特殊的一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法（一）

特殊的一元二次方程的解法--知识讲解（提高）

【学习目标】

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.

【要点梳理】

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.

（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤

①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

【典型例题】

类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．

【答案与解析】

(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m≠1且m ≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a ≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．

类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定

2. 已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．

【答案与解析】

将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-8≠0，即 m≠±．可知它的各项系数分别是a=m2-8(m ≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．

举一反三：

【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.

类型三、一元二次方程的解（根）

3.已知m，n是方程的两根，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)＝8，则a的值等于 ( )

A．-5 B．5 C．-9 D．9

【答案】C；

【解析】根据方程根的定义，m，n是方程x2-2x-1＝0的两根，∴ m2-2m-1＝0，n2-2n-1＝0．

变形可得：7m2-14m＝7，3n2-6n＝3．将变形后的式子代入已知等式中可得：(7+a)(3-7)＝8，

解得a＝-9．

【总结升华】当看到式子很复杂，别着急，注意与已知条件联系，运用根的定义，注意观察已知等式的特点，将7m2-14m与3n2-6n看作整体，运用整体代入法求解．

举一反三：

【变式】（1）x=1是的根，则a= .

（2）已知关于x的一元二次方程有一个根是0，求m的值.

【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.

（2）由题意得

类型四、用直接开平方法解一元二次方程

4.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】

把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得 x=10．由x-3=-7，得 x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方

程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．

举一反三：

【变式】解方程： (1)(3x+1)2=7； (2) 9x2-24x+16=11.

【答案】(1)解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=± (注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=， x2=.(2)解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=， x2=.类型五、因式分解法解一元二次方程

5．解方程：(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)2＝0

【答案与解析】