高三数学复习专题课件：8.3抛物线
高三数学抛物线课件
典型例题: 例1:已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
变式：已知抛物线的方程是y=－6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；
典型例题: 例2:动点P到直线x+4=0的距离减去它 到点(2,0)的距离之差等于2,则P点的 轨迹方程是:_____________
练1:P204例1变式；
抛物线及其标准方程
定 平面内到定点F的距离与到定直线L的距离相等的点的轨 义 迹.其中定点F是抛物线的焦点;定直线L叫抛物线的准线.
y
y
y
y
图
F
K
形 K0 F x F 0 Kx
0x K
F0 x
标准 方程
y2=2px (p＞0)
y2=-2px (p＞0)
x2=2py (p＞0)
x2=-2py (p＞0)
弦,F为焦点,A(x1,y1),B(x2,y2):
①|AB|=x1+x2+P
②y1y2=-p2
③x1x2=
p2 4
④以AB为直径的圆与抛物线准线相切
；图文快印 图文快印
；
别来无恙乎，挑帘入座，可对弈纵横、把盏擎歌，可青梅煮酒、红袖添香 国学大师陈寅恪，托十载光阴，毕暮年全部心血，著皇皇80万言《柳如是别传》。我想，灵魂上形影相吊，慰先生枯寂者，唯有这位300年前的秦淮女子了。其神交之深、之彻，自不待言。 6 古人尚神交古人，今 人当如何？ 附庸风雅的虚交、名利市场的攀交、蜂拥而上的公交、为稻粱谋的业交，甚嚣尘上，尤其炒栗子般绽爆的“讲坛热”“国学热”“私塾热”“收藏热”“鉴宝热”“拍卖热”。但人生意味的深交、挚交，纯粹的君子之交、私人的精神之恋，愈发稀罕。 读闲书者少了，读古人 者少了，读古心者更少。 星转斗移，今心性已大变。
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
高考数学一轮复习人教A版抛物线名师精编课件(48张)
高三总复习 ·新课标版 ·数学 （文）
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第十章·第一节
将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6.∵ 6>2，∴A 在 抛物线内部，如图． 1 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－ 2的距离为 d，由定义知|PA | 7 ＋|PF|＝ |PA |＋d，当 PA⊥l 时， |PA |＋d 最小，最小值为 ，即 |PA | 2 7 ＋|PF|的最小值为 2，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴点 P 的坐标为(2,2)．
答案：9
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第十章·第一节
知识点二 标准 方程
抛物线的标准方程与几何性质 y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
y2＝2px (p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
______ ______
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
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答案：(1)D (2)B
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第十章·第一节
热点三 直线与抛物线的位置关系 考向 1 焦点弦问题 【例 3】 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直 线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程； → → → (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求 λ 的值．
准线于点 E，D，
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第十章·第一节
设|BF|＝a，则由已知得： |BC|＝2a， 由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30° ， 在直角三角形 ACE 中，因为|AF|＝3， |AC|＝3＋ 3a，又 2|AE| 1 2 ＝|AC|，所以 3＋3a＝6，从而得 a＝1，因为 BD∥FG，所以 ＝3， p 3 求得 p＝2，因此抛物线方程为 y2＝3x.
高考数学一轮专项复习ppt课件-抛物线(一)(通用版)
高考一轮总复习•数学
第24页
(1)解析：如图，作 MD⊥EG 于 D，由 M(x0，2 2)x0>p2在抛物线 C 上，得 8＝2px0， 将∠MFG 放在直角三角形中便于运算．
高考一轮总复习•数学
第1页
解析几何
抛物线(一)
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第2页
复习要点 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中 的应用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.了解抛物线 的简单应用．
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
如图所示，此时 d1＋d2 的值最小，最小值为点 F 到直线 x＋y－4＝0 的距离．
∵F(－1,0)，∴(d1＋d2)min＝|－1＋20－4|＝5
2
2 .
解析
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第22页
题型 抛物线的标准方程
典例 2 (1)(2024·江西九所重点中学联考)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，
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第12页
4．(2024·福建龙岩模拟)已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 A，以 AF 为直径的圆在第一象限交抛物线于点 B，则F→A·F→B＝_6_－__2__5__.
解析：设 B(x0，y0)．由题意知 F(1,0)，以 AF 为直径的圆为 x2＋y2＝1，由方程组
高中数学--抛物线PPT课件
3＋1p62 ，0)，
考 情
抛物线的准线方程为x＝－p2，
典 例
∴－
3＋1p62 ＝－p2，∴p2＝16，
课
探 究
又p＞0，则p＝4.
