张量分析习题

ai 1 a j1 ak 1
ai 2 a j2 ak 2
ai 3 aj3 ak 3
= eijk a
= e pqr aip a jq akr
1 7.如Bij反对称，bi = eijk B jk , 证明B pq = e pqi bi 2 ˆ ˆ 8.如Bij反对称，Aij 对称, 证明A : B = 0
ˆ ˆ 9. A、S均为二阶张量，证明 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A : S = S : A = AT : S T = S T : AT v v ˆ ˆ 10.a、b 为矢量，A二阶对称张量，Ω二阶反对称张量， vv vv ˆ ˆ : ab = b a : A 证明 (1) A vv vv ˆ : a b = −b a : Ω ˆ (2) Ω v v ˆ 11. a、b 为矢量，A二阶对称张量，证明 r ˆ ˆ v (1) a • A = A • a r ˆ v v ˆ v (2) a • A • b = b • A • a
v v v v v v v v v v v v 1.证明(a × b ) • (c × d ) = (a • c )(b • d ) − (b • c )(a • d ) v v v v v v v v v 2.证明(a × b ) × c = (a • c )b − (b • c )a v v v v 3.证明(r − d ) • r = 0是个球面方程，其中 d 为常矢量。 是个球面方程， 为常矢量。
vv vv v v vv 源自文库v 12. T = 3e1e1 − e1e2 − e2e1 + 3e2 e2 + e3e3 (1)求主值和主方向； (2)写出T在主方向坐标架下的表达式； v (3)写出T从{ei }标架变换到主方向坐标架的变换形式；
v 13. 证明 ∇ × ∇ϕ = 0， • ∇ × a = 0 ∇
4. 展开计算 δ ijδ ikδ jk 和δ ij Aik Bkj
5.展开证明 e ijk a j ak = 0
6.写出下列表达式中的 2 写出下列表达式中的f 写出下列表达式中的 ( a ) f i = e ijkT jk
( b) fi = C i , j b j − C j ,i b j ( c ) f i = Bij g j
v 14. 证明 ∫∫∫ ∇ ϕdΩ = ∫∫ ∇ϕ • ndS
2 Ω S
a11
a12 a22 a32
a13 a23 a33
15：证明 ：
a21 a31
1 = e ijk e pqr aip a jq akr 6
a11
a12 a22 a32
a13 a23 a33
15：证明 ：
a21 a31
1 = e ijk e pqr aip a jq akr 6