第七章(习题)ppt课件
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100 130 140 270 280
n
f(x ) 0
x0
340
410
450
520
620
试用最大似然估计法估计参数λ的值。
(1) 似然函数
L ( ) f (x ) i,
i 1
n
e
i 1
n
Fra Baidu bibliotek
xi
x e i
n
n d ln L ( ) n ln L ( ) n ln x x 0 i i d i 1 n 1 最大似然估计量 ˆ n x n 1 x ˆ i n i 1 X Xi
第七章(习题)
2.设总体X服从二项分布B(n,p)，其参数n已知， 试求未知参数p的矩估计量。 X EX ˆ 解：EX=np p p
n
3.已知某种电子元件的使用寿命服从指数分布，其 x 密度函数为 e x0 (1)试求λ的最大似然估计量 (2)抽取10个元件，测试得寿命数据为
2 i 1
n 1 i 1
n 1
2
2 K D X X [ E X X ] i 1 i i 1 i
2 K n 1 2 2 K
n 1 i 1 2
1 K K n 1 2 2n 1
3.对某一进行5次独立测量，得长度数据如下(单位：m) 2781，2836，2807，2763，2858 已知测量无系统误差，求该距离的置信区间，设置信 度 1 0 . 95 ,且测量值可认为服从正态分布。
解：未知方差 2
的置信度为 0 . 95 置信区间
X ~ N ( ,)
2
X T ~ t(n1 ) 样本方差 S 34 . 739 S t t ( 5 1 ) 2 . 7764 n1 0 . 975 1
n5
x2809
34 . 739 置信区间 2809 2.7764 4 ( 2760 . 77 , 2857 . 23 )
2
习题七
1、从一批零件中随机抽取7件，测得直径数据如下
（单位：mm） 4.62，4.65，4.51，4.59，4.54，4.72，4.49 试用矩估计法估计这批零件直径的均值及标准差 解：用μ表示直径的均值 σ表示直径的标准差 根据矩估计法
1 ˆ 0 .003067 x 326 326
i 1
1 ˆ 1.若总体X服从二项分布B(n,p),证明: X n 是P的无偏估计量
练习7.2
证明:(X1,X2, …,Xn)是来自总体X的样本,故X1,X2, …, Xn相互独立,同总体X同分布,故EXi=nP i=1.2, …,n
2.为了估计灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测试 10个灯泡，得到使用时数的平均值 X1500小时， * 修正标准差 S 小时，如果已知灯泡使用时数服从 20 0 . 05 ) 正态分布，求μ和σ的置信区间。 (
2 解：未知方差 2 X ~ N( ， ) X - X- T * ~ t (n 1) S S n 1
2 2
3.设总体X服从泊松分布P(λ),概率函数为
k
e P X k k 0 , 1 , 2 , K ! 证明:对于容量为n的样本(X1,X2, …Xn) X X 1 2 ˆ ˆ X 比 更有效 1 2 2 1 ˆ 证明 : D D X 1 n X X 1 1 1 1 1 1 2 ˆ D D DX DX 2 1 2 4 2 4 4 4 2
14 . 95 样本空量 n 6 x 的置信度为 0 . 95 的置信区间
X U ~ N(0,1 ) 0.05 n
于是查正态分布表可得 临界值
1 . 96 0 . 05 0 . 975
1 2 1 2
0 . 05 0 . 05 ( 14 . 77 , • 15 • . 13 ) X 1 . 96 , X 1 . 96 6 6
1 1 ˆ E E X X E n n
n n 1 1 1 1 E X EX 2 nnp p i i 2 n n 1 ni 1 i n
1 ˆ X 是 P 的无偏估计量 n
2.设(X1,X2, …,Xn)为总体X的样本.欲使 为σ2的无偏估计量,求K
ˆ k X X i 1 i
2 i 1
n 1
2
2 解 : 由 EX , DX 得 E X X 0 i i i 1 i
2 D X X DX DX 2 i 1 i i 1 i
ˆ E K E X X i 1 i
当 n 2 时 ˆ ˆ 即D D 1 2 n 2
ˆ 更有效 1
练习7.3
1.某车间生产钢珠，其直径X服从正态分布，方差 σ2=0.05，从某天的产品中随机抽取6个，量得直径如下 (单位：mm)，14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1， 试求该天产品直径均值μ的置信度为95%的置信区间。 解：已知方差σ2=0.05 μ的置信度为 1 0 . 95
由于 n10
1 2 1 2
* S 20 X1500
n
由t分布临界值表可查得临 界值
t t0 t ( 10 1 ) . 2 . 262 . 05 0 . 975
20 20 的置信区间 1500 2.26 ， 1500 • 2.26 10 10
