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高考数学压轴题集锦
1椭圆的中心是原点
0,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点F(c,0) ( G 0)的准线I 与X 轴相
交于点A ， OF =2 FA ,过点A 的直线与椭圆相交于 P 、Q 两点。

(1) 求椭圆的方程及离心率;
(3)设AP = ^AQ (&>1)，过点P 且平行于准线I 的直线与椭圆相交于另一点 M ,证 明 F^- - FQ . (14 分)
2.已知函数f (X)对任意实数X 都有f(x 1) f(x)=1 ,且当X [0,2]时，f(x)=∣x-1∣。

(1) x∙ [2k,2k ∙2](k∙ Z)时，求 f(x)的表达式。

(2) 证明f (x)是偶函数。

1
(3) 试冋方程f (x) log 4
0是否有实数根？若有实数根， 指出实数根的个数；若没有
X
实数根，请说明理由。

3. (本题满分12分)如图，已知点 F ( 0,
1),直线 L : y=-2 ,及圆 C: χ1 2 3+(y-3)2 =1 O
H (X 2, y 2)两点，求证： X 1X 2为定
值； A B,要使四边形 PACB 的面积S 最
小，求
若动点M 到点F 的距离比它到直线 过点F 的直线g 交轨迹E 于G( X 1,
过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线，切点为 点P 的坐标及S 的最小值。

X -15 -10 10 15
(2) 若OP OQ =0 ,求直线PQ 的方程;
(1) (2) (3)
L 的距离小1,求动点M 的轨迹E 的方程; yj 、
2
4. 以椭圆—y2= 1 (a> 1)短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试
a
1 2 n _1
a n = f(0)+ f(—) f(—)…f(--) n n n ⅛n !是等差数列吗？请给予证明；+ f(1),数列-y
判断并推证能作出多少个符合条件的三角形
_ 2 __________________________________________ ________
5 已知，二次函数f (X)= ax + bx+ C 及一次函数g (X) =- bx,其中a、b、c∈R, a>b >c, a+ b+
C = 0.
(I)求证：f (X)及g (x)两曲数團象杞爻于旅!异两点;
(∏)设f (X )、g (x)两图象交于A B两点，当AB线段在X轴上射影为AB时，试求I AB l 的取值范围•
6已知过函数f (X) =x3 ax21的图象上一点B (1, b)的切线的斜率为一3。

(1)求a、b的值；
(2)求A的取值范围，使不等式f (X)≤A- 1987对于X ∈［—1, 4］恒成立；
(3)令g - f X - 3X2 tx 1。

是否存在一个实数t ,使得当X • (0,1］时，g (X)有
最大值1 ?
7已知两点M(—2, 0),N( 2, 0),动点P在y轴上的射影为H,∣ PH丨是2和PM卩N 的等比中项。

(1)求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
(2)若以点M N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程。

a2+ a2、a — a
&已知数列｛a n｝满足a1=3a(a 0),a n I n,设b n—
2a n a r l+ a
(1)求数列｛b n｝的通项公式；
(2)设数列｛b n｝的前项和为S,试比较S与—的大小，并证明你的结论.
8
9.已知焦点在X轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,∙∙.2)为
圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.
(I)求双曲线C的方程；
(∏)设直线y =mx ∙1与双曲线C的左支交于A, B两点，另一直线I经过M(-2 , 0) 及AB的中点，求直线I在y轴上的截距b的取值范围；
(川)若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引.F1QF2 的平分线的垂线，垂足为N,试求点N的轨迹方程.
1
10. f (X)对任意X R都有f(x) f(1-x) •
2
1 In-I
(I)求f (―)和f(—) ∙ f( ) (n y N)的值.
2 n n
( ∏) 数列'a√ 满足
试比较T n 与S n 的大小•
11.:如图，设 OA OB 是过抛物线y 2
= 2px 顶点O 的两条弦，且OA∙ →B= 0 ,求以OA OB 为 直径的
两圆的另一个交点 P 的轨迹.(13分)
_ 2 2
12.知函数 f (x ) = log 3( x - 2mx÷ 2m + (1) 求实数m 的取值集合M
(2) 求证：对m ∈ M 所确定的所有函数f (X )中，其函数值最小的一个是 2,并求使函数值等于 2
的m 的值和X 的值.
13.设关于X 的方程2x 2
-tx-2=0的两根为:■, ：(：£•『■),函数f(x)= —-.
X +1
(1). 求 f(「)和f( ■)的值。

