计算机系《高等数学》教学大纲

《高等数学》教学大纲

一、课程的性质与任务

高等数学是一门重要的基础理论课，通过本课程的学习使学生获得微积分方面的基础知识和基本运算技能，提高学生的抽象思维能力和分析、解决问题的能力，为学习后继课程打下良好的数学基础。

二、课程的教学内容

1、函数

集合与区间，函数概念，函数的几种特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数。

2、极限与连续

数列、函数的极限概念，无穷小和无穷在，极限运算法则，两个极限存在准则，两个重要极限，函数的连续性，间断点，闭区间与连续函数的性质。

3、导数与微分

导数的概念、定义，导数的基本公式与运算法则，复合函数、反函数、隐函数的导数，高阶导数，微分的概念、定义，微分形式的不变性，微分的应用。

4、微分中值定理，导数的应用

罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，洛必达法则，函数的增减性和凹凸性，函数的极值和最值，极值和最值的应用，曲线的拐点。

5、不定积分

不定积分的概念、定义，不定积分的性质，基本积分公式，两类换元积分，分部积分法，有理函数的积分。

6、定积分

定积分的概念、定义，定积分的性质，定积分与不定积分的关系，定积分的换元法和分部积分法，定积分的应用，广义积分。

7、微分方程

微分方程的有关概念，一阶微分方程及其解法，可降阶的高阶微分方程及其解法，二阶常系数线性微分方程及其解法。

8、多元函数

空间解几简介，多元函数的概念，二元函数的极限与连续，偏导数，全微分，复合函数，隐函数的微分法，二元函数的极值，二重积分的概念、定义及其性质，二重积分的计算。

9、无穷级数

无穷级数的概念，基本性质，正项级数及其敛散性的判别法，任意项级数，条件收敛与绝对收敛，幂级数的定义，幂级数的收敛半径和收敛区间，幂级数的性质，泰勒公式与泰勒级数，八个初函数的幂级数展开式，幂级数的应用。

三、课程的教学要求

1、函数，极限，连续

（1）理解函数的概念。

（2）熟悉函数、反函数、复合函数、基本初等函数的基本性质。

（3）会对简单实际问题建立函数关系。

（4）理解极限的概念，掌握极限四则运算。

（5）了解两个极限存在准则，会用两个重要极限求极限。

（6）了解无穷大和无穷小的概念，掌握无穷小的性质。

（7）理解函数的连续性，了解间断点的概念。

2、导数，微分及其应用

（1）理解导数，微分的概念。

（2）熟悉导数，微分的基本公式及运算法则。

（3）掌握求初等函数的一阶、二阶导数，了解高阶导数的概念。

（4）会求反函数、复合函数、隐函数的导数。

（5）理解罗尔定理，拉格朗日定理，了解柯西定理。

（6）熟悉洛必达法则及其应用。

（7）理解函数的增减性和极值、最大值、最小值概念，熟悉极值的应用，会判断曲线的凹凸，求曲线的拐点，会作曲线的图形。

（8）了解变化率及相关变化率及其应用。

3、不定积分，定积分

（1）理解不定积分和定积分的概念及其性质。

（2）熟悉不定积分基本公式，掌握不定积分、定积分的换元法和分部积分法。

（3）了解有理函数的积分，熟悉定积分的应用。

（4）了解定积分的近似计算，会求广义积分。

4、微分方程

（1）了解微分方程的基本概念。

（2）掌握可分离变量的方程用一阶线性方程的解法

（3）会解可降阶高阶微分方程，掌握二阶常系数齐次线性方程的解法。（4）了解二阶常系数非齐次线性方程的特解的求法。

5、多元函数

（1）了解一些空间几何的概念。

（2）理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续。

（3）理解偏导数和全微分的概念，会求复合函数、偏函数的偏导数。

（4）理解二重积分的概念和性质，掌握二重积分的计算法。

6、无穷级数

（1）理解无穷级数的概念、基本性质。

（2）掌握正项级数，任意项级数的敛散性判别定理。

（3）理解无穷级数绝对收敛和条件收敛的概念。

（4）掌握幂级数的收敛区间及运算性质。

（5）了解泰勒公式和泰勒级数，了解一些初等函数的幂级数展开式。

四、课程的重点难点

重点：函数的概念；数列、函数的极限；极限运算及用两个重要极限来求

极限；函数的连续性，闭区间上连续函数的性质；导数、微分的概念及其基本公式和运算法则；复合函数的导数；罗尔定理；拉格朗日定理；洛必达法则，函数的增减性与极值，最值的应用；不定积分和定积分的概念、性质及其基本公式；不定积分、定积分的换元法和分部积分公式；微分方程的基本概念；可分离变量的方程及一阶线性方程的解法；二阶常系数线性微分方程的解法；多元复合函数、隐函数的偏导数；二重积分计算；无穷级数的概念，基本性质及其敛散性判别定理；幂级数的收敛区间及性质。

难点：极限的概念；函数的连续性；闭区间上连续函数的性质；微分中值

定理的应用；有理函数的积分；定积分的应用；无穷级数敛散性的判别；幂级数的收敛区间及性质；多元复合函数的微分法；二重积分的应用；二阶常系数线性非齐次微分方程的解法。

五、课程的学时分配（总112学时）

1、函数，极限与连续12

2、导数与微分14

3、中值定理，导数的应用16

4、不定积分10

5、定积分及应用14

6、微分方程12

7、多元函数22

8、无穷级数12