随机前沿分析(穆瑜秀11.27)

SFA
参数方法 是 存在无效率
技术效率、规模效
率、配置效率 投入产出的数量 截面数据 面板数据
技术效率、规模效率、配置
效率、技术进步、TFP的变化 投入产出的数量 截面数据 面板数据
所需要变量
所需要数据
随机前沿分析（SFA)与数据包络分析（DEA）的比较
SFA与DEA的优缺点比较
SFA
有统计特性； 有无统计特性 对参数进行t检验； 对模型本身进行LR检验 随机前沿面； 固定前沿面； 无统计特性
动的产出弹性）； Translog 函数优点： 考虑了资本和劳动相互作用对于产出的影响，克服了C—D 函数 替代弹性固定为1的缺点。 如何选择使用哪种生产函数： 首先选择Translog函数，在参数估计后做β 3=β 4=β 5=0是否为0
的似然比检验（LR检验）。若不能拒绝β 3=β 4=β 5=0的原假设，
又分为随机性和确定性两种方法。
确定性前沿生产函数
是否考虑随 机因素影响 不考虑
随机前沿生产函数（SFA）
考虑
随机扰动项ε 应由v和u 组
把影响最优产出和平均 成； 误差项 产出的全部误差归入单 v是随机误差项/噪声(不可 侧的一个误差项，称为 控)，计算系统非效率； 生产非效率。 计算技术非效率。
u是技术损失误差项(可控），
随机前沿生产函数模型
随机前沿生产函数模型： 在确定性生产函数的基础上提出了具有复合扰动项的随机前 沿模型。Aigner，Lovell和Schmidt(1977)以及Meeusen和 Broeck(1977)都分别提出了如下形式的随机前沿面生产函数：
式中， 代表第i家公司的产出； 是包含投入对数的K*1向
2 u
式1表明 是独立同分布的正态随机变量，服从期望为0,

2 方差为 。式 iidN (0, ) 2表明 v
u 是独立同分布的半正态随机变量， i

服从期望为u 0，方差为 i iid N
。 ) (0,
2 u
随机前沿分析参数估计
其中令 且 。如果 ，
则不会有技术无效率效应，并且所有与前沿面的偏差都是由 噪声造成的。利用这种参数定义法，对数似然函数为：
确定性前沿面
q* 0 1 ln xA vAn xB vB )
qB exp(0 1 ln xB vB B )
qA exp(0 1 ln xA vA A )
0
X XA XB
这个前沿面模型的特点可以 推广到公司具有多个投入的 情形。
随机前沿分析假设检验
LR检验：服从自由度为n 、显著性概率为5 %混合卡方分布
对变差率γ 的零假设检验可通过对单边似然比检验统计量LR 的
显著性检验实现。
设θ 是待估计的前沿生产函数的参数向量, 变差率γ =0 可视为
对这些参数施加的约束条件。
似然比： L(0 ) L(1 )
单边似然比检验统计量LR 的表达式为：
随机前沿分析（SFA） 确定性前沿生产函数模型：
exp:以e 为底的指 数函数
Y f ( X ) exp(u )
其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和1之间，反映了 生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出
的距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算
或估计其参数。
注：不考虑随机因素的影响, 直接采用线性规划方法
如果没有技术无效率效应（例如如果
都等于0），
则A和B两个公司的前沿生产函数产出分别为：
q exp(0 1 ln xA vA )
* A
* qB exp(0 1 ln xB vB )
随机前沿生产函数模型
Y
qi exp(0 1 ln xi )
噪声影响 无效率 影响 噪声影响 无效率 影响
DEA
前沿面类型
适用跨时期的面板数据 忽略样本差异性；
不考虑统计噪声 处理输入输出情况
处理结果
只能处理单输出
稳定性高
多输入多输出
离散程度大
Frontier 4.1
