第2讲 信号的运算及奇异信号分解

验证： 计算特殊点
宗量t
t=-1
t=0 t=1
宗量3t+5
3t+5=-1，t=-2
3t+5=0，t=-5/3 3t+5=1，t=-4/3
函数值
1
1 0
9
பைடு நூலகம்
二．微分(斜率)和积分（面积）
d f t 微分：f t ， dt
f t 1
积分： f d
t
f t
信号的运算
一．信号的自变量的变换
平移 反褶 尺度 混合情况
二．微分和积分 三．两信号相加或相乘
1
一．信号的自变量的变换（波形变换）
1.信号的移位 2.信号的反褶 3.信号的展缩（尺度变换） 4.混合情况
2
1．信号的平移 f ( t ) f ( t )
f (t )
例：
1 O
1
f (t+1)的波形？
注意！
一切变换都是对t而言 最好：先尺度变换后平移的顺序
8
例题 已知 f (t) ，求 f (3t+5)。
解:
f (t )
1
f ( t 5)
左移5（+5）
1 t
6 5 4
1 t
1 0
尺度 变换
尺度 变换
f (3t 5)
t
f ( 3t )
1
左移5/3（+5/3）
2
4 3
1 t
1 301 3
1 t
求法：宗量相同，函数值相同→求新坐标
宗量相同，函数值相同 t
-1 0 f(t) 0 1 t+1 -1 0 f(t+1） 0 1
求新坐标
t -2 -1 f(t+1) 0 1
f ( t ) f ( t 1)
1
左加右减！
1 O
1
t
3
2．倒置(反演/翻转)
f (t ) f ( t )
例：
t
t
11
1.4 奇异信号(奇异函数)
本身、其导数或其积分有不连续点(跳变点)的函数。 1 斜变信号R(t)
2 单位阶跃信号u(t)
3 符号函数sgnt 4 单位冲激信号δ(t) 5 单位冲激偶函数δ' (t)
12
1 斜变信号 R(t)
0 R( t ) t t0 t0
导数有 跳变点
t0 u( t t 0 )
t
0 u( t t 0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
1
t0 O
t
14
②用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：也称窗函数（矩形脉冲）
f t u t u t 2 2
f t
1
G t
t
其它函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。
f(t)
2 O
2
信号加窗或取单边
f (t ) e [u (t ) u (t t0 )]
t
t0
t
15
3 符号函数sgn(t)
符号函数：(Signum)
1 sgn( t ) 1
K
0 t 其它
O

t
13
2 单位阶跃信号u(t)
0 u( t ) 1 t0 t0
0点无定义或1/2
u( t ) 1
t=0时，函数有断点，跳变点
O
t
①有延迟的单位阶跃信号
0 u( t t 0 ) 1 t t0 , t0 0 t t0
1
O
u( t t 0 )
a 1压缩,保持信号的时间缩短了 f ( t ) f (at ) 0 a 1扩展,保持信号的时间增长了
7
4．混合情况
f t f at b f at b a 设a 0
先展缩： a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍 后平移： +，左移b/a单位；－，右移b/a单位 加上倒置：f at b f at b a
1
O 2

2
f t 2
t
O 2
t

2
t



2
冲激信号
t


f d

2
10
O
2
1
O
2
t
三．相加和相乘
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sin t
sin t
t
t
sin 8t
sin 8t
t
sin t sin 8t
t
sin t sin 8t
,t 0 ,t 0
O
sgnt
t
sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1
1 u( t ) [sgn( t ) 1] 2
16
4 单位冲激信号δ(t)
定义：狄拉克(Dirac)函数
(t ) d t 1 ( t ) 0, t 0
R( t ) 1
O
①有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
1
t
R( t t 0 )
1
O
由宗量t-t0=0 可知起始点为 t 0 ②三角形脉冲
K R( t ) f (t ) 0
t0
f (t )
t0 1 t
f (t ) f t 2
2
1
f t
f /t 2 ft 2
1
0
t
0 T
T 宗量相同，函数值相同
f(t) 1 2 t/2 0 T f(t/2) 1 2
t
0
求新坐标
t 0 2T f(t/2) 1 2
2T
t
时间尺度压缩：t t 2 ,波形扩展
5
f(t)f(2t)
f t
ff 2 tt




(t ) d t (t ) d t
0
0
函数值只在t=0时不为零； 积分面积为1；
t ，为无界函数。 t=0时，
2
1
2
1
0
T
t
0 T /2
t
宗量相同，函数值相同
t 0 T f(t) 1 2 2t 0 T f(2t) 1 2
求新坐标
t 0 T/2 f(２t) 1 2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
6
比较
f t
f t / 2 2 1
T
t
f 2 t 2 1
2T t
2
1
0
0
0 T /2
t
•三个波形，都是t 的一次函数。 •但由于自变量t 的系数不同，则达到同样函数值2的时 间不同。
f (t )
1
ff(( tt ))
1
1
2 1 0
t
1 0
1 2
t
以纵轴为轴折叠!
4
3．信号的展缩(Scale Changing)_尺度变换
t 例：已知 f t ，画出 f 2t 和 f 的波形。 2
f t f at 波形的压缩与扩展，标度变换