(2) 。

证明:f(x)在［α,0］上是增函数。

(3)。

对任意正数 X 1、X 2,求证：f 严 UP ) _ f (X " +%2口)期口 _P|
X 1 +X 2 X 1 +X 2
1— •已知数列｛a n ｝各项均为正数，S 为其前n 项的和.对于任意的n∙ N * ,都有
2
—S
n ^ a
n
1
.
I 、 求数列订鳥的通项公式.
II 、 若2n --S n 对于任意的n∙ N *恒成立，求实数-的最大值.
15.( 12 分)已知点H(— 3, 0),点P 在y 轴上，点Q 在X 轴的正半轴上，点 M 在直线PQ 上,
3 ----
且满足 HP ∙ PM =0, PM =— MQ
2 ，
(1) 当点P 在y 轴上移动时，求点 M 的轨迹C ;
(2) 过点T (— 1, 0)作直线I 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在X 轴上存在一点E(X o ,O ),使 得厶
ABE 为等边三角形，求 X o 的值.
16. ( 1—分)设 f 1(x )= —,定义 f n+1 ( x )=f 1 : f n (χ)] , a n =
(O)-I
,其中 ∏∈ N *
.
1+x
f n (0)+2
(1)求数列｛ a n ｝的通项公式;
b n
L"n
'b n
, S
n
16
=32 -一
n 2θ 3)的定义域为R
T T TLT T 一 T
17.已知 a =
(x,0 ), b = (1, y ), ( a + J3 b )丄(a - √3 b ).
(I )求点? (X , y )的轨迹C 的方程；
试求m 的取值范围.
已知函数 f(x)=log a x(a ■ 0且a=1),若数列：2, f (a 1), f (a 2),…,
f(a n ),2n 4(n ∙ N “)成等差数列.
(1) 求数列｛a n ｝的通项a n ；
(2) 若0 ：：： a ：：： 1,数列｛ a n ｝的前n 项和为S I ,求lim S n ；
n —Je
(3) 若a=2,令b n =a n ∙f(a n ),对任意n∙ N I 都有b n ∙f^l (t),求实数t 的取值范围
20.已知△ OFQ 的面积为2 6,且OF ∙FQ =m.
(1) 设• 6 ：：： m ：：：4.6,求向量
OF 与FQ 的夹角正切值的取值范围；
(2) 设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点 Q (如图)，QF |= c,m = (—6-1)c 2,
，
4
当|0Q |取得最小值时，求此双曲线的方程
•
(3)
设F I
为(2)中所求双曲线的左焦点，若 A B 分别为此双曲线渐近线
丨1、∣2上的动
若 T 2n =a+2a 2+3a 3+∙∙∙ +2na 2n ,Q =
2
4n M 2
4n 4n 1
,其中n ∈ N,试比较9T 2n 与Q 的大小.
(II )
若直线L ： y=kx+m(m⅛0)与曲线 C 交于A 、B 两点，D(0, - 1),且有 IADI=IBDl
18. 已知函数f (X)对任意实数p 、q 都满足
1
f(Pq T
(P) f(q),
且 口叫.
(1)
n ∙ N .时，求 f (n)的表达式;
(2)
a n = nf(n) (n N ),求证:
(3)
b n f
^ n
f(n)
(n N ), S n
n n
1 =、b k ,试比较a 丄与6的大小.
k Λ
k 3
S k
19.
点，且2|AB|=5|F汗| ,求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
21、已知函数f(χ) =3χ2 ∙ bx 1是偶函数，g(x) =5x C 是奇函数，正数数列<aj 满足
2 a r l =1,f(a n ■ an i )-g(a n 2n ■ an )=1
①求Ia n ?的通项公式；
②若⅛n ｛的前n 项和为S n ,求Iim S n .
n —JpC
3 1
22、 直角梯形 ABCD 中∠ DAB= 90°, AD// BQ AB= 2, AD=?, BC=丄.椭圆 C 以 A 、B 为焦
2 2
点且经过点D.
(1) 建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程；
一 1 -
(2) 若点E 满足EC AB ,问是否存在不平行 AB 的直线I 与椭圆C 交于M N 两点且
2
|ME I=INE I ,若存在，求出直线I 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由.
1
23、 .设函数 f(χ)
χ
1
I
4 +2
(1) 求证：对一切 x∙ R ) f (x) f (^ x)为定值；
1
2
n — 1 (2) 记 a n = f (0) f( ) f ( ) - - f (
) ■ f (1) (n N*),求数列｛a .｝的通
n n
n
项公式及前n 项和.
24. 已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数.当X_0时，f(χ) =—〒
X 2 +χ+1
(I) 求当X<0时，f (x)的解析式；
(II)
试确定函数y = f(χ) (X -0)在1「：：的单调性，并证明你的结论 .
(III) 若 X 1 - 2且 X 2 - 2 ,证明：I f(xj — f (Χ2)∣<2.
25、已知抛物线y2 =4x的准线与X轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A B两点，若线段AB 的垂直平分线与X轴交于DX),0)
⑴求X o的取值范围。

⑵厶ABD能否是正三角形？若能求出X o的值，若不能，说明理由。

26、已知□ ABCD A(-2，0)，B(2，0)，且∣ ADl =2
⑴求□ ABCD寸角线交点E的轨迹方程。

8
⑵过A作直线交以A B为焦点的椭圆于M N两点，且∣ MN =-√2，MN勺中点到Y轴的距
3
4
离为4,求椭圆的方程。

3
⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P Q两点，求l PQl的最大值及此时I的方程。

完美WoRD格式
2
27. (14分)(理)已知椭圆—y2 =1(a 1),直线l过点A (- a, 0)和点B(a, ta) a
(t > 0)交椭圆于M.直线MC交椭圆于N. (1)用a, t表示△ AMN勺面积S;
(2)若t ∈[1 , 2] , a为定值，求S的最大值.
ZK y
28•已知函数f(x)= —I的图象过原点，且关于点(-1 , 1)成中心对称•
(1)求函数f (X)的解析式；
(2)若数列｛a n｝(n∈N*)满足：a n>0, aι=1, a∏+ι= [f C θn)]
2,求数列｛a
∏｝的通
项公式a∏ ,并证明你的结论•
30、已知点集L =｛(x, y) ∣y = m n｝,其中m =(2x_b,1), n = (1, b 1),点列P∏(a∏,b∏)在L 中，P1为L与y轴的交点，等差数列｛a n｝的公差为1，n∙ N .。

(1)求数列｛a n｝，｛b n｝的通项公式;
(2)若C n (n_2),求Iim(G C227Q∏)；
n 4 RP n I n→c
卄3n( n= 2k—1)
(3)若f(n)=丿(k^ N』,是否存在N 4使得f (k+11) = 2f (k),若存
Pn (n = 2k)
在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

21.经过抛物线y2=4x的焦点F的直线I与该抛物线交于A、B两点• (12分)
(1)若线段AB的中点为M(x,y),直线的斜率为k ,试求点M的坐标，并求点M的轨迹方程
N
完美WoRD格式
1
(2)若直线I的斜率k 2,且点M到直线3x 4y ^0的距离为1
,试确定m的取值范
5
围•
2 2
1（I ）
解：由题意，可设椭圆的方程为£91（」2）。

-2 2
a -C 2,
] a 2 解得 a = ^6, c=2
c 二2( c).
C
所以椭圆的方程为 — y 1 ,离心率e=-。

6 2 3
（2）解：由（1）可得 A （ 3，0）。

-2 2
XL^=I
设直线PQ 的方程为y =k(x -3)。

由方程组 6
2 ,
[y =k(x —3)
得(3k 2 1)x 2 - 18k 2x 27k 2 - 6 =0 ,依题意.;=12(2-3k 2) . 0,得 -：：k ：： 3
、八
18k 2
Q
27k 2—6
设 P (X 1, yj, Q(X 2, y 2),则
x 1 x 2
2
，
①
X 1X 2
—
3k +1 3k +1
由直线PQ 的方程得y 1 =k （x 1 -3）, y 2 =k （x 2 -3）。

