一_偏导数的定义及其计算法

fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z z) f ( x, y, z)
fz
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
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4
例
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数．
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
y
z x
2z xy
f
xy
(
x,
y),
x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
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例 5 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求2z x 2
、 2z yx
、 2z xy
、 2z y 2
及 3z x 3
.
[解]
例 6 设u eax cosby，求二阶偏导数. [解]
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问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
[解]
例 2 设z x y ( x 0, x 1)，
求证 x z 1 z 2z .
[证]
y x ln x y
例 3 设z arcsin x ，求 z ，z .
x2 y2
x y
[解]
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5
例 4 已知理想气体的状态方程 pV RT （R为常数），求证： p V T 1.
例如, 设z f ( x, y) xy , 求fx (0, 0), f y (0, 0).
解
f
x
(0,0)
lim
x0
|
x0|0 x
0
f y (0,0).
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３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
V T p
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V RT V R; T pV T V ;
p T p
R p R
p V
V T
T p
RT V2
R V RT p R pV
1.
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6
有关偏导数的几点说明：
１、 偏导数u 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y 的偏导
数，记作z y
，f y
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，z
y
或
f
y
(
x,
y
)
.
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3
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
二元函数
二元函数
对x 和对y 的偏增量 对x 和对y 的偏微分
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全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的某邻域内 有定义，并设P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0.
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
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4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
第二节 偏导数和全微分
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当y 固定在y0 而x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对x 的
偏导数，记为
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1
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对y
的偏导数， 为
两个二阶混合偏导数必相等．
例 7 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
斯方程
2u x 2
2u y2
0.
[解]
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课堂思考题
若 函 数 f ( x, y) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续，能否断定 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )
的偏导数必定存在？
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思考题解答
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 ,
在(0,0)处连续, 但 f x (0,0) f y (0,0)不存在.
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三、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) fx ( x, y)x f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y
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几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线M 0Tx 对x 轴的
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty对y 轴的
斜率.
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lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为z y
，f x x0 y
，z y
x x0
x x0 y y0
或 f y ( x0 ,
y0 )
.
y y0
y y0
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如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点
( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数