易拉罐形状与尺寸的最优设计

分类号: O224 单位代码: 106

密级: 一般学号: 1060207024024

本科毕业生论文（设计）

题目：易拉罐形状与尺寸的最优设计

专业：数学与应用数学

姓名：王喜迎

指导教师：崔志明

职称：副教授

答辩日期：二〇一一年五月二十九日

易拉罐形状与尺寸的最优设计

摘要:本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型.对问题一,利用游标卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明.对于问题二，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型,通过确定目标函数,给出的约束条件,利用初等解法得出直径与高之比为1:2时,所用材料最省,但结果与实际测量数据相差较远.对于问题三,在易拉罐为一个正圆台和正圆柱的组合时的情况下建立了非线性规划模型,利用LINGO软件得出直径与高之比为0.575时,所用材料最省,其结果与实际测量数据总体接近,但个别指标差距较大.对于问题四,将开口设计成旋合瓶盖,并得到一组新的尺寸,虽然成本偏高,但它比现有的易拉罐更为方便与卫生,能受到消费者的欢迎.

关键词:数学建模;优化模型;黄金分割点;微分极值

A Can Shape and a Model of The Most Superior Size

Abstract:This article has establishes a can shape and a model of the most superior size . In terms of the first question, Vernier caliper is used to measure the data which we think is necessary to confirm the model, and the data is illustrated through the graph and the form . In terms of the second question, the model is designed under the condition that the can is in the design of the proper circle barrel, through the definite objective function and given constraints, the primary solution obtains when the diameter and the high ratio is 1:2. On this case, the material is the least used, but the result and the actual metrical data is quite different. In terms of the third question, when the can is in the size of combination of a round table and a conformal cylindrical , the nonlinear programming model is established, and the diameter and the high ratio is 0.575 by using the LINGO software, and the material is the least, meanwhile the result is close to the actual metrical data , but the individual target disparity is big. In terms of the fourth question, if the mouth is design as swirling bottle cap, obtaining a group of new sizes, although the cost is high, but it is more convenient than the existing can and more healthy and popular.

Key words:Mathematical Modeling; Optimization Moldels; Golden Section Ratio; Differential Extremum.

一问题提出饮料罐装是饮料生产中十分重要的环节,饮料罐装容器的设计不仅直接关系到生产企业的制造成本,同时也决定着饮料产品的品质和价值.理想的饮料罐装容器应能起到以下作用：保护内在质量、免受物理损害、使用方便、便于运输和促进销售.在日常生活中,我们总会买一些易拉罐装的饮料和食品,殊不知,易拉罐的设计便包含了一定的物理、数学知识.我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来,这并非偶然,这应该是某种意义下的最优设计.当然,对于单个的易拉罐来说,这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的,但是如果是生产几亿,甚至几十亿个易拉罐的话,可以节约的钱就很可观了.所以对易拉罐的设计,生产者总会考虑让它成本最低,并且功能最强.

现就以市场上最多见的可口可乐易拉罐(355毫升)为研究对象，研究其是在什么意义下的最优设计,并且通过你的研究,发挥想象力,做出你自己的关于易拉罐形状和尺寸的设计,并说明其意义.

二问题分析此题可分成四个问题作答.问题一,先对355毫升可口可乐易拉罐进行测量,并观察其相关数据,得出合理的易拉罐尺寸比例,如直径和高之比.问题二,将易拉罐形状理想化、简单化,近似看成一个圆柱,研究什么它的最优设计,其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸.问题三,在问题二上增加变量,将易拉罐近似看成由一个圆台和一个圆柱构成,在确定其形状和体积一定的基础上,以所用材料体积最小为目标建立优化模型,得其最优数据,并用实际测量的数据来检验设计的合理性.问题四,基于以上三个问题的求解,重设计一个优化模型,并验证所设计的模型的可行性.

三模型假设

1．假设易拉罐不同厚度的面的结合是直接过渡的,即不考虑易拉罐的工艺过程.

2．假设易拉罐上下底的硬度体现在同样材料的厚度上.

3．实际测量允许有一定的误差.

4．易拉罐上端卷口材料的影响很小,可忽略不计.

5．易拉罐底端的曲面简化成一个平面,拉环不加考虑.

（对不同问题的研究再作补充假设）

四模型的建立与求解

问题一对易拉罐所需要数据的测量及结果