于是
y 1y 2 =k 2(x 1 -3)(x 2 -3) =k 2[x 1x 2 -3(x 1 x 2) 9]。

T OP OQ =0 ,∙∙. x 1x 2 y 1y 2 =0。

④
所以直线PQ 的方程为x — ..5y _3=0或x ,5y -3=0
（3 ,理工类考生做）证明： A P=(x 1 -3, y 1), "A5 = (X 2-3, y 2)。

由已知得方程组
X —3 = ∕u(x 2 —3),
y
1
=入 y 2 ,
2 2
」卷+吐=1
6 2 ,
2 2
乞+生=1
.6 2 .
5 ■ _1
注意，.1 ,解得×2
4 2λ
因 F (2, 0),M(X 1, -y 1),故
1 — ， ■ -1
4 而 FQ =(X^-2, y 2) =(
,
y 2),所以 FM=- FQ 。

2扎
由已知得 .6 3
由①②③④得5k 2 =1 ,从而k 5
5
O
F M=(x1 -2, - y1) = ( ' (x2 _3) 1 , ^ y1 ) -(-~ ,- y1) = (一 ,y2)。

2 2扎
2 ①f(x)= x —2k —1 (2k W X W 2k+2, k ∈Z ) ②略 ⑶方程在［1 , 4］上有4个实根
3 ① χ2=4y
②X ιX 2=-4 ⑶P( ± 2,1)
S
MINF -.
7
4 .解：因a > 1,不防设短轴一端点为
B( 0,1)
设 BC ： y = kx + 1 ( k >0)
1
则 AB ： y =——X + 1
k
把BC 方-
是(1 + a 2
k 2
) X 2
+ 2a 2
kx = 0
由 | AB = |BC ，得 k 3
— a 2
k 2
+ ka 2
- 1 = 0
2 2
(k — 1) : k +(1 — a ) k + 1］= 0 .k = 1 或 k 2
+( 1 — a 2
) k + 1= 0
当 k 2
+( 1 — a 2
) k + 1 = 0 时，Δ =( a 2
- 1) 2
- 4
由Δv 0 ,得 1V a V , 3 由 Δ = 0 ,得 a =
3 ,此时，k = 1
故，由 Δ ≤ 0,即卩 1 V a ≤3 -浮 由Δ> 0即a > . 3时有三解 5 解：依题意，知 a 、b ≠ 0
■/
a >
b > C 且 a + b + C = 0
.a > 0 且 C V 0
(I)令 f (X )= g (Xt
得 ax 2
+ 2bx + C = 0. (*)
Δ = 4 (b 2
— ac )
■/a >0, C V 0, . ac v 0,. Δ >0 .f (x )、g (X )相交于相异两点
(∏)设X 1、X 2为交点A B 之橫坐有； 则|AB | = | X 1 — X 2∣ ,由方程(*),和
2 2
IA B l
2_4b _4ac 4(a C) _4ac
I AB I
=
2 = 2
a
a
4
2
(a 2 c 2 ac) a
=4 (C )2 C
1 (**)
-a a
2a 2k 1 a 2k 2
同理 I AB = . 1 k 2
2a 2 k 2 a 2
.∙. I B C =
a b c = 0 十
=2a C 0，而a> 0, a b 列表如下：C -2 a
a b c = 0 C ：： b 二a 2c ：：0 ,「• ∙c J
a 2
1
< -
2
C 2 C
∙∙∙4 [( — ) + + 1]∈( 3, 12)
a a
∙∙∙∣AB∣ ∈( ∙√3 , 2√3 )
6、解：(1) f' X =3x22ax
依题意得k= f 1 =3+2a=- 3, ∙ a=—
3
3 2
f X =X -3x 1 ,把B (1, b)代入得b= f 1 - -1
∙∙ a= —3, b= —1
(2)令f ' X =3x2—6x=0 得x=0 或x=2
3 2
∙∙∙ f ( 0) =1, f (2) =2 —3× 2 + 仁一3
f (—1) =—3, f (4) =17
∙x∈[ — 1 , 4] , —3≤f (X)≤17
要使f (X )≤A—1987对于X ∈[ —1, 4]恒成立，则f (x)的最大值
∙A≥2004。

17 ≤A- 1987 (1) 已知g (X) =—X3 -3X2 1 - 3x2 tx 1 - -X3 tx
' 2
∙g x - -3χt
2
• 0v x≤ 1 ,∙ • —3 ≤ —3x V 0,
①当t >3 时，t —3x2>0,即g' X ■ 0
∙g ( x)在(0.1]上为增函数，
g (X)的最大值g (1) =t —仁1,得t=2 (不合题意，舍去)
②当0≤t≤3 时，g' X =-3X2 t
令g' X =0,得X=
• ∙ X=
③当 t V 0 时，g ' X A —3x 2 t V 0 g
• g (x )在(0.1］上为增函数, ∙存在一个a=HZ ,使g (X )在(0.1］上有最大值1。

