利用导数求参数的取值范围

高考题中的利用导数求参数范围一与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系

求解策略：利用“要使f (x) a成立，只需使函数的最小值f(x) a恒成立即可；要使f (x)

min

只需使函数的最大值f(x) a恒成立即可”.

max

这也是近两年高考考查和应用最多的一种.

―r —■- ―r—tr

2

例1已知向量a =(x ,x 1)，a=(i x,t)，若f(x)a?b在区间(-i,i)上是增函数，求t的取值范围

2 3 2

解析：由向量的数量积定义，f(x) = x(1 x)+( x 1) t = x+x+tx + t

2

••• f (x)= 3x +2x + t.

2

若f (x)在区间(-1,1)上是增函数，则有f (x) > 0 t > 3x -2x在(-1,1)上恒成立.

2 12 1

右令g(x) =3x -2x=-3( x )--

3 3

在区间［-1,1］上，g(x) = g( 1)=5，故在区间(-1,1)上使t > g(x)恒成立，

max

只需t > g( 1)即可，即t > 5.即t的取值范围是［5 ,R).

点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。

4 2

例2使不等式x -2x >2 a对任意的实数x都成立，求实数a的取值范围.

解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导

4 2

令f(x) = x -2x ,则如果原不等式对任意的实数x都成立等价于f(x) >2 a.

min

3 2

又f (x)=4x -4x=4x (x 1),令f (x)=o，解得，x=0或x=1.

f (x)的符号及f (x)的单调性如下:

因为在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即

•- f (x) = -1> 2 a，即a >3.

min a成立,

f (x) = f (1)= -1 ,

min

点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。

例3若函数f(x)=loga x

ax)(a>0, a丰1)在区间(-丄,0)内单调递增，则a的取值范围是(

2

1 3 9 9

A ［丄,1)

B ［?.1)

C(工,+R )

D(1,)

4

4

4

4

12a 8a ln( )

5 3

解析：f (x )是复合函数，须按 o1两种情况考虑.

3

1

令 g(x) = x ax ,••• f(x)在(-_ ,0)上为增函数,

1 2

① 若0

1

a <0在(-,0)上恒成立,

2

2

1 1

2

3 3

即a >3x 在(-丄,0)上恒成立,• a >3(

) =_,此时，-w 2

2 4 4

a v i ；

2

② 若a >1，则g(x)在(-1,0)上为增函数，须使 g (x) = 3x 2

a >0在(-丄,0)上恒成立,

2 2 4

即a v 3x 在(-1 ,o )上恒成立，即a w 0，不合题意. 综上,

2

3

a € ［2.1).

4

点评：解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙 例4(04辽宁)已知函数 f(x) ln(e x a)(a 0). (1)求函数y f(x)的反函数y f 1(x)及f(x)的导数f (X );

(2)假设对任意

x ［ln( 3a), l n(4a)］，不等式 |m f (x) | ln( f (x))

0成立，求实数 m 的取值范围. 解析：(1)解略.

1 , 、

x

f (x) = In(e

a), f (x)=

x

e a

x

e

;得山(f (x)) = x

ln(e x a)；

1 1

⑵ 解此绝对值不等式得 f (x)+ln( f (x)) < m < f (x) -ln( f (x))

x

x

x

x

把(1)代入上式，得 ln(e a) -ln(e a)+ x < m < ln(e

a) +ln(e a)-x

若把此不等式左右两边设为两个新函数，即

x

x

x

令 (x)= ln(e a) -ln(e

a) + x , g(x) = ln(e

x

a) + l n(e a)-x

则原不等式对于任意 x [ln( 3a),ln( 4a)]恒成立，意即 (x) < m < g(x)成立,

只需满足 (x)

<

m < g(x) 即可. max

min

< e x

&)=旦

x

x

e a e a

e x

e x

g (x )=」

x

x

e a e a

1,注意至U 0< e a < e < e

x x

即 一 <1<—§ .,

e x a

故(x)>0, g (x)>0,故

(x)、g (x)均为增函数,

•••在［In(3a), ln(4a)］上, (x)

max

12a

(ln(4a)) = ln(),

5

8a g(x) =g(ln(3a))=ln(),

min

3

故原不等式成立，当且仅当

(ln(4a))