系统建模与辨识快速掌握

《系统辨识》第1讲要点
●引言
课程名称：系统辨识（System identification）
现代控制论：辨识、状态估计和控制理论
什么是辨识(Identification)?
System Identification系统辩识，又译为“系统识别”和“系统同定”，目前尚无公认的统一定义。

《中国大百科全书》中记述为：系统辩识是根据系统的输入/输出时间函数，确定系统行为的数学模型，是现代控制理论的一个分支（中国大百科自动控制卷486-488页）。

(1) 辨识是研究建立系统或生产过程数学模型的一种理论和方法。

(2) 辨识是种从含有噪声的测量数据（输入、输出数据）中提取被研
究对象数学模型的一种统计方法。

(3) 辨识模型是对象输入输出特性在某种准则意义下的一种近似。

近
似的程度取决于人们对系统先验知识的认识和对数据集性质的了
解程度，以及所选用的辨识方法是否合理。

(4) 辨识技术帮助人们在表征被研究的对象、现象或系统、过程的复
杂因果关系时，尽可能准确地确立它们之间的定量依存关系。

(5) 辨识是一种实验统计的建模方法。

通俗地说，系统辩识是研究怎样利用对未知系统的试验数据或在线运行数据（输入/输出数据）建立描述系统的数学模型的科学。

钱学森把系统广义概括为“依一定顺序相互联系着的一组事物”。

“系统辩识”
是“系统分析”和“控制系统设计”的逆问题。

基于实际系统的复杂性，描述其特性的数学模型具有“近似性”和“非唯一性”；辩识方法亦有多样性。

没有绝对好的数学模型和绝对好的辩识方法。

什么是较好的模型？依据辩识的不同目的，有不同答案。

一般说，能够满足目的要求的，比较简单的模型，是较好的模型。

参考书：
1.方崇智、萧德云编著，《过程辨识》，清华大学出版社，北京，1988
2.蔡季冰编著，《系统辨识》，北京理工大学出版社，北京，1989
3.Lennart Ljung，《系统辨识－使用者的理论》（第二版），清华大学
出版社，北京，2002
预修课程：
线性系统理论、自动控制理论基础、概率统计与随机过程
第1章系统辨识的一些基本概念
1.1 过程和模型
1.1.1 过程（Process）
●过程的描述框图（“黑箱”模型）
●过程的行为特性表现在过程的输入输出数据之中。