2
7、解：(1)设动点的坐标为 P (X,y ),则 H (0,y ) , PH =[-x,0 , PM = (— 2 — X, — y )
T
PN = (2 — X, — y )
r
“
2
2
• PM ∙ PN = (— 2— X, — y ) • ( 2 — X, — y ) = X -4 y
→
PH
=
X
—f T
由题意得 ∣ PH ∣ 2=2 ∙ PM ∙ PN 即 X 2 =2χ2 -4 y 2
2 2
即— =1 ,所求点P 的轨迹为椭圆
8 4
(2)由已知求得 N (2, 0)关于直线x+y=1的对称点E (1, — 1),贝Z QEl = ∣ QNl
双曲线的C 实轴长2a=∣∣QM —QN|| =IlQM — QE ∣ ≤∣ME = J10 (当且仅当 Q E 、M 共线时
取“=”，此时，实轴长2a 最大为JiB
、t 处取最大值—
3
t
=1
g (X )在 X= • t= 3 27 =左 V
\ 4
2
；33
(X )在(0.1］上为减函数,
/10
所以，双曲线 C 的实半轴长a=_!°
2
1 1 1 1 1 1 1
8
,
(
4 4 2 ■)-
2 2 8 16 2 2 2 2
y = mx +1
2
2
2
2 得
(1-m )x -2mx-2 = 0 .
X -y =1
令 f(x) =(1-m 2)χ2 -2mx-2
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程
f(x)=0在(-Q ,0)上有两个不等实根.
-2
^ <0 解得 1 <^√2 . 1 -m 2
J -m 2
又AB 中点为,
1 -m 1 -m
1
•直线l 的方程为y = ---------- 討 ------ (X 2) ....... ........
m m 2
2 2
令χ=o ,得b =
m m 2
-2(^1)2 . 17
4 8
∙∙∙ m (1,、2),
一 T 2 i 如
又：C = I l NM 2 = 2,. b 2 2 2
=C -a
•••双曲线C 的方程式为
2 X ^5
2
y_ =I 3
9•解：(I)设双曲线 •••该直线与圆X 2 •双曲线C 的两条渐近线方程为 y= ± X •
2 故设双曲线C 的方程为务 a
又双曲线C 的一个焦点为 • 2a? = 2 , a =1 • •双曲线C 的方程
为X 2
- y
C 的渐近线方程为 y=kx ，贝U kx-y=0
Q -
2)2 = 1 相切，
2 L _1
2
a
C20)
2
=1
1
-i⅛ J =O 1」8
2
因此
.∙. b 三(-：：,-2 —
2) (2,
：：
) .•… (川)若Q 在双曲线的右支上，则延长 若Q 在双曲线的左支上，则在 根据双曲线的定义∣
TF 2 I= 2, 的轨迹方程是 (x — . 2)2 y 2 =4(x =0)
QF 2 到 T 使 IQT I=IQF I |, QF ?上取一点 T 使 | QT |=|QF 1 | . 所以点T 在以F 2('.2,O)为圆心，2为半径的圆上，即点 T 10分 由于点N 是线段F 1T 的中点，设N(x,y) , T(X T ,y τ). X T _血 X = ------------- 则彳 2 ,即」 y 2 X T = 2x …；
2 y τ =2y 代入①并整理得点 N 的轨迹方程为χ2亠y 2 = 1 . (X 2) 2
1、 1 2' 2
n -1 12分
1
1 III
f(;) f(1 一二)=f(=) f(二厂
2 2 1 _ 2 1 n — 1
f(0) f( ) f( )
f(1)
n n n — 1 1 -f(1) f ( )——f ( ) f (0)……
n n 10解：(I)因为
1 令X ,得f
n
又a n
两式相加
2a n 2 1 1 1
1 ㈠ f(1-) H ,即 f(—) f(
n n 2
n
n
1 1 所
以f (―)=
2 4
1
-2 • ∙∙∙∙∙∙
所以 1
[f (0) f(1)] [f( ) f (
n
n
n 「1
n 1
—)][f(1) f(O
r
n +1 - M
a n ,n
N , ..............
4
n 11 n 1
又 a
n 1 ^ a
n 4 4 4
(川)b n
4a n -1 n
T n 七 b ； b ；
= 16(1 丄 2 」
22 32 1 1 <16[1 1汇2 2汇3
1 1 = 16[1 (^-)(-
2 2
1 16 -16(
2 ) =32 S n
n n
所以T n 乞S n.............................................
11.设直线OA 的斜率为k ,显然k 存在且不等于0
则OA 的方程为y = kx 2) n 1
—•故数列｛a n ｝是等差数列.
4
+■…+ n(n -1)
1 1 1 — -)]
3 n -1 n 10分
12分
14分
⅛{y2=Ik X 解得A(I P, 2p)
y = 2px k k
1
又由，知OALOB所以OB的方程为y =—讣
K
I r1
由丫k 解得B(2 pk2, —2pk) y2=
2pχ
从而OA的中点为A'( k!, K), 2
OB的中点为B'( Pk，—Pk)所以，以OA OB为直径的圆的方程分别为
PX 2py C
x+ y—疋—！T=0
X2+ y2—2pk2χ + 2pky =
0 ∙.∙ P(X, y)是异于O点的两圆交点，所以X ≠ 0, y≠ 0
1
由①一②并化简得y= ( k—-)X
K
21
将③代入①，并化简得X(k + 1) = 2p ……④
由③④消去k,有X2+ y2—2pX= 0
•••点P的轨迹为以(p, 0)为圆心，P为半径的圆(除去原点).
2 2 9
12. (1)由题意，有X —2mX÷2m+ —^>0对任意的X∈ R恒成立m—
3
2 2 9
所以△= 4m —4(2 m+ 2~;) V 0 m—3
29
即一m—_-V0 m—34分
4分6分
10分13分
(∩2—2)2+ 27
2
m—
3
由于分子恒大于0,只需m—3>0即可所以πκ—. 3或m> 3
• M= {m∩V—13 或m> 13}
⑵ X2—2mx+ 2m+
9
^^2-
m—
3
=(x—m2+ m+ m
9
3≥m+
m—3
当且仅当X = m时等号成立•
所以，题设对数函数的真数的最小值为又因为以3为底的对数函数为增函数
2 9
• f(X) ≥∣0g3(m+ ) m+
9
2
m—
3
•当且仅当X = mm€ M时，f (X)有最小值为Iog3(m+帚匕)4分7分10分
又当m∈M时，m—3> 0
2
9
2
9
/ 2
9
• ∙ m + ~ = m — 3 +
+ 3≥ 2 ( m — 3) •—2 + 3 = 9
m — 3 m —
m — 3
2
9 L
当且仅当m — 3=吊—,即m=±∙. 6时，
2
9 + 9
∣0g 3(m + m —3)有取小值 Iog 3(6 + θ-3) = Iog 39 = 2
.∙.当X = m=± 6时，其函数有最小值 2.
13.解析：（1 ）。

