9现代信号处理功率谱估计

m=0
将m≥1的情况写成矩阵形式：
r ( 0 ) r ( 1 ) r ( N ) xx xx xx ( 1 ) r ( 0 ) r ( N 1 ) r xx xx xx r (N ) r ( N 1 ) r ( 0 ) xx xx xx
作为rxx(N+1)的函数，凹口向下，那么只有一个最大值。为选择
rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大， 解下列方程：
d det[ R ( N 1 )] 0 xx d r ( N 1 ) xx
(4.6.6)
用数学归纳法，得到
上 式 是 rxx(N+1) 的 一 次 函 数 ， 可 以 解 出 rxx(N+1) 。 继 续 再 将 rxx(N+2)的最大值，得到rxx(N+2); 以此类推，可推出任意多个其
N+2 个值，根据自相关函数的性质，由 N+2 个自相关函数组成
的矩阵为
r ( 0 ) r ( 1 ) r (N ) r (N 1 ) xx xx xx xx r ( 1 ) r ( 0 ) r (N 1 ) r (N ) xx xx xx xx R (N 1 ) xx r ( N 1 ) r ( N ) r ( 1 ) r ( 0 ) xx xx xx xx
rxx(1 ) rxx(0) rxx(N 1 ) ) rxx(N 2) rxx(2) rxx(1 （4.6.7） 0 r (N 1 ) rxx(N) rxx(1 ) xx
rxx(N+1) 代 入 Rxx(N+2) 和 det(Rxx(N+2)) 中 ， 求 det(Rxx(N+2)) 对
（4.6.4）
它必须是非负定的矩阵， 即
det[ R ( N 1 )] 0 xx
（4.6.5）
det[ R ( 0 ), det[ R ( 1 ), , det[ R ( N )] 0 xx xx xx
将行列式展开， det(Rxx(N+1)) 是 rxx(N+1) 的二次函数，该二次函 数 系 数 的 符 号 是 ： (-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1 ， 且 det(Rxx(N+1)) 对 rxx(N+1) 的二次导数是 -2det ［ Rxx(N-1) ］，它是负值，负值表示 det (Rxx(N+1)) 对 rxx(N+1) 的一次导数是减函数， det(Rxx·(N+1))
它自相关函数值，而不必假设它们为零， 这就是最大熵谱估计
的基本思想。
2. 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性 我们已经知道 AR Yule-Walker方程，即
N ak rxx (m k) m>0 k 1 rxx (m) N a r (m k) 2 k xx w k 1
数为 1 N / 2 1 / 2 H 1 p ( x , x , , x ) ( 2 π ) (det R ( N )) exp X ( R ( N )) X 1 2 N xx xx 2 式中
H X [ x , x , , x ] 1 2 N
r (0 ) r ( 1 ) r (N) xx xx xx ( 1 ) r (0 ) r (N1 ) r xx xx xx R (N) xx r (N) r (N1 ) r ( 0 ) xx xx xx
按照（4.6.2）式，x(n)信号的熵为
H log[( 2 πe ) (det( R ( N ))) ] xx
N / 2
1 / 2 （4.6.3）
式中 det(Rxx(N)) 表示矩阵 Rxx(N) 的行列式，由上式表明为使熵最 大，要求det(Rxx(N)最大。
若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最 大熵方法外推 rxx(N+1) 。设 rxx(N+1) 确实是信号自相关函数的第
十、 Prony谱分析法
1、利用最大熵的原则外推自相关函数
2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
十一、多重信号分类MUSIC
1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系
十二、特征分解法谱估计
1、波束形成器 2、特征子空间分析
3 、MUSIC算法及其改进
一、 最大熵谱估计 1. 利用最大熵的原则外推自相关函数 按照Shannon对熵的定义， 当随机变量X取离散值时，熵的
定义为
H p p i ln i
i
(4.6.1)
式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为
H p ( x ) ln p ( x ) d x E [ln p ( x )]
(4.6.2)
式中, p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列, 概率密度函
数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性， 最大 熵代表最大的不确定性， 或者说最大的随机性。下面我们研究 对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数 用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。 假设x(n) 是零均值正态分布的平稳随机序列，它的 N 维高斯概率密度函
Leabharlann Baidu
2 1 a 0 1 a N 0
式中ai是AR模型系数,i=1, 2, 3, …, N, 。在AR模型中,列写齐次方 程式,可得
功率谱估计
七、最大熵谱估计
1、利用最大熵的原则外推自相关函数
2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
八、最大似然谱估计
1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系
九、特征分解法谱估计
1、正弦波用退化AR模型表示 2、白噪声中正弦波组合用一特殊的ARMA模型表示
3 、特征分解法谱估计
功率谱估计