数学全国卷的命题规律

全国新课标数学命题规律
高考是一项常规性的考试，在命题上有自身的规律。

因此掌握了高考命题规律就相当于抓住了主干，抓住了重点和大部分知识点。

一、 命题重点1——注重全面考查，强化知识主干
⒈多数试题源于课本，属于常规试题，强调对基础知识、基本技能和基本方法的考查 如：对教材中有关内容和要求
⑴组合提炼加工形成（如2009年第9题）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且
,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且P A P B P B P C P C P A ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的
（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心
（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 解析：,OA OB OC O ABC ==∆由知为的外心；; 0NA NB NC O ABC ++=∆由知，为的重心
()00,,
,.PA PB PB PC PA PC PB CA PB CA PB AP BC P C ∙=∙∴-∙=∴∙=∴⊥⊥∴∆，，同理，为ABC 的垂心，选
⑵发展形成（如2008年第8题两向量共线的充要条件）
平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）
A. a ，b 方向相同
B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量
C. R λ∃∈,b a λ=
D. 存在不全为零的实数1212,,0a b λλλλ+=
2.试卷淡化特殊技巧，注重考查通性通法，有效检测考生对数学知识所蕴涵的数学思想和方法的掌握情况
如：数列的迭加（乘）法求通项，裂项相消法、错位相减法求前n 项和
（如2010年第17题）设数列{}n a 满足21112,32n n n
a a a -+=-=⋅ （1） 求数列{}n
a 的通项公式； （2） 令n n
b na =，求数列{}n b 的前n 项和n
S 思路：试题中相邻两项间的关系设计成，希望考生类比等差数列通项公式的推导方法加以解决。

第（II ）问要求数列{}n n a ⋅的前n 项和n
S ，则可类比等比数列求前n 项和公式的推导方法解决。

二、 命题思想——强化思想方法，突出数学本质
高考重点考查的数学思想有：
1.数形结合的思想涉及函数与导数、三角向量、线性规划、圆锥曲线等内容；
(如2011年第12题)函数11y x =-的图像与函数
2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于
（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 解析：图像法求解。

11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，
他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。

不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D
说明：运用基本初等函数的图像分析、研究函数图像和性质是常用方法，本题中对于函数()2sin 24y x x π=-≤≤的图像和性质考生是熟悉的，而对于函数11y x =-的图像和性质，则要求考生能够运用所学的研究函数图像的方法探究得出，如由初等函数的图像通过变换得到，或通过研究该函数的单调性得到等以此考查考生灵活应用知识，将知识迁移到不同情境中的能力。

2.函数与方程的思想，在研究函数、方程、不等式、数列、解析几何等内容时起重要作用，可以认为求参数取值范围的问题是考查函数与方程思想的典型问题； （如2010年第11题）已知函数|l g |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且
()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是
(A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24)
解析： ,,a b c 互不相等，不妨设a b c <<
()(),lg lg f a f b a b =-=由得，即ab=1
abc c ∴=，显然1012c <<
所以选C
说明：试题以分段函数为载体，将直观的图像与严密的运算巧妙结合，使函数思想方法蕴涵在解决函数与方程问题的过程中。

3.转化与化归的思想重点考查一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等等
（如2010年文科第21题）第（II ）问
“若当0
x ≥时()()210x f x x e ax =--≥，求实数a 的取值范围”。

应注意到()()
1x f x x e ax =-- 所以“当0x ≥时()0f x ≥”等价于“当0x ≥时()10x g x e ax =--≥”进而研究()g x 即可
三、 命题重点2——重视知识联系，整体认识数学
在知识的交汇处设计试题，考查知识之间的内在联系
如：2010年第5题在考查函数性质的同时考查了复合命题的真值表，
已知命题
1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数，
2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，
则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是
（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q
解析：对于1p ：1
22x x
y =-显然在R 为增函数，命题为真 对于2p ：122x x y =+，'12ln 22ln 2(2)ln 22
x x x x y -=-=- 当''00,00,x y y x y y <<>>时，单调递减，时，单调递增，命题为假
对于2p ，也可通过复合函数单调性法则，分解为简单函数12,x
t y t t ==+处理， 利用复合命题真值表，显然12p p ∨，()12p p ∧-为真命题，选C
命题意图：复合命题真假判断为背景考察函数的单调性
四、 命题导向——坚持数学应用，考查应用意识
应用题“贴近生活，背景公平，控制难度”，
深入考查统计与概率的基本思想
（如2010年第6题）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为
（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400
解析：设没有发芽的粒数为,~(1000,0.1),100B E ξξξ∴=则
又2,2200X EX E ξξ=∴==，选B
命题意图：考查二项分布期望公式及公式()E a b aE b ξξ+=+
这里的建模能力突出表现为概率模型的选择
此外，合理控制试题要求的水平与当年考生经过系统复习、训练、强化后的知识能力水平适合的程度。