，由根与系数的关系得， α+0 =丄心0=_1.
2
同法得 f( J =-1(.t 2 16 -t).
2
2
/
4(x
■ 1) - (4x - t)2x - 2(2x …tx - 2)
⑵. 证明： f (X)=
2
2
2
2
,而当 x∙[〉，-]时,
(x 2
+1)2
(x 2
+1)2
2x
2
-tx-2=2(x- : )(x - J _0,故当 X [:,訂时，f lx) ≥0,
. 函数f(x) 在[ :•,訂上是增函数。

(3)。

证明：X d+X 2p “=X 2(PW o,X QUP 邙= X 2-P )",
x 1
+x 2
x 1
+x 2
x 1
+ x 2
x 1
+x 2
x 1
α + x 2
β Q 又f( - ) ■ f (— ―) ■■■ f (:).两式相加得
X 1 +X 2
X 1M " X^- ,X 1
“ ' X 2
:■
-[f( ：) —f C )] ：： f( 1
—f(
1
2
厂：f C) 一 f(:),
X 1
X 2
X 1
X 2
,x 1α+x 2 P 、 ，x 1P+x 2cf ∖ ZRX Z X
即 f( ---------- )—f( -------------- ) £ f (E ) — f (α).
X 1 +X 2 X 1 +X 2
而由(1), f( α) =
_2片 f (0) = —2G 且 f( B ) - f
(α)=∣ f (B ) - f (Ct )
4:一 -2（、；
'『■）
≡--(^ ,t 2
16).
2
X 1 P + X 2G
.fC ) M(
x 1
亠)：
X 1 +X 2
：：f (-),故一 f ( -) ：：： -f(
) < -fC ).
X 1 +χ2
χ1α +χ2
P
.∖α < -----------------------
X 1
X 2
同理-八X2=：.
X 1
+x 2
完美WoRD 格式
2
4S = 4a 〔 = (a 〔 1) , = 1.
X I m ：；'x 2 : f(J T-f (
X 1 L X 2: X 1 X 2 X 1 X 2
14(I)
2 2
时，4a f l=4q 一4乩=% 1 - 寺」1 ,
.2 a n ■ an j=a n2-a n/,又{a n}各项均为正数，.a^3nj =2.数列Gni是等差数列
a n — 2n -1.
(Il) S n = n2,若2n_tS n对于任意的n ∙N*恒成立，则min 22.令b^ ,.当
l n J n
∙. min{b n} = mi n [2Γ[=8∙;
I n J 9
15. (1)设点M的坐标为(x,y), 由PM 3 1y X
=—MQ,得P(0, —), Q—,0),
2 2 3
2分
由HP ∙PM =0,得(3, -Y) (X,3y2
)=0,又得y =4x, 5 分
22
由点Q在X轴的正半轴上，得χ> 0,
所以，动点M的轨迹C是以(0, 0)为顶点，以(1，0)为焦点的抛物线，除去原点• 6分(2)设直线l:y=k(x+1),其中k≠ 0,代入y2=4x,得k2χ2+2( k2- 2)x+k2=0,①7 分设A (X1,y1) , B(x2, y2),
2 — k 22
所以，线段AB的中点坐标为(2 2^ , ±),
k2k
2 1 2 _ k2
线段AB的垂直平分线方程为y—— =- - (X ———), k k k2
2 2
令y=0, X0=-7+1,所以点E的坐标为(一7+1,0)
k2k2
因为△ ABE为正三角形，所以点E (右+1
,°)到直线AB的距离等于于1 ABl
而1 AB I = '.(X1 -^X2)$ ■ (y^1 -■ y2)$
2
4 1一k∙ / k?,
k2
所以，亠土/ (2)
k2Ikl
解得k=±子，得x0=f.10分
11分
12分
n _3 时b∣ 1
b n
2n2
(n 1)2
n2(n _1)n n
2
n 2n 1
Q
又b1 = 2,匕2=1,匕3=—
9 t的最大值是
8
∙
9
则X1,X2是方程①的两个实根, X1+X2=—2(k2 -2)
k2
,X1X2=1,
2 _1 16. (1) f 1(0)=2, a 1= 2十2
=1, f n+1(0)= f 1
: f n (0)]=
4
2 1 f n (O)
-1
=1- f n (O) =一 1
— 2
a = f n 1
(0) -1 = 1 f n (0) a n +1=
=—
f n1(0)
2
2
2 4 2f n (0)
1 + f n (0)
•数列｛ a n ｝是首项为1,公比为一丄的等比数列，•••
4
2
(2) T 2n =a 1+2a 2+3a 3+∙∙∙ +(2 n — 1)a 2n —计2na 2n ,
III
1
1
—丄T 2n =( — a 1)+( —
)2 a 2+( — )3a 3+∙∙∙+( —
)(2 2 2 2 2 -
=az+2a 3+∙∙∙ +(2 n — 1) a 2n — na ?n , 3
两式相减得一 T 2n =a 1+a 2+a 3+∙∙∙ +a 2n +na 2n ,
2
U)2n 所以，"n' S
2 1
1
2 1 , 1、2n n , 1、2n — 1 1 Iji
-(—-)+ —(
— -)
=—(1
9 2 6
2
9
+n × 1(— 4
1 . 2n — 1 1
-)=- 2 6
T 2n =l — 9
3n I ) 22n
).
Q=I —
3n 1 (2n 1)2
时，22n
=4,(2 n +1)2
=9, ∙ 9T an < Q ; 当n =1 当 n =2 时，22n
=16,(2 n +1) 2
=25, ∙ 9Tm < Q ;
13分 当 n ≥3 时，22n = [(1+1) ： 2 =(C 0+C 1+c 2 + ∙∙∙ +4)2>(2 n +1)2, ∙ 9Tm >Q n . 17•解(I ) a + 3 b = (x,0 ) + ■■ 3 (1,y)=(x+ (X, 0 ) T 厂T T 厂T
y)∙ ( a +、3 b ) _( a - 3 b ), f n (0) -1 = f n (0)
2
1
n — 1) a 2n —1+( 一 ) 2 3, 3 —√3
T 厂T T 厂T 厂
(a +、3 b ) •( a -I <∙3 b )=0,
(x+
3 )( X 2
故P 点的轨迹方程为—- y 2 = 1
3
•
2naz n
Z 1、2n n , 1 (—-)+—(—-
2
4
2 • ∙
9T 2n =1
y),
(1,y)=
)2n —1
3n 1
22门
14
10
12
(X
—⅛'3 )+ 3 y •( - ：. 3 y)=0,
(6分)
■■
3
6
1
n
(3)解由(1)可知 b n
n∙ ∙ S n - b k
3
心
1
匚(1 +
2
W
n
)
n(n 1)
将D(0, - 1)坐标代入，化简得 4m=3k 2_1,
故m k 满足 m 1 ^k 0,消去k 2
得m 2_4m>0,解得m<0或m>4. [4m=3k 2 -1,
1 n
⑵证明
由⑴可 知a n = n •(—)n ,设T n 八∙ a k
3 k 二
则T n =1^ 2 (£)2 川 n (1)n .
(II )考虑方程组
V ^
kX m,
消去 y ,得(1 - 3k 2
) χ2
-6kmx-3m 2-3=0
(*)
X 2彳 τ^y
,
2 2 2 2 2 2
显然 1-3k ≠0, A=(6km) -4(1-3k )(-3m -3)=12(m +1-3k )>0. 设X 1,X 2为方程*的两根，则X 1+X 2= 6km , X o =
2
1「3k 2
X χ
2
3km
, V o =kx o +m= m ,
2"
,
1「3k
Z 1_3k
故AB 中点M 的坐标为(3km
1 _3k
m
1 -3k 2
.线段AB 的垂直平分线方程为
y —(--
1 -3k 2
k
3km
(
XU ),
2
又丁 4m=3k _1> _1,
1 1
m
r 故
m (
「
,
0) (4,+ :
「.
2分)
18. (1)解由已知得f(n)
1 1 O
=f(n — 1) f(1)
f(n —1) = ( )2 f(n — 2) =Hl
.(1)n <f(1^(1)n .
(4 分)
.3
T
n=「(亍
2
(y 川-1 f
n
n (1)n1
1
∖
2
1
∖
3
1
n
I X
nI (3)
(3)+∙∙∙F -n (S )
-诗1
, T
n 八
a k
k Zi
.3_1(1)n,_n 1)^：：3 . 4 4 3 2 3 4 (9分)
19. (1) 2n 4 =2 (n 2 —1)d,. d =2,. f (a l ) =2 (n 1 —1) 2 = 2n 2, a l = a 2n '2
I 2(x 1「x 2)2 (y 1「y 2)2
=5 2c =40则丄=
S l
6 n(n 1)
6(- n
),
故有J 丄=6(1
yS k 2 2
1
「1)=
6 (I
h 6
•
(14分)
(2) Iim S n
n ：■
4
2n 、
l . a (1 —a ) =Iim 2—
n 厂 1 -a
4 a
2
.
1 - a
(3) b n = a n f (a n ) =(2 n 2)a 2n2 =(2 n 2) 22n 2 =( n 1) 22n '3. b n 1 _ n 2
b n n 1 b
n 1 ' b n
.
.{b n }为递增数列
.b n 中最小项为 b 1 =2 ∙25 =26, f '(t) =2t ,
26 ∙2t ,. t ：： 6.
20. (1)
1
IOF l IFQlSin(二2. 6
IOF l | FQ | COST - m
.tan V - 4-6
. 6 ：： m ：： 4.6 1
tanr ：： 4.
一 ：r ：：：
arctan4.
(2)设所求的双曲线方程为
2 2
X y 2
2=
1(a 0,b O),Q(x 1,yJ,则 FQ =(X I - c,yj
a b
S OFQ =1|OF | |y 1 F 2 ∙ 6,∙ y^ -- 6
2
C
又由 OF FQ= (C ,0) (x 1 - C, y 1)=
J
yJ 6
2
(x 1 - C) C =1)C ,
X 1
、6
C,
4
l OQ I=
. X 1
y
1
9
6 3C ^ 12. C 2 8
当且仅当C =4时,
|OQ |最小 此时 Q 的坐标为(ι6, ∙∙∖6)或('.(,-W)
(3)设 W 1
b 2 =16
2
a b 2 -4 =12
2 2
X y
■所求方程为
1.
4 12
A(X 1,y 1),B(X 2,y 2) ∣1
的方程为
= 3x, I 2的方程为y = - . 3x 则有y 1 = 3x 1①
申2 二--3X 2 ②
2 I AB 戶5| FF 1
∖ (
x
i f x 2
)
(
y
i f y 2
)二 20
③设 M
(x ,
y)由①②得
y
ι
y
2 =
3(
x
i -X 2
)
- Y^= ■.3(X i X 2)∙ 2y = ∙.3(X ι - x ?), _
=
2/3x
焦点在y 轴上的椭圆
解：(1) ； f(x)为偶函数 .f(-x) = f(x) . b=0
f(x)=3χ2∙1
g(x)为奇函数 g(-x)=「g(x) . C =O g(x) =5x
2
2
2
f(a n 1
a n ) —g@n
1 a n
a n
) =3(%.1
a n )
1 -5(a n
1
a n
a n ) =1
2
2
■ 3a
n 1 ■ an 1 a n
-2a rl =0
61 a n )(3a n 1 - 2a .) = 0
2 2
设椭圆方程为：x ^
^7 = 1
a b 300 100
的轨迹为
21、 a
n 1
.{a n }是以a n =1为首项，公比为
-的等比数列.a n
3
=(鈔
22、 0), 1
（2） Iim S n 3 1一2 3
如图，以AB 所在直线为
n )::
解析：（1） B
y 轴建立直角坐标系， =A （ -1，
令 X=C =
y 。

