合工大-超越-数学二-18年

求弦 MA, MB 分别与抛物线相应弧段 MA, MB 所围成两弓形面积之和的最小值.
.
x 1, 1 x 0,
（18）（本题满分
10
分）设函数
f
(x)


0,
x 0, （Ⅰ）问 f (x)在[1,1]上是否可积？
x 1, 0 x 1.
（Ⅱ）问 f (x)在[1,1] 上是否存在原函数，即是否存在可导函数 F (x),使得F(x) f (x) ? 分别给出理由.
dx
1 cos x
f (x, y)dy
.
2
2 A1 0
（14）已知三阶矩阵 A 的特征值为-1,1,2，则矩阵
0
(
A*)
1

的特征值为
.
三、解答题：15～23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
（15）（本题满分 10 分） 设f (x)在(0,)内连续且满足
2018 年全国硕士研究生入学统一考试超越考研数学（二）模拟一
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设 lim ax3 bx2 cx d 4, lim ax3 bx2 cx d 2,当 1,2时，
（D）非负
（3） 设f (x)在[1,1]上连续且在内f (x) 0, (0,1)内f (x) 0(1,0)则 （ ）
（A）点x 0一定不是f (x)的极值点 （B）点x 0是f (x)的极小值点
（C） 若f (0)存在，则f (0) 0
（D） 若f (0)存在，则f (0) 0
（A）线性方程组 Ax 0 仅有零解 （B）线性方程组 Ax 0 仅有一个线性无关的解 （C）线性方程组 Ax 0 有 n 1个线性无关的解 （D）线性方程组 Ax 0 有 n 个线性无关的解
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
a
.
三、解答题：15～23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）（Ⅰ）证明当 0 x 1时，
maxx,1 x n xn (1 x)n n 2 maxx,1 x;
0 x1
0 x1

（4） 积分I
4
tan
x
ln(1
etan x )dx
（
）
4
（A） 0
（B）1

（C）
4
（D）1 4
（5） 设F(x)
1 ex2
dv
x2 ln v
f
(u )du, 其中f
(x)为连续函数，则 lim x0
F(x) 等于 （ x3
）
（A） 2 f (0)
x
（A） f (t)dt a
a
（B） f (t)dt x
x
（C） tf (t)dt x
（D） x t 2 f (t)dt x
（3） 设非负函数f (x)和g(x)在x 0处有二阶导数，且f (0) g(0), f (0) g(0),
f (0) g(0), 若x 0时，e 1 f (x) 1g(x) 1与xn为同阶无穷小，则n （ ）
求 f (x).
f (x)
ln x f (et )dt 1 x3
1
f (x)dx,
0
3
0

（16）（本题满分 10 分）求曲线 y(x)
2
2
围图形绕 x 轴旋转而成立体的体积.
x cos t
dt(2 x 2) 与直线 x 2, x 2, y 0 所
（B） f (0)
（C） 2F (0)
（D） F (0)
（6）设f (x, y)为连续函数，则

2 d
1 cos sin
f (r cos , r sin )rdr

d
1 f (r cos , r sin )rdr 等于
0
0
0
2
（）
1
1 x
（A） dx f (x, y)dy
（A）1
（B）2ຫໍສະໝຸດ Baidu
（C）3
（D）4
（4）极限 lim ln n (1 1 )2 (1 2 )2 (1 n )2 化为定积分有如下结果：
n
nn
n
（ⅰ）
2 ln2 xdx, （ⅱ）
2
ln xdx, （ⅲ）
1
ln(1 x)dx, （ⅳ）
1ln2 (1 x)dx
1
1
0
0
以上结果中正确的是（ ）
x1
x 1
x2
x2
lim
x
ax3
bx2 cx d x
l存在，则l
（
）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（2） 设f (x)在[0,2 ]上有二阶连续导数，且f (x) 0,则积分 2 f (x) cos xdx的值为 （ ） 0
（A）恒正
（B）恒负
（C）非正
（10）函数f (x)
x2 1
x 的可去间断点个数为
.
（11） lim x0
1 x2
x2 sin xtdt xt
.
（12）
设f
(x,
y,
z)

xy2 z3，而函数z

z(x,
y )由方程x 2

y2

z2

3xyz

0确定，则f

x
(1,1,1)

.
（13）交换积分次序，
0
（B）把 A1 的第二行的（ 3）倍加到第一行就得 B1
（C）把 A1 的第一列的（ 3）倍加到第二列就得 B1
（D）把 A1 的第二列的（ 3）倍加到第一列就得 B1
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（8） 设是n维单位列向量，设A E T，则下列命题正确的是 （ ）
在点 x 0 处可导的一个充分条件为（ （A） lim f (x) 存在 x0 x
）
（B） lim f (x) 存在 x0 x
（C） f (x)在点x 0处连续
x
（D） f (t)dt在点x 0处可导 0
（2）设 f (x)在(,)上是周期为T的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是 （ ）
2018 年全国硕士研究生入学统一考试超越考研数学（二）模拟二
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设函数 f (x)在(,)内有定义，在(,0) (0,)内可导，lim f (x)存在，则f (x) x0