n
f(x ) 0
x0
340
410
450
520
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试用最大似然估计法估计参数λ的值。
(1) 似然函数
L ( ) f (x ) i,
i 1
n
e
i 1
n
Fra Baidu bibliotek
xi
x e i
n
n d ln L ( ) n ln L ( ) n ln x x 0 i i d i 1 n 1 最大似然估计量 ˆ n x n 1 x ˆ i n i 1 X Xi
第七章(习题)
2.设总体X服从二项分布B(n,p)，其参数n已知， 试求未知参数p的矩估计量。 X EX ˆ 解：EX=np p p
n
3.已知某种电子元件的使用寿命服从指数分布，其 x 密度函数为 e x0 (1)试求λ的最大似然估计量 (2)抽取10个元件，测试得寿命数据为
2 i 1
n 1 i 1
n 1
2
2 K D X X [ E X X ] i 1 i i 1 i
2 K n 1 2 2 K
n 1 i 1 2
1 K K n 1 2 2n 1
3.对某一进行5次独立测量，得长度数据如下(单位：m) 2781，2836，2807，2763，2858 已知测量无系统误差，求该距离的置信区间，设置信 度 1 0 . 95 ,且测量值可认为服从正态分布。
解：未知方差 2
的置信度为 0 . 95 置信区间
X ~ N ( ,)
2
X T ~ t(n1 ) 样本方差 S 34 . 739 S t t ( 5 1 ) 2 . 7764 n1 0 . 975 1
n5
x2809
34 . 739 置信区间 2809 2.7764 4 ( 2760 . 77 , 2857 . 23 )
2
习题七
1、从一批零件中随机抽取7件，测得直径数据如下
（单位：mm） 4.62，4.65，4.51，4.59，4.54，4.72，4.49 试用矩估计法估计这批零件直径的均值及标准差 解：用μ表示直径的均值 σ表示直径的标准差 根据矩估计法
1 ˆ 0 .003067 x 326 326
i 1
1 ˆ 1.若总体X服从二项分布B(n,p),证明: X n 是P的无偏估计量
练习7.2
证明:(X1,X2, …,Xn)是来自总体X的样本,故X1,X2, …, Xn相互独立,同总体X同分布,故EXi=nP i=1.2, …,n
2.为了估计灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测试 10个灯泡，得到使用时数的平均值 X1500小时， * 修正标准差 S 小时，如果已知灯泡使用时数服从 20 0 . 05 ) 正态分布，求μ和σ的置信区间。 (
2 解：未知方差 2 X ~ N( ， ) X - X- T * ~ t (n 1) S S n 1
2 2
3.设总体X服从泊松分布P(λ),概率函数为
k
e P X k k 0 , 1 , 2 , K ! 证明:对于容量为n的样本(X1,X2, …Xn) X X 1 2 ˆ ˆ X 比 更有效 1 2 2 1 ˆ 证明 : D D X 1 n X X 1 1 1 1 1 1 2 ˆ D D DX DX 2 1 2 4 2 4 4 4 2
14 . 95 样本空量 n 6 x 的置信度为 0 . 95 的置信区间
X U ~ N(0,1 ) 0.05 n
于是查正态分布表可得 临界值
1 . 96 0 . 05 0 . 975
1 2 1 2
0 . 05 0 . 05 ( 14 . 77 , • 15 • . 13 ) X 1 . 96 , X 1 . 96 6 6
1 1 ˆ E E X X E n n
n n 1 1 1 1 E X EX 2 nnp p i i 2 n n 1 ni 1 i n
1 ˆ X 是 P 的无偏估计量 n
2.设(X1,X2, …,Xn)为总体X的样本.欲使 为σ2的无偏估计量,求K
ˆ k X X i 1 i
2 i 1
n 1
2
2 解 : 由 EX , DX 得 E X X 0 i i i 1 i
2 D X X DX DX 2 i 1 i i 1 i
ˆ E K E X X i 1 i
当 n 2 时 ˆ ˆ 即D D 1 2 n 2
ˆ 更有效 1
练习7.3
1.某车间生产钢珠，其直径X服从正态分布，方差 σ2=0.05，从某天的产品中随机抽取6个，量得直径如下 (单位：mm)，14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1， 试求该天产品直径均值μ的置信度为95%的置信区间。 解：已知方差σ2=0.05 μ的置信度为 1 0 . 95
由于 n10
1 2 1 2
* S 20 X1500
n
由t分布临界值表可查得临 界值
t t0 t ( 10 1 ) . 2 . 262 . 05 0 . 975
20 20 的置信区间 1500 2.26 ， 1500 • 2.26 10 10