(新)高二圆锥曲线的方程图像与性质02详细讲解及训练

专题9 圆锥曲线的方程、图像与性质

知识网络

重难点突破

知识点三 双曲线的方程与性质 1、 双曲线的定义

平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P ＝{M

||| ||MF 1

－||MF 2

＝2a }，||F 1F 2

＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.

(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程

x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)

图形

性

质 范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R

y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R

对称性

对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点

A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )

渐近线

y ＝±b a x

例3、（华东师范大学附中2019届模拟）(1)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 2

24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3||PF 1＝4||PF 2，则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．4 2

B ．8 3

C ．24

D ．48

(2)设双曲线x 24－y 2

2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为__________． 【答案】(1)C (2)10

【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝10.根据题意和双曲线的定义知2＝|PF 1|－|PF 2|＝4

3|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|，所以|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2

，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝1

2|PF 1|·|PF 2|＝1

2×

6×8＝24. (2)由双曲线的标准方程x 24－y 2

2＝1得a ＝2，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝4，|BF 2|－|BF 1|＝4，所以|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝8.因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，当直线l 过点F 1，且垂直于x 轴时，|AB |最小，所以(|AF 2|＋|BF 2|)min ＝|AB |min ＋8＝2b 2

a ＋8＝10.

【变式训练3-1】、 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54； (2)焦距为26，且经过点M (0,12)；

(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．

【解析】(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知2b ＝12，e ＝c a ＝54，所以b ＝6，c ＝10，a ＝8.所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 2

36＝1.

(2)因为双曲线经过点M (0,12)，所以M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，

所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25.所以双曲线的标准方程为y 2144－x 2

25＝1.

(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)，所以⎩

⎪⎨⎪⎧

9m －28n ＝1，

72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧

m ＝－1

75，

n ＝－1

25.

所以双曲线的标准方程

为y 225－x 2

75＝1.

知识点四 直线与双曲线位置关系

例4、设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b

-=>>，过抛物线2

4y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C

的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A ．

22144x y -= B ．22

14

y x -=

C ．

22

14

x y -= D ．2

21x y -= 【答案】D

【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1y

x b

+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1b

b a

-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．

故选：D ．

【变式训练4-1】、（2019年全国Ⅱ卷）设F 为双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐标原

点，以OF 为直径的圆与圆222

x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（ ）

A B

C ．2

D 【答案】A

【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，

又

||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫

∴ ⎪⎝⎭

，

又P 点在圆2

2

2

x y a +=上，22244c c a ∴+=，即2222

2,22c c a e a

=∴==．e ∴=，故选A ．