圆与方程PPT教学课件

立足教育 开创未来
又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1，0)，
所以半径 r AC 1 12 42 20 故所求
圆的方程为(x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心(-1，0)的距离为
d PC 2 12 42 25 r，
所以点P在圆外.
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（Ⅰ）解法1：（待定系数法）设 圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
因为圆心在y=0上,故b=0， 所以圆的方程为（x-a）2+y2=r2 又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点,则 （1-a）2+16=r2
，解得a=-1，r2=20. （3-a）2+4=r2
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解法2：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，
所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因
为kAB=
42 1 3
=-1,故l的斜率为1,
又AB的中点为（2，3）,故线段AB的中
垂线l的方程为x-y+1=0.
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（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.
当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，
其圆心的坐标为（ D , E），半径
22
r1 2
D2 E2 4F；
当D2+E2-4F=0时，只表示一个点（-D2,-
E2）；
当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形.
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解法2：根据图形的几何性质：半径，弦
长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股
定理，
可得弦心距d
r 2 （4 2）2 2
10 8
2
因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0
的距离， a b
所以d
2
2， 又已知b=2a，
AB 2 r 2 d 2 .
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重点突破：圆的方程
例1 （Ⅰ）求过两点A（1,4）,B（3,2）,且 圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点P （2,4）与圆的位置关系.
（Ⅱ）求过A（4,1），B（6，-3）C（-3,0） 三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心C 坐标.
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4.对称问题 圆（x-a）2+（y-b）2=r2关于直线x=0的对 称圆的方程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关于直线 y=0的对称圆的方程为（x-a）2+（y+b）2=r2； 关于直线y=x的对称圆的方程为（x-b）2+（ya ） 2=r2 ； 关 于 直 线 y=-x 的 对 称 圆 的 方 程 为 （x+b）2+（y+a）2=r2. 5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分这条弦所对的两段弧.若AB为圆O的 弦，圆心O到弦AB的距离为d，圆半径为r,则
又圆心到原点的距离为（2 0）2 （0 0）2 2， 所以x2+y2的最大值是(2+ 3)2=7+4 3 ;最 小值是(2- 3 )2=7-4 3 .
涉及与圆有关的最值，可以借助
圆的几何性质，依照数形结合思想进行求解；
联想过两点的直线的斜率公式，两点间距离
公式，过定点的直线系或平行线系等知识的 应用.
8,F=4，
故所求的圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-
10x-8y+4=0.
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(Ⅱ)解法1：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10，
由圆心在直线y=2x上，得b=2a，
①
由圆在直线x-y=0截得的弦长为4 ，
A.(x+8)2+(y-3)2=5 B.(x-8)2+(y+3)2=5 C.(x+8)2+(y-3)2=25 D.(x-8)2+(y+3)2=25
半径 r CA (8 5)2 (3 1)2 5， 所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2 =25.选D.
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y） x min
3.
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重点突破：直线与圆的方程的应用 例3 图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造 时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的 高度（精确到0.01）.
先建立直角 坐标系，只需求出P2的纵 坐标，就可得支柱A2P2的 高度.
解得a=2,b=4或a=-2,b=-4.
所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10
或（x+2）2+（y+4）2=10.
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重点突破：与圆有关的最值问题 例2 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0 （Ⅰ）求y-x的最大值和最小值, （Ⅱ）求x2+y2的最大值和最小值.
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2.方程y= 4 x2 对应的曲线是（ A ）
原曲线方程可化为x2+y2=4 （y≤0），表示下半圆,选A.
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3.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相 切，则圆的方程为（ B ）
A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0 C.x2+y2-10y=0 D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0
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（Ⅰ）欲求圆的标准方程，只 需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P 与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离 和圆的半径的大小关系.（Ⅱ）设出圆的方 程，解方程组即可.
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变式练习1 根据下列条件求圆的方程.