操作软件：Frontier 4.1 操作说明： 1）数据文件：纯文本文件（.txt)；数据文件具体说 明.doc 2）命令文件：dos界面运行；命令文件具体说明.doc 3）输出文件：系统自动输出，必须在程序文件中指定输 出文件名。 Frontier 4.1软件操作演示 Frontier41操作视频.wmv； 教学视频.exe Frontier 4.1简介.doc
随机前沿分析
导 师：樊 相 宇 汇报人：穆 瑜 秀 日 期：2015.11.27
引 言
生产前沿分析
随机前沿分析
CONTENTS SFA与DEA比较 Frontier4.1
引言 目前，很多学者开展了关于“效率” 在各领域的实 证研究。主要研究不同领域的规模效益、技术效率、纯
技术效率、经济效率等。
在经济学中，技术效率是指在既定的投入下产出可 增加的能力或在既定的产出下投入可减少的能力。常用 度量技术效率的方法是生产前沿分析方法。
随机前沿分析假设检验
在建立模型过程中，要对模型参数以及模型的各种假定条 件作检验和判断。 常用的检验方法主要有：t检验、F检验、Wald检验、似
然比（LR）检验、拉格朗日乘数（LM）检验等。
t检验（双尾）:（SFA常用） 如果误差服从正态分布，或者当样本容量很大时，能够 使用t检测来对单一的系数进行假设检验。
L(0 ) LR 2ln 2ln 2ln L(0 ) 2ln L(1 ) 2 ln L(1 ) ln L(0 ) L(1 )
随机前沿分析假设检验
θ 0表示γ =0约束条件下θ 的最大似然估计； θ 1表示无约束条件下θ 的最大似然估计； L(θ 0)和L(θ 1)在这两个估计处的似然函数值； n为约束的个数,等于无假设约束条件的备择模型(有非效率 项的生产函数模型)与有假设约束条件的零假设模型(无非效率
生产前沿分析 生产前沿
指在一定的技术水平下，各种比例投入所对应的最大
产出集合。而生产前沿通常用生产函数表示。
前沿生产函数
反映了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下, 企业各
投入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业
实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效 率。
生产前沿分析 前沿面
计算前沿面。
随机前沿生产函数的发展
20世纪20年代，美国经济学家道格拉斯（P· Douglas）与数学家 柯布（C· Cobb）合作提出了生产函数理论；
1957年，美国经济学家罗伯特· 索洛（R· Solow）提出全要素生
产率（TFP）的增长率；
1977年，Aigner，Lovell，Schmidt和Meeusen，Van den Broeck
分别独立提出了随机前沿生产函数，允许技术无效率的存在； Schmidt（1980， 1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer （1990）、Kalirajan（1993）、Batese和Coelli（1988，1992， 1995）等利用随机前沿生产函数法对技术效率对TFP和产出的 影响做了大量的实证研究。
对γ 做是否为0的极大似然比检验(LR检验)是非常必要的,
它的检验统计量LR渐进服从于混合x2分布。
随机前沿分析参数估计
正态—半正态模型的ML估计
Aigner、Lovell和Schmidt(1977)基于以下假设得到了最
大似然估计：
（1）
vi iidN (0, )
2 v
（2）
u i iid N (0, )
项的生产函数模型)之间待估参数的个数之差。
LR 大于混合卡方分布检验标准值, 则证明变差率γ 的零
假设被拒绝, 同样意味着非效率项u是客观存在的。
随机前沿分析（SFA)与数据包络分析（DEA）的比较
DEA 是否为参数方法 是否考虑随机影响 关于公司效率假设 可计算哪些方面
非参数方法 否 存在无效率
图1 随机生产前沿面
随机前沿生产函数模型
技术效率? 观测产出与相应的随机前沿面产出的比值
大于等于0，可以看出技术效率取值为0~1. 从上式可以明显的看出，技术效率预测的第一步是估计 随机前沿生产函数的参数。