●根据“黑箱”所表现出来的输入输出信息，建立与“黑箱”特性等
价的过程外特性模型。

1.1.2 模型
●模型的含义
模型－把关于实际过程的本质的部分信息简缩成有用的描述形式。

它是用来描述过程的运动规律，是过程的一种客观写照或缩影，是分析、预报、控制过程行为的有力工具。

模型是实体的一种简化描述。

模型保持实体的一部分特征，而将其它特征忽略或者变化。

不同的简化方法得到不同的模型。

●模型的近似
不可能考虑所有因素。

精度和复杂度之间的矛盾。

模型的输出响应和实际过程的输出相应几乎处处相等，则模型是满意的。

（标准或准则问题）
●模型的表现形式
1.“直觉”模型：（司机驾驶、地图、建筑模型）
2.物理模型：实际过程的缩小（风洞模型、水力学模型、传热学模型、
电力系统动态模拟模型等）
3.图表模型：以图表形式表现过程的特性（阶跃响应、脉冲响应、频
率响应等非参数模型）
4. 数学模型：以数学结构的形式反映过程的行为特性（代数方程、微分方程、差分方程、状态方程等参数模型） （1）Cobb －Douglas 生产关系模型
1212,0,1a a Y AL K a a =><
（2）微分方程
1111
1
111
()()()
()()()()()n n n n n n m m m m d y t d y t dy t a a a y t dt dt dt
d u t du t b b b u t
e t dt dt
----+=++++L L －－＋＋＋
（3）差分方程
11()()()()()A z z k B z u k e k --=+
其中：
112
12112
12()1()a a b b n n n n A z a z a z a z
B z b z b z b z
--------⎧=++++⎪⎨=+++⎪⎩L L 即有：
11()(1)()(1)()()
a b n a n b z k a z k a z k n b u k b u k n e k +-++-=-++-+L L （A ）
（4）状态方程
⎩
⎨⎧+=++=)()()()
()()()(t hw t X c t y t F t u b t X A t X T
ω& 离散化
⎩⎨⎧+=++=+)
()()()
()()()1(k hw k X c k y k F k u b k X A k X T
ω
●模型的分类
1.线性与非线性：系统线性和关于参数空间线性、本质和非本质线性
2.动态与静态：
3.确定性与随机性：
4.宏观与微观：
1.1.3 辨识方法
●机理法：“白箱”理论
●测试法：“黑箱”理论（辨识）
●两者结合：“灰箱”理论
●模糊推理建模法：一种基于模糊推理的关于控制系统的建模方法
●建模的基本原则：目的性、实在性、可辨识性、节省性。

●建模的步骤：
●建模的目的：
1.2 辨识的定义和目的
● Zadeh对辨识的定义（1962年）
辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。

● Liung 对辨识的的定义（1978年）
系统辩识有三个要素——数据、模型类和（等价）准则。

系统辩识是按照一个准则，在模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。

Liung 认为，实际系统的复杂性很难找到一个适用的模型与之等价。

因此，系统辩识的任务只是要求从输入输出数据出发，找到一个与实际系统相逼近的模型。

该定义体现了逼近的观点。

● 辨识的三大要素 1. 输入输出数据 2. 模型类 3. 等价准则 ● 实用的辨识定义
辨识有三个要素－数据、模型类和准则。

辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型（近似描述）。

例子见教材。

● 辨识的目的
辨识目的主要取决于模型的应用，通常有四类：
（1）为了估计具有特定物理意义的参数（如：时间常数；转动惯量；经济、生物、生态系统的参数）；
（2）为了预测（如：气象、大气污染、市场、故障等）；
（3）为了仿真（“性能仿真”与“过程仿真”对模型的要求不同）； （4）为了控制（如设计控制系统的需要）。

1.3 辨识问题的表达形式
● 最小二乘格式（以离散线性系统为例）
[]1212,()(),(),,(),,,N N h k h k h k h k ττθθθθ⎧=⎪⎨⎡
⎤=⎪⎣⎦⎩r
L r L 输出量)(k z 是输入向量)(k h 的线性组合：
1
()()()()()N i i i z k h k e k h k e k τθθ==+=+∑r r
● 化差分方程为最小二乘格式
线性过程或本质线性过程其模型都可以化成最小二乘格式 ● 化最小二乘格式的例 定义：
⎪⎩⎪⎨⎧=------=τ
τ
θ]
,,,,,,,[)]
(,),(),(,),([)(b a n n b a b b b a a a n k u k u n k z k z k ΛΛΛΛ212111h 将（A ）式化为最小二乘格式：)()()(k e k k z +=θτh 1.4 辨识算法的基本原理 ● 基本原理图 ● 新息的概念
逐步逼近的算法，模型参数θr
的估计值为ˆθ
，在k 时刻，过程输出预报值为ˆ()z
k ，则T
ˆˆ()()(1)z k h k k θ=-r 计算预报误差：ˆ()()()z
k z k z k =-%，此称为输出预报误差或新息(Innovation)。

1.5 误差准则及其关于参数空间的线性问题 ● 误差准则
1
ˆ()(())L
k f f k θε==∑，等价准则、误差准则、损失函数或准则函数。

用的最多的是：2
(())()f k k εε=
● 输出误差准则： ()()()()[()]m k z k z k z k u k ε=-=-ℜ ● 输入误差准则： 1
()()()()[()]m k u k u k u k z k ε-=-=-ℜ
● 广义误差准则： )]([)]([)(11
2k u k z k ℜ-ℜ=-ε
1.6 辨识的内容和步骤
●辨识步骤图
离线辨识、在线辨识。

