数学建模(捕食系统)

15.题目（说明：由于该系统为捕食系统，必须依赖才能生存，

故单独存在时，增长率为负值，因此题目有错，应该用来替换掉，修改后题目如下）

捕食系统

满足

①；

②初始时刻食饵十分丰富。

试证明：捕食种群开始时增大，达到某一最大值后开始减少，最后趋于灭亡。

解：解方程组

求得该捕食系统的的奇点：

, , ，。

然后判断这四个奇点的稳定性。

该方程组的系数矩阵的每个元素为：

⑴对于，该系数矩阵为：，则该矩阵的特征值分

别为，，由于两个特征值为异号实数，故这点不是稳定点。

⑵对于，该系数矩阵为：，则该矩阵的

特征值分别为，。两个特征值均是正实数，故该点不是稳定点。

⑶对于，该系数矩阵为：，则该矩阵

的特征值分别为，，由于，故，两特征值均是负数，故该点是稳定点。

⑷对于，由于，该点的纵坐标

为负值，即捕食种群数量小于零，显然这与事实不符，应舍去！综上四种情况，我们得知该系统的稳定点为，也即食饵数量最后稳定在，而捕食种群的数量最终为零，趋于灭亡。

下面详细分析一下捕食种群的变化情况：先看捕食系统中的第二个方

程，由于题设条件约定初始时刻食饵非常丰富，故我们可以认为初始时刻捕食者的数量相对来说是比较少的，也就是说有，故方

程在开始时刻可以忽略最后一项，则在初始时刻是大于0的，也即食饵的丰富使得捕食种群的数量开

始是增大的。但是从方程可以看出，由于捕食者的增多，会导致食饵的急剧减少，食饵的减少会导致捕食者的增长率减小，捕食者的数量会达到一个最大值后，由于没有了足够的食饵，数量开始减少，最终趋于灭亡！

综上分析，我们证明了捕食种群开始时增大，达到某一最大值后开始减少，最后趋于灭亡。