理论力学 10动载荷

O D
qG
t
解：① 惯性力分析，见图１
qG
Aan AD 2
g 2g
② 内力分析如图2
qG 图1 NG
2Nd qG D0
2
图2
NG
D an 2
qG D AD2 2 Nd 2 4g
③ 应力分析
N d D 2 2 2 d A 4g g
④ 强度条件
解：水平冲击无势能变化 1Q 2 1 v P d d 2 g 2
Pd K d Q
j Qa / 3EI
3
d Kd j
j max
Qa W
v2 3EIv 2 Kd g j gQa3
3EIv 2Q d max K d j max gaW 224
三、直径d=30cm，长度L=1m的圆木桩，下端固定，材料 E=10GPa。重为Q=5KN的重锤从离木桩顶为h=1m的高度自由 落下。求下列两种情况下的动荷系数：① 木桩顶放置直径 d1 15cm ，厚度h1 0.02 m的橡皮垫，橡皮E=8MPa； ② 无橡皮垫。 解： ① Qh / E A QL / EA
a N d (GqL)(1 ) g
②动应力
L q(1+a/g)
Nd 1 a d (GqL)(1 ) A A g 1 2 3 (5010 25.560)(1 ) 4 2.910 9.8
G(1+a/g)
214MPa 300MPa
二、转动构件的动应力:
[例3] 重为G的球装在长L的转臂端部，以等角速度在光滑水 平面上绕O点旋转， 已知许用应力[] ，求转臂的截面面积 （不计转臂自重）。 GG 解：①受力分析如图:
1
第十三章
§13–1 基本概念
动荷载
§13–2 加速运动问题的动响应 §13–3 冲击荷载问题的动响应
§13-1 基本概念
一、动载荷： 载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部
件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。
载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产 生惯性力），此类载荷为动载荷。
二、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、 位移等），称为动响应。 实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力 不超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立，且 E静=E动。
三、动荷系数：
动响应 动荷系数K d 静响应
d K d j
四、动应力分类： 1.简单动应力：加速度可以确定，采用“动静法”求解 。 2.冲击载荷：速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加
最大冲击效应：冲击后的动能为零，T2=0 一个冲击力的变形能为U2=(1/2)PdΔ
d
3.动荷系数为Kd：
Pd K d Pj d K d j
d K d j
一、轴向自由落体冲击问题
2 冲击前： 动能T1 m v /2
冲击后： 动能T2 0
势能V2 m g d 变形能U 2 Pd d /2
速度不能确定，要采用“能量法”求解；
3.交变应力：应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。 4.振动问题：求解方法很多。
§13-2 加速运动问题的动响应
方法原理：D’Alembert’s principle ( 动静法 ）
达朗伯原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性力， 惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力的数值等于加速度 与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力，就可以把动力学 问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动静法。
(2)突加荷载 : K
d
2
五、动响应计算： 动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积。
[例6 ] 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中 点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。 E
mg =P
解：①求C点静挠度 B
AA1 f Cj C1C2 2
3 RA L3 PL 96EIDE 48EI AB
j 1 1 1
5 0.02 4 5 1 4 3 2 8 10 0.15 10 106 0.32
71.5 105 m
) ② K d 1 1 2 (1 0.02 53.4 5 71.5 10 5 1 4 j QL / EA 10 106 0.32
mg
A C
hБайду номын сангаасL
B
能； ③冲击物不反弹； ④不计声、光、热等能量损耗
（能量守恒）。 A C
fd f
B
x
T1 V1 U 1 1 2 m mg ( h f d ) 0 2
A
C fd
B
x
T2 V2 U 2 1 0 0 Pd f d 2 1 Pj 1 mg 2 ( fd ) ( f d )2 2 fj 2 fj
A截面的静弯矩和最大静应力分别为 M A Wl； Ast 则A截面的最大正应力(动应力)为
M A Wl Wz Wz
Ad Kd Ast
受冲击构件的强度条件
6 EI z h Wl (1 1 ) 3 Wl Wz
≤
d max Kd st max
d max Kd st max
h A L D A1 C C1 C2
EI AB EIDE EI
5 PL3 192EI
E
mg =P
②动荷系数 B
2h K 1 1 d 5PL3 192EI 384EIh 1 1 5PL3
h A L A1 C C1 C2
D
EI AB EIDE EI
③求C面的动应力
Cd max K d Cj max
讨论：
(1) 0 :,
(2)突加荷载
2h K 1 1 d j
h 0, K d 2
二、不计重力的轴向冲击：