b 2
C
C =1
A J
b = 3 = Ja 一2
y 1 - y? =2 ∙.. 3x 代入③得 (
2
：.— 2
)(2.3x)
= 400
X 轴，AB 中垂线为
I 与AB 的夹角的范围是（0 , 5].
4
1 1 n _ 1 1
2 n _ 2
1
⑵由
(1)
知
f(0) f (
I)
W f G f (〒匕，七)f (=)r
1
…,f(1) f(0)石.
将上述n V 个式子相加得2a n =丄-,a n =n -.
2
4
（2）函数y =f （x ） （X -0）在是增函数；（证明略） (3)因为函数 y =f(x)(X-0)在 1,
5
1 n +3 S n =丄［
2
3
4 (n 1)H-
n
4
4
2
23、(1
) f (χ) f (1 —x)
1 4x
2
1 4x
2 4x
4 2 4x
(6)
24、( 1) 当 X<0 时,
f(x)=
7x
X 2 - X 1 (3 分) 2 2
椭圆C 的方程是：—-L =I
4 3
— 1 — 1
(2) EC AB= E(O , -) , l 丄AB 时不符，
2 2
设 I : y = kx + m (k ≠ 0)
y = kx m
由 《 χ2 y 2 n (3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12 = 0 一+乙=1
L .4
3 M N 存在=
.0= 64k 2m 2 -4(3 4k 2) (4m 2 -12) .0= 4k 2 3 丄 m 2
设 M （ X 1，y 1），N （ X 2，y 2），MN 的 中点 F （ X 。

