华东师大-第四版-数学分析上册-课件

当x 时,以及x a, x 时,该法则仍然成立. lim f ( x) lim f ( x) . x F ( x) x F ( x)
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
即 f ' () 0
例如, f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
涟漪
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注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
2 柯西中值定理和不定式极限
一 柯西中值定理 二 不定式极限
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x) 及F ( x)
在 闭 区 间[a, b] 上 连 续 , 在 开 区 间(a, b) 内 可 导, 且
定理
设 (1) 当 x 0时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F ( x) 都存在 且 F ( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) .
第九章 定积分
1 定积分概念 2 牛顿-莱布尼茨公式 3 可积条件 4定积分的性质 6 可积性理论补叙
第十章 定积分的应用
1 平面图形的面积 2 由平行截面面积求体积 3 平面曲线的弧长与曲率 4 旋转曲面的面积 5 定积分在物理中的某些应用 6 定积分的近似计算
第十一章 反常积分
1 反常积分概念 2 无穷积分的性质与收敛判别 3 暇积分的性质与收敛判别
f g f 1g
泰勒公式
带有佩亚诺型余式的泰勒公式 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 近似计算上的应用
带有佩亚诺型余式的泰勒公式
定理 6.9
带有拉格朗日型余项的泰勒公式
近似计算上的应用
第七章 实数的完备性
1 关于实数完备性的基本定理 2 上极限和下极限
第八章 不定积分
1 不定积分概念与基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法 3有理函数和可化为有理函数的不定积分
第四章 函数的连续性
1 连续性概念 2连续函数的概念 3初等函数的连续性
第五章 导数和微分
1 倒数的概念 2求导法则 3参变量的函数 4高阶导数 5微分
第六章微分中值定理及其应用
1 拉格朗日中值定理和函数的单调性 2 柯西中值定理和不定式极限 3泰勒公式 4函数的极值与极大极小值 5函数的凸性与拐点 6 函数图像的讨论 7方程的近似解
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在 ) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
xa F ( x) xa F ( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求 导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必
如果 f ( x) 仍属 0 型，且 f ( x), F ( x) 满足
F ( x)
0
定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x) xa F ( x)
f ( x) 与 F ( x) 都趋于零或都趋于无穷大，那末
极限 lim f ( x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F ( x)
( x)
常把这种极限称为0 或 型未定式. 0
例如,
lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
lim lnsin ax , ( ) x0 ln sin bx
1 拉格朗日中值定理和函数的单调性
一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 单调函数
罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)(1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2)在开区间(a, b) 内可导,(3且 ) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a, b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x) 在该点的导数等于零，
F ' ( x)在(a, b) 内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内
至少有一点(a b),使等式
f (b) F (b)
f (a) F (a)

f '( ) 成立. F '( )
洛比达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则
0

定义 如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
第二章 数列极限
1数列极限的概念 2收敛数列的性质 3数列极限存在的条件
数列极限的概念
定义1 设 为数列 a为定数，若对 定义1’ 任给 ε>0 定义2 若 定理2.1 定义3 定义4
收敛函数的性质
定理2.2 定理2.3 定理2.4 定理2.5 定理2.6 定理
第三章 函数极限
1 函数极限的概念 2 函数极限的性质 3 函数极限存在的条件 4 两个重要的极限 5无穷小量与无穷的大量
第一章 实数集与函数 第二章 数列极限 第三章 函数极限 第四章 函数的连续性 第五章 导数和微分 第六章 微分中值定理及其应用
第七章 实数的完备性 第八章 不定积分 第九章 定积分Leabharlann Baidu第十章 定积分的应用 第十一章 反常积分
第一章 实数集与函数
1 实数 2 数集确界原理 3 函数概念 4 具有某些特性的函数