冲击前：
动能T1 m v2 /2 势能V1 0 变形能U 1 0
mg
冲击前后能量守恒，且
冲击后：
动能T2 0 势能V2 0 变形能U 2 Pd d /2
d
2
g


[ ] g

最大线速度：
max
[ ] g

§13-3
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法
( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分 析。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若干假设
≤

27
28
势能V1 m gh
mg h
v 变形能U 1 0
冲击前后能量守恒，且 Pd K d Pj ( Pj m g)
d K d j
d mg
1 mg 2 2 m mg ( h K d j ) Kd j 2 2
Kd 1 1
2 / g 2h
j
△j：冲击物落点的静位移。
②动应力
Nd a d x(1 ) A g
a d max L(1 )K d jmax g
动荷系数：
a K d 1 g
强度条件：
若：
d max Kd j max
d max


满足

d max
不满足
[例2] 起重机钢丝绳长60m，名义直径28cm，有效横截面面积 A=2. 9cm2 , 单位长度重量q=25. 5N/m , [] =300MPa , 以a=2m/s2 的加速度提起重50kN 的物体，试校核钢丝绳的强度。 解：①受力分析如图: Nd
的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进
行偏于安全的简化计算。
1.假设： ①冲击物为刚体； ②冲击物不反弹； ③不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
④冲击过程为线弹性变形过程。(保守计算)
2.动能 T ，势能 V ，变形能 U，冲击前、后，能量守恒：
(冲击前) T1V1U1 T2 V2 U 2 (冲击后 )
惯性力：

O L
GG man 2 Rm 2 LG/ g
②强度条件
GG / A
GG 2GL A ( g )
[例4] 设圆环的平均直径D、厚度t ，且 t <<D，环的横截面 面积为A，单位体积重量为 ，圆环绕过圆心且垂直于圆环平面 的轴以等角速度旋转，如图所示，试确定圆环的动应力，并建 立强度条件。

M d max 32 2120 d max 12.5 MPa 3 W 0.12
1 M d max 10.58 0.4 2.12 KN m 2
23
二、杆AB下端固定，在C点受到以匀速 沿水平运动的 重物Q冲击。设AB杆的E、I及W均为已知。试求杆内的最大 冲击应力。
2h 21000 K 1 1 1 1 217 .9 d j 425
W
v h=1m
Pj L WL j 425mm EA EA
③求动应力
静应力：
j W / A0.07074 MPa
15.41MPa 动应力： d Kd j
6m
f
四、 梁的冲击问题
1.假设： ①冲击物为刚体； ②不计被冲击物的重力势能和动
B st
Wl yB 3EI z
3
（2）求动载荷系数
2h 6EI z h Kd 1 1 1 1 B st Wl3
26
（3）求B端受冲击后的挠度
B d K d B st
（4）求A截面的最大正应力
6EI z h Wl3 (1 1 ) 3 Wl 3EI z
一、直线运动构件的动应力
[例1] 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[], 单位体 积重为 , 以加速度a上升，试校核钢丝绳的强度（不计绳重）。 解：①受力分析如图: x a L m x n qj qG a Nd
惯性力：qG
A
g
a
a N d (q j qG ) x Ax(1 ) g
Pd K d Pj ( Pj m g) d K d j
1 mg 2 2 mv Kd j 2 2
动荷系数 K d
2
g j
三、冲击响应计算 等于静响应与动荷系数之积。 [例5 ] 直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN。求：桩 的最大动应力。E=10GPa 解：①求静变形 ②动荷系数
f
冲击前、后，能量守恒，所以：
( 2 g ) 2h f d (1 1 ) f j Kd f j fj
1 mg 2 m v m g(h f d ) ( f d )2 2 2fj
fd ( 2 g ) 2h 动荷系数: K d 1 1 fj fj
2h (1) 自由落体 :K 1 1 d fj
MC 384EIh PL Kd (1 1 ) 3 Wz 5PL 4Wz
第十三章练习题
一、轴上装一钢制圆盘，盘上有一圆孔。若轴与圆盘以匀
角速度 40(1/ s) 旋转。
试求轴内的最大正应力。 解：圆盘结构上的不对称性
是引起轴内弯曲正应力的原因。
引起轴弯曲的惯性力：
3 76 . 4 10 Pd 0.32 0.03 0.4 402 10.58KN 4 9.8
2 1 Kd 1 1 533 5 0.707 10
0.707 105 m
25
四、重量为W的物体自高度为h处自由落下，冲击在悬臂梁端 点 B( 。若梁的抗弯刚度 EI 和抗弯截面系数 Wz 均为已知，试求 A 截面的最大正应力和B端的挠度。
解 （1）求静位移
W以静载方式作用于受冲击点B时，B点的静位移为