0)确定，则
d2y dx 2

t0
.
（12）
0
(x2
1 1)1010
dx

.
（13）函数 f (x, y) sin 2 x sin 2 y在正方形0 x, y 内的平均值为
.
2
（14） 二次型f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32 ) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3的规范形为f y12 y22 , 则常数
1 (1,1,2)T ,2 (1,1,0)T ,3 (2,0,2)T ,4 (4,0,4)T ,
求
（Ⅰ）1,2 ,3,4 的极大线性无关组，并将其余的向量由极大无关组线性表示；
（Ⅱ） A 的属于特征值 1 6 的所有特质向量； （Ⅲ） A .
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（A）（ⅰ）（ⅱ）.
（B）（ⅰ）（ⅳ）. （C）（ⅱ）（ⅲ）. （D）（ⅱ）
（ⅳ）.
（5） 设有积分I1
1 0
x ln(1
x)
dx,
I2

1 0
ln 2
x2 (1
x)
dx,I3

1 0
x2 ln(1
x
2
)
dx,则I1
,
I
2
,
I
3按大小不同
排列的顺序是（ ）
（A） I1 I2 I3 （B） I1 I3 I2 （C） I3 I2 I1
x2 2x sin t 1
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（17）（本题满分 10 分）讨论方程 (x2 3) kex 0根的情况，其中k为实数.
（18）（本题满分 10 分） 设f (x)在[a, b]上连续且有 b f (x)dx 0, a
00
1
1 y
（C）
dy
0

1 y 2
f (x, y)dx
1
1 x2
（B） dx
f (x, y)dy
1 0
1
1 y
（D） dy 0
f (x, y)dx
1 y 2
（7）若把可逆阵 A 的第一行的 3 倍加到第二行，得到矩阵 B ，则（ ）
（A）把 A1 的第一行的（ 3）倍加到第二行就得 B1
个矩阵中可逆的共有（ （A）1
）个. （B）2
（C）3
（D）4
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9） 设函数f
(x)

1
1 x2
ex ,
,
x 0,的反函数为f x0
1 ( x)，则
2 0
f
1(x)dx
.
(x2 x) ln x sin 1
记 z xyf (2x y2 , x2 2 y), 求 2 z xy
x 1 y 1
（21）（本题满分 11 分）计算二重积分 y x2 y d , 其中D：0 x 1,0 y 1.
D
（22）（本题满分
11
分）已知线性方程组
4
x1 x1
x2 x3 3x2 5x3
（Ⅱ）求极限 lim
1 n
xn (1 x)n dx.
n 0
（16）（本题满分 10 分）设有二阶微分方程 y (4x e2 y )( y)3 0.
（Ⅰ）视 x为y 的函数，变换此方程；
（Ⅱ）求此方程的通解.
（17）（本题满分 10 分）抛物线 y 3 x2与直线y 2x交于A, B两点，M是抛物线 AB 上的动点，
x4 x4
1, 1,
有三个线性无关的解，其系数矩阵为
x1 x2 3x3 x4 1
A
（Ⅰ）证明方程组 AT Ax 0 仅有两个线性无关的解；
（Ⅱ） 求， 的值及该方程组的通解. （23）（本题满分 11 分）设 A 为三阶实对称阵， A 的特征值为 6,3,3，特征向量为
（D） I3 I1 I2
（6） 设函数f (x, y)在区域D : 0 x 1,0 y 1内可微分，(x0 , y0 ) D,则以下结论不正确的是
（）
（A） 极限 lim f (x, y)存在 xyxy00
（B）函数h(t) f (t,t)在区间(0,1)内可导
（C）函数 lim x x0
f (x, y0 )
f
(
x0
,
y0
)且
lim
y y0
f (x0 , y)
f (x0 , y0 )
（D） f (x, y)在D 内必取得最大值和最小值
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（7） 设A为m n矩阵，B为l n矩阵，，为列向量，若r( A)

A r(
B
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（19）（本题满分 10 分）证明当 x 0时，
1 x2 x2
(x arctan
x) ln(x
1 x2 )
1 x2 arctan x.
（20）（本题满分 11 分） 设f (u, v) 有二阶连续偏导数，且在点 (1,3) 处取得极值 f (1,3) 0.
1
dx
x (ex e y3 e y3 )dy
1 0
.
（10）设函数 f (x) (x [x]) sin 2x, 其中[x] 为取整函数，则 f (100) ( 2017 )
.
2
（11） 设y
f
( x)由
t
2
x t2 y sin
2t y
0
(t
),则 （
）
（A） 由A的列向量线性表示，由B的列向量线性表示
（B） 由A的列向量线性表示，不可由B的列向量线性表示
（C） 不可由A的列向量线性表示，可由B的列向量线性表示
（D） 不可由A的列向量线性表示，也不可由B的列向量线性表示
（8）已知A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，且A E2 3A E2，则在A, A E, A 2E, A 3E 四