辨识的主要内容：
1.实验设计
2.模型结构辨识
3.模型参数辨识
4.模型检验
●辨识目的：决定模型类型、精度要求、采用何种辨识方法
●先验知识：对试验设计起指导性作用。

●实验设计
实验设计包括选择和决定
1.输入信号（幅度、频带等）
2.采样时间
3.辨识时间（数据长度）
4.开环或闭环辨识
5.离线或在线辨识
●持续激励
在辨识时间之内过程的动态必须被输入信号持续激励。

即在实验期间，输入信号必须充分激励过程的所有模态。

谱分析角度看，输入信号的频谱必须足以覆盖过程的频谱。

● Cramer-Rao 不等式
定理：如果模型噪声向量L n 是零均值白噪声，并设模型噪声服从正态
分布，则最小二乘参数估计值LS θˆ是有效估计值，即参数估计值偏差的协方差阵达到Cram ér-Rao 不等式的下界 =}~{LS Cov θ112E --=M H H }){(L L n τ
σ 其中M 为Fisher 信息矩阵：
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=LS E θτθθθθˆ)|(log )|(log L L p p z z M 最优输入就是使Fisher 信息矩阵的逆的一个标量函数达到最小，这个标量函数就可以作为评价模型精度的度量函数。

)(1-=M J φ
● D 最优准则 1. φ取迹（A －最优） 2. φ取行列式（D －最优） ● 辨识输入信号的选择 1. 持续激励输入信号的要求 2. 最优输入信号设计的要求 3. 工程意义上的考虑 ● 采样时间的选择
1. 满足香农定理，即采样速度不低于信号截止频率的两倍
2. 与模型最终应用时的采样时间尽可能保持一致
3. 经验公式：)15~5/(950T T =，0T 表示采样时间，95T 是过程阶跃响应达到95％时的调节时间。

●数据的零值化处理（去除直流分量）
1.差分法
2.平均法
3.剔除高频成分（一般采用低通滤波器）
●模型结构辨识
模型验前结构的假定、模型结构参数的确定。

●模型参数辨识（本课程的主要内容）
●模型检验
1.7 辨识的精度和应用
精度问题：
原因：结构近似、数据污染和数据长度有限。

辨识结果精度需要有评价的标准，不同的标准会有不同的精度。

最终的评价标准是它在实际应用中的效果。

辨识理论和技术有广泛的应用：主要有以下几个方面
（1）用于控制系统的设计和分析；
（2）用于过程的在线控制；
（3）用于特定问题的预报、预测；
（4）用于监视过程参数并实现故障诊断；
1.8 系统辩识的历史、现状与展望
二十世纪40—50年代基于古典控制理论的（测试阶跃响应、脉冲响应和频率特性）古典辩识方法。

二十世纪50年代末发展起来的现代控制理论为系统辩识提供了理论基础；计算机的应用为辩识提供了有力工具。

国际自控联盟（IFAC）（）于1967年召开第一届“系统辩识与参数估计会议”，以后每三年开一届。

我国自1979
年开始参加第五届会议是尚无论文，1982年的第六届会议我国已有15篇论文发表。

1988年第八届辩识会议在北京召开。

最近的一次会议是2006年3月的第十四届，在Newcastle AUSTRALIA召开。

1991年出版的中国大百科全书《自动控制与系统工程》卷中，收录了辩识条目24条，另有相关的系统建模（Modelling）条目11条。

1.9 系统辨识当前发展的新热点
* 非线性系统辩识（机器人）；
* 快时变与有缺陷样本的辩识；
* 生命、生态系统的辩识；
* 辩识的专家系统与智能化软件包的开发；
* 基于模糊理论、神经网络、小波变换的辩识方法；
* 系统辩识与人工智能、人工生命、图象处理、网络技术和多媒体技术的结合；
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