（Ⅰ）圆过P（4,-2）,Q（-1,3）两点，且 在y轴上截得的线段长为4 3.
（Ⅱ）已知圆的半径为 10，圆心在直线 y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4 2 .
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(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ①
将P,Q点的坐标代入①式得
4D-2E+F=-20 D-3E-F=10，
令x=0,由①得y2+Ey+F=0.
②
由已知 y1 y2 4 3，其中y1,y2是方程②的 两根，
(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48， 联立方程解得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-
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4.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与
圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程 为 (x-2)2+(y+2)2=1 .
设圆C2的圆心为（a，b），则依
题意，
有
a1 b1 22 b 1 1
1
0
，解得：
a=2 b=-2.
a1
对称圆的半径不变，为1，故填(x-2)2+
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建立如图所示
的直角坐标系,设圆心坐标
是 (0,b), 圆 的 半 径 是 r, 则 圆
1.圆的定义：平面内到一个定点的距离 等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定 点叫做圆心，定长叫做圆的半径.
2.圆的方程
（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+ （y-b）2=r2.
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将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10.
2
整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.
由弦长公式得
化简得a-b=±2.2 (a b)2 2(a2 b2 10) ②4 2， 解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,
所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或
(x+2)2+(y+4)2=10.
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(Ⅱ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因 为 三 点 A(4,1) ， B(6 ， -3) ， C(-3,0) 都 在圆上，
所以它们的坐标都是方程的解，将它们 的坐标代入方程得，
42+12+4D+E+F=0
D=-2
62+(-3)2+6D-3E+F=0 ，解得 E=6
(-3)2+02-3D+0·E+F=0
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3.点与圆的位置关系
圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2， 圆心C（a,b），半径r，
若点M（x0,y0）在圆C上，则（x0-a）2+ （y0-b）2=r2;
若点M（x0,y0）在圆C外，则（x0-a）2+ （y0-b）2>r2;
若点M（x0,y0）在圆C内，则（x0-a）2+ （y0-b）2<r2.
根据代数式的几何意义，借助 于平面几何知识，数形结合求解.
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方程x2+y2-4x+1=0变形为(x-2)2+y2=3，
所表示的图形是圆.
(Ⅰ)y-x 看 作 是 直 线 y=x+b 在 y 轴 上 的 截 距 ， 当直线y=x+b与圆相切时，
解得a=3或a=-1，当a=-1时，方程x2+y2+
（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圆，所以只能取
a=3.填3.
易错点：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在 D2+E2-4F＞0时才表示圆，因此需检验不等式 是否成立.
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F=-15.
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所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0， 即（x-1）2+（y+3）2=25， 所以圆心坐标为（1，-3），半径为r=5.
“待定系数法”是求圆的方程的 常用方法.一般的，在选用圆的方程形式时， 若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比 较简便，否则选用一般方程方便些.
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设圆心为（0，b），由题意，则 圆的方程为x2+（y-b）2=b2.
因为半径为5.所以 b =5,b=±5. 故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y210y=0.选B.
易错点：圆心的位置可能在y轴上半 轴或下半轴.
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变式练习2 已知实数x,y满足方程x2+y24x+1=0，求 y 的最大值与最小值.
x
设 y =k，即y=kx，当直线y=kx与
x
圆相切时，斜率k取得最大值和最小值.因为
圆心（2,0）到直线y=kx的距离为 3，所以
2kk2所01以（x3y，）m得ax k=±3，（3.
（y+2）2=1.
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5.若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关于直线
x-y+1=0对称，则实数a= 3 .
依题意直线x-y+1=0，过已知圆的
圆心 （ a2 1 ,a）所，以 a2
20b 3,
2
解得b=-2± 6,
所以y-x的最大值为-2+ 6，最小值为-2- 6.
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（Ⅱ）x2+y2表示圆上一点与原点距离的 平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连
线和圆的两个交点处取得最大值和最小值.
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1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆 的标准方程为（ D ）