高中数学必修五《应用举例》习题及答案 打印版

《应用举例》习题

一、选择题

1．如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=450

,沿倾斜角为30o

的斜坡走1000m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB=750

，则山高BC=（ ） A ．10002m B.1000m C.1002m D.100m

2.甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10

千米。甲船以每小时千米的速度向正北航行，同时，乙

船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60o

的方向驶去。当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A.

1507分钟 B. 15

7

小时 C.21.5分钟 D.2.15分钟 3.如图，在河岸AC 测量河宽BC 时，测量下列四组数据较适宜的是（ ） A.c 和α B.c 和b C.c 和β D.b 和α

二、解答题

4. 甲船在A 处观察到，乙船在它的北偏东60o

方向的B 处，两船相距a 里，乙船正向北行驶。.问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时，乙船已行驶了多少里？

5. 海岛O 上有一座海拔1000m 的山，山顶上设有一个观察站A ，上午11时测得一轮船在岛北偏东60o

的C 处，俯角为30o

，11时10分又测得该船在岛北偏西60o

的B 处，俯角为60o

，如图所示，求：

（1）该船的速度为每小时多少千米？

（2）若此船以匀速度继续航行，则它何时到达岛的正西方向？此时，船所在点E 离开海岛多少千米？

B

D

A C

A B C a b c

α β

6. 半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，且OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边三角形（如图），问B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个

最大面积.

7. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

参考答案：

一、选择题

1．B 2．A 3．D 二、解答题：

4．解：如图，假设甲船取北偏东θ角去追乙船，在点C 处追上，若乙船行驶的速度是v ，则

，由于甲乙两船到c 的时间相等，都为t ，则BC=vt ，

∠ABC=120o

由余弦定理可得，

3v 2t 2

=a 2

+v 2t 2

+vat 解得t 1=

a v ,t 2=2a v

(舍去) ∴BC=a, ∴ ∠CAB=30o

. ∴甲船应取北偏东30o

的方向去追赶乙船，在乙船行驶a 里处相遇。

5．解：（1）由AO ⊥平面BOC ，在Rt △AOB 中，

求得 OB ＝OAtan30o

(km). 在Rt △AOC 中，将OC=Oatan60o

在△BOC 中，由余弦定理得，

(km). ∴船速v ＝

6

BC

＝

km/h ）. (2)在△OBC 中，由余弦定理得，

cos ∠

1313

+-

.

从而sin ∠EBO=sin （180o

－∠OBC ）＝sin ∠OBC

26 sin ∠BEO=sin[180o

－(∠BEO+30o

)] = sin(∠BEO+30o

.

由正弦定理在△BEO 中，OE=

sin sin OB EBO BEO ∠∠=3

2

(km)

BE=

sin sin OB BOE BEO ∠∠

因此，从B 到E 所需时间t ＝BE v

＝1

12

（h ）

所以再经过

1

12

h ，即5min 轮船到达岛的正西方向，此时E 点离海岛1. 5km. 6．设∠AOB=θ，AB=x.

由余弦定理得， x 2

=12

+22

－4cos θ=5－4cos θ. ∴四边形OACB 的面积为 S ＝

12OA ⋅OBsin θ

2x =sin θ

θ

=2sin(θ－3π)

. ∵θ∈（0，π），∴3

π

-

<θ3

π

-

<

23

π

∴当θ3

π

-

＝

2π，即θ＝56π时，S max

.

7．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD BDC CBD

=∠∠．

所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD β

αβ∠=

=∠+·．

在ABC Rt △中，tan sin tan sin()

s AB BC ACB θβ

αβ=∠=+·．