6
4．对抛物线y2＝2px(p＞0)有如下性质：
范围：____________；对称性：____________.
顶点：抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点，即坐 标原点；
离心率：抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的 距离的比，叫抛物线的离心率，用e表示．由抛物线定义可 知e＝1.
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物 线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为
－ 3 ，那么|PF|＝( B )
A．4 3
B．8
C．8 3
D．16
求抛物线的标准方程及几何性质
若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，
M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝ 17 ，
|AF|＝3，求此抛物线的标准方程及准线方程．
解析：设所求抛物线的标准方程为
x2＝2py(p＞0)，设 A(x0，y0)，M0，－2p.
∵|AF|＝3，∴y0＋p2＝3，
∵|AM|＝ 17，∴x20＋y0＋p22＝17，
∴x02＝8 代入方程 x02＝2py0，得
8＝2p3－p2，解得 p＝2 或 p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为 x2＝4y 或 x2＝8y. 其准线方程为 y＝－1 或 y＝－2.
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2 ＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛 物线的方程及抛物线的准线方程．
答案：抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其 准线方程分别为x＝－3和x＝3.
抛物线中过焦点的弦的弦长问题 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1， y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距 离．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛
物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋
p 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＋x2＋
p 2
＝x1＋x2＋p，
答案：范围是：y≥0，x∈R；对称轴是：x＝0； 顶点是(0,0)；离心率是e＝1；
5．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是( B )
15 A. 8
B．±
15 8
15 C.64
D．±1654
1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4 的抛物线方程是( D )
解析：中点到准线的距离为3＋2＝5，A、B到准线距 离和为10，所以AB＝10.
答案：10
3．过抛物线y2＝4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交 抛物线于A、B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆方程是 ____________．
解析：当x＝1时y＝±2，所以圆的半径为2. 答案：(x－1)2＋y2＝4
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
2．抛物线 y＝－18x2 的准线方程是( C )
A．x＝312 B．x＝12 C．y＝2 D．y＝4
解析：对于此类问题，解决过程中尤其要注意所给的方 程形式是否是标准方程形式，否则容易出错．由 y＝－18x2 得 x2＝－8y，故其准线方程是 y＝2.
即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标
为 5.因此点M到抛物线准线的距离为 ＋5 1＝ .7
2
2
2
2．若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A， B两点，且线段AB中点的横坐标为2，求线段AB的长．
答案：6
焦点弦问题 过抛物线y2＝8x的焦点作一条直线与抛物线相 交于A、B两点，它们的中点横坐标等于3，则AB的长度为 ______．
抛物线的简单几何性质
1．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点的距离为5，则点P 的横坐标为( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．抛物线y2＝4x过焦点的弦AB的长度为8，则AB的中 点横坐标为( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点且垂直对称轴的弦叫通 径，它是过焦点的最短的弦，通径的长度为2p.
例：抛物线y2＝6x过焦点且垂直对称轴的弦长度为 (D )
A．3
B．4
C．5
D．6
4．对抛物线y2＝2px(p＞0)有如下性质：
范围：____________；对称性：____________.
顶点：抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点，即坐 标原点；
离心率：抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的 距离的比，叫抛物线的离心率，用e表示．由抛物线定义可 知e＝1.
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物 线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为
－ 3 ，那么|PF|＝( B )
A．4 3
B．8
C．8 3
D．16
求抛物线的标准方程及几何性质
若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，
M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝ 17 ，
|AF|＝3，求此抛物线的标准方程及准线方程．
解析：设所求抛物线的标准方程为
x2＝2py(p＞0)，设 A(x0，y0)，M0，－2p.
∵|AF|＝3，∴y0＋p2＝3，
∵|AM|＝ 17，∴x20＋y0＋p22＝17，
∴x02＝8 代入方程 x02＝2py0，得
8＝2p3－p2，解得 p＝2 或 p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为 x2＝4y 或 x2＝8y. 其准线方程为 y＝－1 或 y＝－2.
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2 ＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛 物线的方程及抛物线的准线方程．
答案：抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其 准线方程分别为x＝－3和x＝3.
抛物线中过焦点的弦的弦长问题 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1， y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距 离．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛
物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋
p 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＋x2＋
p 2
＝x1＋x2＋p，