，y ）
X 2 2
4km
2
，
3m 3 4k 2
1 y
^ 2 1 IMEl=I NE = MN _ EF ———2
一 —
X k
3m 1 3 4k 2 2 4km ^ 3 4k 2
1 3 4k
2 m --
k
2
2
∙∙∙ 4k 2
3 _(
3 4k 2 2
)2
2 2
∙ 4k 2 3_4 ∙ 0 < k _ 1
n(n 3) _ 8
(10)
(12)
(9分)
是增函数，由x — 2得f(x)-f (2)=-2 ；
7x
又因为 X 2 x 1
0,-7^：： 0 ,所以—r
0 ,所以 -2 空 f(x) ：：：0 ;
X 2 +x+1
因为 X i , X 2 0 ,所以一2 三 f (x ι) ：：： 0 ,且一2 三 f (X 2) ：：： 0 ,即 0 ：：： f (X 2)込 2 ,
所以,-2 ≤ f(x ι) - f(x 2) ≤ 2 即 | f(x 1) - f(x 2)∣<2.
25、解：⑴由题意易得 M -1,0)
设过点M 的直线方程为y = k(x ∙ 1)(k =0)代入y 2 =4x 得
k 2x 2 (2k 2 _4)x k 2 = 0
再设A(X ι,y ι), B(X 2,y 2)
4
y ι + y 2=k(x 1+1)+k(x 2+1)=k( X 1 + X 2)+2k = - k
2
2 1 , 2 - k 、入 ZH 2 ),令y = 0得 k 2
(14 分)
2
贝 9χi + X 2=
4 2k
O , X ι ∙ X 2= 1 k 2
• AB 的中点坐标为(
^k 2
k 2 ,
k )
那么线段AE 的垂直平分线方程为
y
(X 一
k 2 2
k 2
2 .、 _ 2
X 二〒，即 x0=p=1F
又方程(1)中厶=(2k 2 -4)2 -4k 4
0, 0 . k 2
：：1, 22
2,
x 0
3
⑵若△ ABD 是正三角形，则需点 D 到AB 的距离等于 3
2
AB
AB 2
=(1+k 2
)(X 1 —X 2)2
=(1+k 2
)(x 1 +x 2)2
—4χ1X2L
16(I
+ k )(I —k )
k 4
点到AB 的距离d=
k 2 2
k
k
k 2 2k 2 2 2.1 k 2
d k 2
kd k 2
据J 2=3AB 2得: 4⅛ = 3'血亠
k 2 4 k 4
∙∙∙ 4k 4 k 2 -3=0,(k 2 1)(4k 2 -3)=0 k 2
3
,满足 0 k 2
< 1
4
8
26、解：⑴设 E (x , y ) , D(χo , y o )
∙.∙ ABCI 是平行四边形，∙∙∙ AB ■ AD =2AE ,
••( 4, 0) + (χo +2, y o ) =2 (x+2, y )∙( χo +6, y o ) =(2x+4 , 2y)
x 0 + 6 = 2x + 4
x 0 = 2x - 2 J
~\ ■<
$0 =2y
y =2y
又 AD =2,二(X 。

+2)2 +y °2 =4,.∙. (2x —2 + 2)2 + (2y)2 = 4 即：X 2 y 2
=1
∙∙∙□ ABCD 寸角线交点E 的轨迹方程为x 2 y 2 =1
设 M (X 1, y 1), N (x 2 , y 2)则
• (1 k 2
)(坐-
32 4
a 2
) =
128
9
3 3
9
以A 、B 为焦点的椭圆的焦距
2C =4
,
则 C =2
2 2
2
2
设椭圆方程为
x 2 y
2
1
,
即 X 2
+ 27 1
..........
..... (*)
a
b
a a -4
将y =k(x 2)代入(*)得
2
X
2 k + 2
(χ 2
2)2 =I
a
a -4
⑵设过A 的直线方程为y = k(x ■ 2) 4a 2 = 0 -a 4
即(a 2 a 2k 2 -4)χ2 4a 2k 2x 4a 2k 2
X 1 X 2 ∙∙∙ MNψ点到 4a 2k 2
-a 2 -a 2k 2 4a 2k 2
,Χ1 Χ2
4a 2
a 2 a 2k 2 _4
Y 轴的距离为 4 且MN 过点
A ,而点A 在Y 轴的左侧, 3 • MNψ点也在Y 轴的左
侧。

