难点7 双变量的“任意性”“存在性”问题

难点7 双变量的“任意性”与“存在性”问题

1.“存在=存在”型

∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集不为空集,即A∩B≠⌀.

其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.

典例1 已知函数f(x)=x2-ax3,a>0,x∈R.g(x)=.若∃x

1∈(-∞,-1],∃x

2

∈,使

得f(x

1)=g(x

2

),求实数a的取值范围.

解析∵f(x)=x2-ax3,

∴f '(x)=2x-2ax2=2x(1-ax).

令f '(x)=0,得x=0或x=.∵a>0,∴>0,∴当x∈(-∞,0)时, f '(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递减, f(x)在(-∞,-1]上的值域为.

∵g(x)=,∴g'(x)==.

∵当x<-时,g'(x)>0,∴g(x)在上单调递

增,∴g(x)

∃x1∈(-∞,-1],∃x2∈,

使得f(x

1)=g(x

2

),则1+<,a<.故实数a的取值范围是.

对点练

已知函数f(x)=和函数g(x)=a·sin x-a+1(a>0),若存在x

1,x

2

∈[0,1],

使得f(x

1)=g(x

2

)成立,则实数a的取值范围是( )

A. B.[1,2)C. D.

答案 C 设函数f(x),g(x)在[0,1]上的值域分别为A,B,则“存在x

1,x

2

∈[0,1],使得

f(x

1)=g(x

2

)成立”等价于“A∩B≠⌀”.当0≤x≤时, f(x)=-x+单调递减,

所以0≤f(x)≤;当0,

所以f(x)=单调递增,

故f(x)在[0,1]上的值域A=.

当x∈[0,1]时,x∈,y=sin x在[0,1]上单调递增.又a>0,所以g(x)=asin x-a+1在[0,1]

上单调递增,其值域B=.由A∩B≠⌀,得0≤1-a≤或0≤1-≤,解得≤a≤2.故选C.

2.“任意=存在”型

∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B的子集,即A⊆B.

其等价转化的基本思想:函数f(x)的任意一个函数值都与函数g(x)的某一个函数值相等,即f(x)的函数值都在g(x)的值域之中.

典例2 已知函数f(x)=,x∈[0,1].

(1)求f(x)的单调区间和值域;

(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意的x

1∈[0,1],总存在x

∈[0,1],使

得g(x

0)=f(x

1

)成立,求a的取值范围.

解析(1)f '(x)==-,x∈[0,1].

令f '(x)=0,解得x=或x=(舍去).当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表所示:

x01

f '(x)-0+

f(x)

-

↘-4↗-3所以f(x)的递减区间是,递增区间是.

f(x)

min =f=-4,又f(0)=-, f(1)=-3,所以f(x)

max

=f(1)=-3.

故当x∈[0,1]时, f(x)的值域为[-4,-3].

(2)“对于任意的x

1∈[0,1],总存在x

∈[0,1],使得g(x

)=f(x

1

)成立”等价于“在x∈[0,1]

上,函数f(x)的值域B是函数g(x)的值域A的子集,即B⊆A”.因为a≥1,且g'(x)=3(x2-a2)<0,所以当x∈[0,1]时,g(x)为减函数,所以g(x)的值域A=[1-2a-3a2,-2a].由B⊆A,得

1-2a-3a2≤-4且-2a≥-3,又a≥1,故1≤a≤.

对点练

已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R.

(1)求f(x)的单调区间和极值;

(2)若对于任意的x

1∈(2,+∞),都存在x

2

∈(1,+∞),使得f(x

1

)·f(x

2

)=1.求a的取值范围.

解析(1)由已知,有f '(x)=2x-2ax2(a>0).令f '(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,0

)

f '(x)-0+0-

f(x)↘0↗↘

所以, f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(-∞,0),.

当x=0时, f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;

当x=时,f(x)有极大值,且极大值f=.

(2)由f(0)=f=0及(1)知,当x∈时, f(x)>0;当x∈时, f(x)<0.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B=,则“对于任意的

x 1∈(2,+∞),都存在x

2

∈(1,+∞),使得f(x

1

)·f(x

2

)=1”等价于A⊆B.显然,0∉B.

下面分三种情况讨论:

①当>2,即0

②当1≤≤2,即≤a≤时,有f(2)≤0,且此时f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞, f(2)),因而A⊆(-∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),即(-∞,0)⊆B.所以,A⊆B.

③当<1,即a>时,有f(1)<0,且此时f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=,A=(-∞,

f(2)),所以A不是B的子集.综上,a的取值范围是.

3.“任意≥(≤、>、<)任意”型

∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)恒成立,等价于f(x)min>g(x)max,或等价于f(x)>g(x)max恒成立,或等价于f(x)

min

>g(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均大于函

数g(x)的任何一个函数值.

∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)

或等价于f(x)

max

函数g(x)的任何一个函数值.

∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)>k恒成立,等价于[f(x1)-g(x2)]min>k恒成立,也等价于

f(x)

min -g(x)

max

>k.

∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)

f(x)

max -g(x)

min

典例3 设函数f(x)=x3-x2-3.