随机前沿生产函数选择
目前,在SFA中生产函数通常选择为柯布—道格拉斯生产函数 （C—D函数）或超越对数生产函数（Translog函数）。
其中，0 , 1 , 2 , 3 , 4和5为待估计参数。
Translog 函数本质是生产函数f(lnK,lnL)在(0,0)点的近似二阶泰勒 展开，当3 4 5 0 时，就退化为C—D 函数。
随机前沿生产函数选择
C—D 函数优点：
形式简洁，参数有直接的经济学含义（β 1和β 2表示资本和劳
不必事先设定前沿函数
不必对参数进行估计
考虑随机误差对决策单元效率 未考虑随机因素对生产 的影响 率和效率的影响 分析 方法 随机前沿分析(SFA)、厚边界分 数据包络分析（DEA） 析(TFA)和自由分布(DFA) 和自由处置法(FDH)
随机前沿分析（SFA） 在参数型前沿生产函数的研究中, 围绕误差项的确立,
。
随机前沿分析参数估计
变差率（参数γ ）
判断是否适合使用SFA模型最关键的一个参数是变差率γ



2 u
2 u
γ 表示的是无效影响因素对个体效率差异的解释程度。
2 v
γ ∈（0,1）
γ=0
误差来源 随机因素
0＜γ＜1
γ=1
随机因素和技术非效率 生产技术的非效率 确定性前沿分析
使用模型 最小二乘估计法（OLS） 随机前沿分析（SFA)
斯随机前沿生产函数（C-D函数）如下： 或
或
确定部分
噪声
无效率
随机前沿生产函数模型
下图1表示了两个公司A和B的投入和产出，同时也图示了
随机前沿生产函数模型的确定成分，由此来反映其规模报酬
递减的特性。
横轴表示投入，纵轴表示产出值。公司A在投入水平 下得到产出 。而公司B在投入水平 下得到产出 和 。
当仅考虑资本（K）和劳动（L）两种投入，易知C—D函数取自
然对数后可表示成如下线性形式：
ln f 0 1 ln K 2 ln L v
Translog 函数是对C—D 函数的推广，其形式如下：
ln f 0 1 ln K 2 ln L 3 (ln K )2 4 (ln L)2 5 ln K ln L v
则选择C—D函数；反之则选择Translog函数。
随机前沿分析参数估计
估计参数
通常假设每个 与 互相独立分布，并且这两种误差与
中的解释变量是不相关的。 基于这些假设，可以使用最大似然法（ML）或者修正的 普通最小二乘法（COLS）估计参数和随机变量，进而得到 技术效率TEi ，由于最大似然估计量具有令人满意的大样本 特征（例如渐进性），它通常要优于其他估计（如COLS）
I i I 2 1 ln L ln I ln ln ( ) 2 2 2 i 1 2 i i 1 I
式中，
是复合误差；
是标准正
态分布变量在x评价的累积分布函数。
最后对似然函数求最大值。具体计算过程参见舒伯利·C·昆
伯卡《随机边界分析》P54-57。
量；β 是待估参数的列向量； 是与技术无效率相关的非负随
机变量； 为观测误差及其他随机因素。
随机前沿生产函数模型
上式中，产出值的上界是随机变量 。随机误差
可以是正值也可以是负值，因此随机前沿面的产出对于前沿面模
型的确定部分
是有偏差的。为了方便说明，首先要限
。在这个前提下的科布·道格拉
定只有唯一的投入 获得产出
对既定的投入因素进行最佳组合, 计算所能达到的最优
产出, 类似于经济学中所说的“帕累托最优”。前沿面是一
个理想的状态, 现实中企业很难达到这一状态。
前沿分析方法
是否已知生产函数的具体形式，可分为：
参数方法 非参数方法
生产前沿分析 参数方法与非参数方法对比
参数方法 非参数方法
事先设定前沿生产函数
内容 根据投入产出观察值，估计函 数中的参数
随机前沿分析参数估计
其他模型 利用以下形式来替代式（2）中的半正态假设： （截断的正态分布）（1980） （期望为λ 的指数分布）（1990） （期望为λ ，自由度为m的伽马分布） 这些模型同样需要逐步最优化来求最大值。 注：当v服从期望为0的正态分布,μ 服从半正态分布或截 断正态分布或指数分布时,μ 的条件分布μ |ε 都是服从 截断正态分布。