2a 2k 2 a 2 a 2k 2
-4 4 —— B J" ■ 3 a 2k 2 =2a 2 -8, • X 1 X 2
—8
T X I x 2
8 -a 2
• (x 1 -x 2)2 =(X 1 x 2)2y (
8)2
∙∙∙ MN
亠2
3
1 k 2
∣x 1 - x 2
- 4 (8 - a 2) 3
∖ 2
3
• 12a 2 12(2a 2 -8) -32k 2 =160
• k 2
9a 2 -64
•••△ ABD^以为正△,此时
11
χ° 一亍
即 12a 2
12a 2k 2 -32k 2
-160
2 2 2
(a -8)(9a -8) =0 , V a c =2 , • a =8 .∙. b 2 = a 2 -C 2
=8-4=4
2 2
•所求椭圆方程为L∙^L=ι
8 4
⑶由⑴可知点E 的轨迹是圆χ2 y 2 =1
设（χo ,y o ）是圆上的任一点，则过 （X o ,y o ）点的切线方程是X o X 一 C 1 -X o X
①当y o = o 时，y
—代入椭圆方程得:
y o
2 2 2 2 2 2 (2X o
y o )X -4X o X 2 -32y o =0 ,又 x °
y ° =1
2 2 2
• (X o
1)X 2 -4X o X 32X o - 30=0 2
4 X o 32X o —30
X
1 ■ X
2 ■ ■ 2
>X
I X
^
2
X o 1
X o 1
2
令 i6x o 15=t(15 Et < 3i)
•当t=i5时，∣PQ 2取最大值为i5 , PQ 的最大值为Ji5。

2 . 此时
16x o O,χo =0,∙ y o = 1 ,•直线l 的方程为y = -1
a 2
9『-6
4二2_8
9a 4 -80a 2 64 = 0
r r 2 则PQ t 256t
(LJ )2 ^t 2
2t i (
16丿
256
V 1531
y °y =1
• (X i
-X 2)2 = (X i
X 2)2-
4X i X
^^^i28X
o4
8x o2
120)
PQ
=(i F X F = 2 2 X
o
y
o
2
y
o
(X i -X 2)2 =i
i -X o 2
4
2
E(一 i28x o
8x
i20)
2
i6x 0 15 (i X o 2)2
②当y 。

=0时，容易求得PQ=J7 £ v 15 故：所求PQ 的最大值为 Ji5 ,此时I 的方程为y
27. 解(理)(1 )易得I 的方程为y =t(χ . a ) (1)
^2 I
(X a)
,得
X 2
2 -■ y =1 a
(a 2t 2+4) y 2 - 4aty =0…2 分
解得y=0或y 一 4at
2
丄2
a t +4
即点M 的纵坐标
4 at a 2t 2
■ 4
S=SX AM =2S ΔAO M T ∣OA ∣ ∙ y M = 2
4a t …7分
:~^-2^
4 a t
(2) 由(1)得，S 4a 2t
S
=
2^^2
4 ■ a 2t
2
4a 2
=(t 0)
a t t
令V 专 a 2
t,V
a 2
当 t 2 时，V ■ .0;当0 ；：：t ：■-时 V ：■■ 0 …10 分若 1≤ a ≤ 2,则-:5(1,2) a a a
,故当t 二Z 时，SaX =a ll 分 a 若a >2,则0 <_2 <1.∙.∙V =4 +a 2
t 在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数.•当t=1时，S a t
max
二 4a [ 13
4：：.孑
综上可得Q
S r
max
28. (1) I 函数
a(1 兰a ≤2) =J
4a 2
4~P (a
⑵
bx +c “甘宀,十bx f (X )= x +1 的图象过原点，即 f (0)=0 ,∙
c =0,∙ f (χ)= ^x +^∙
14分
bx ab
又函数f (X )= χ+1 =b -χ+1的图象关于点(-1 , 1)成中心对称，∙∙∙ a=1,b =1,∙∙∙ f (X )=
X
苻⑵
1 ~. n
]2
,即，a n+1 =
■ a " , 即 卩 =— a n +1 a n+1 T a n
1 1 1 ——+1,
∙∙∙ - 一 =1∙
In ' Il f
3n+1
I
R n
1 1 1
.∙.数列｛—｝是以1为首项，1为公差的等差数列.∙ — =1+(n -1)= n ,即.a n = , ∙ ◎=
a n ■■■.■■ a^∣ n
IIII ∙ a 2
=4, a 3
=9, a 4
=而 a n
=孑
y = m n
29、解：(1)由 m = (2x 「b,1),得 y=2x*1
........... 2 分
n w,b 1)
• L : y =2x 1,. P 1 (0,1),则 a 1 =0,b 1 =1, a n = n -1(n N ), b n = 2n -1(n N )
........... 4 分
由题意有a n+1=[
(2) 当 n≡≥2 时，P n (n -1,2 n —1),IP I P n ∣=√5(n -1)
、5 n ∣
PP n | 1 n(n -1) n -1
.Iim(C C 2 川…质C n)= n _. Iim[(1 一1) (1 一1厂(
- n " 2 2 3 n -1
1
)] = lim(1 一1) =1 n n —' n
(3)假设存在符合条件的 k 使命题成立
当k 是偶数时，k 11是奇数，则f(k 11^k 10, f(k^2k -1
由 f (k 11) =2f (k),得 k =4 11分
当 k 是奇数时，k 11 是偶数，则 f(k • 11) =2k • 21, f (k) = k -1 由 f (k 11) =2f (k),得 k 无解 综上存在k = 4 ,使得f (k ∙11) =2f(k) ........... 14分 30.解：(1)设 A(x 1,yJ , B(X 2,y 2),直线 AB 的方程为：y = k(x - 1)(k 厂0) 把 y =k(x -1)代入 y 2 =4x 得: k 2χ2 _(2k 2 4)x k 2 = 0 2k 2 4
4
• X 1 X 2- • y 1 y 2 = k(x 1 -1)
k(x 2 _1)= k
■ 2
X 1 +x 2 k +2 X = 2 k 2
y
_ y 1 y 2 _2
[ 2
•••点M 的坐标为M
消去k 可得点M 的轨迹方程为:
|3 k 2 2
k 2 2 (2)∙.∙ d -
I k 2
y 2 =2x -2
(X 0)；
m| I
• |3
6
2
8
m|=1 ••• 3 $ 8
m 二：1 k
k k
k …C • 6 3
8 6
• k 2 • • 0 ：：： P , 0 4 ∙ 0 ：：：
—2
k 2 2 k
k 2 k
11 、 11
• • 0 ：： 1 〜3 〜m 或 0 ：： -1 — 3 〜m
2 2
卫8 k 2 k
11 .∙.
2 =1「3「m
11
0 二1 一 3 - m -
2
15 …19 ’ m ：： -2 或 m ：： -4 2 2
完美WoRD格式
19 ^2 ：：：m ：：：2 .∙∙ m的取值范围为。