后 作
·
业
提
知 能
【答案】 4
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主
体
落
验
实
·
· 固
(1)(2013·惠州质检)设圆 C 与圆 C′：x2＋(y－3)2＝1 外切，
y＝p2
离心率
典
e＝1
例
课
探
后
究
· 提 知 能
焦半径
|PF|＝x0 |PF|＝
＋p2
－__x_0_＋__p2_
|PF|＝ _y_0＋__p2__
|PF|＝－ y0＋p2
作 业
菜单
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高
自
考
主
体
落 实
1．在抛物线的定义中，若定点F在直线l上，动点P的轨 验 ·
·
固 迹还是抛物线吗？
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自
4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上
高 考
主
落 的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
体 验
实
·
· 固
A．4
B．－2
明 考
基
情
础
C．4或－4 D．12或－2
【解析】 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
典
由题意知p2＋2＝4，
例
探
课 后 作
·
抛物线-版高三数学(新高考)一轮复习优质ppt课件
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知识梳理 • 双基自测
第八章 解析几何
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知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离___相__等___； (3)定点F与定直线l的关系为___点__F_∉_l___.
第八章 解析几何
第八章 解析几何
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抛物线焦点弦的处理规律 直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 如图． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42. (2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2 x1x2＝p， 即当x1＝x2时，弦长最短为2p. (3)|A1F|＋|B1F|＝2p.
F__(_0_，__－__p2_)___
___x_＝__－_p2____
__x_＝__p2____
__y_＝__－__p2____
___y_＝__p2___
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第八章 解析几何
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题组二 走进教材
2．(必修2P69例4)(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线
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高三总复习数学课件 抛物线
p ＝tan ∠PQF，所以||OPFF||＝||FPFQ||，即2p＝p6，解得 p＝3，所以 C 的准线方程为 x＝－32．
[逐点清] 2．(选择性必修第一册 133 页练习 3 题改编)抛物线 y2＝10x 的焦点到准线的距离是
________．
解析：因为 2p＝10，所以 p＝5，即焦点到准线的距离是 5．
答案：5
[记结论]
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，α 为弦 AB 的倾斜角，则：
顶点 对称轴 焦点 离心率
Fp2，0
O(0,0) x轴
F－p2，0 e＝1
y轴
F0，p2
F0，－p2
准线方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
开口方向 焦半径(其中
P(x0，y0))
x≥0，y∈R 向右
|PF|＝x0＋p2
x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
向左
向上
向下
|PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2
B，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中点，且|AF|＝4，则线
段 AB 的长为
()
A．5
B．6
C．136
D．230
解析：因为|AF|＝4，所以点 A 到准线 l 距离为 4，又 F 为 AC 中点，所以焦点 F
到准线 l 距离为 2，即 p＝2．由结论知|A1F|＋|B1F|＝2p，所以|BF|＝43，所以|AB|
高三数学总复习抛物线PPT课件
2．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点， 若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：因为抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1,0)． 显然，当 AB 垂直于 x 轴时，|AF|≠3， 所以 AB 的斜率 k 存在， 设 AB 的方程为 y＝k(x－1)，与抛物线 y2＝4x 联立， 消去 y 得 k2x2－2k2x－4x＋k2＝0， 即 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
(4)求定值．可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻 找待定式子的表达式，化简即可得到．
已知过点 A(－4,0)的动直线 l 与抛物线 G：x2＝
2py(p>0)相交于
B，C
两点．当直线
l
的斜率是1时， 2
。
(1)求抛物线 G 的方程； (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围．
半轴上，所以焦点坐标为0，18.
4．抛物线的焦点为椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的左焦点，
顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．
解析：由c2＝9－4＝5，得F(－ 5，0)， 则抛物线方程为y2＝－4 5x. 答案：y2＝－4 5x
5．设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 A(0,2)．若线
则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝4x
解析：选C 由抛物线准线方程为x＝－2知p＝ 4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.
2．抛物线 y＝1x2 的准线方程是( ) 4
A．y＝－1
B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《抛物线》课件ppt
(2)过点(3，－4)；
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把 点 (3 ， － 4) 的 坐 标 分 别 代 入 y2 ＝ 2px 和 x2 ＝ － 2p1y 中 ， 得 ( － 4)2 ＝ 2p·3,32＝－2p1·(－4)， 则 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
准线交于点 D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4 √C.|BD|＝2|BF|
√B.D→F＝F→A
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点 A，B 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为点 E， M，连接 EF.设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 P，则|PF|＝p.因为直线 l 的 斜率为 3，所以其倾斜角为 60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确；
__－__p2_，__0_
__0_，__p2__
_0_，__－__p2__
__x_＝__－__p2__
__x_＝__p2__
__x轴___
___y_＝__－__p2__
__y_＝__p2__
__y_轴__
__(0_,_0_)_
e＝_1__
常用结论
1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2， 也称为抛物线的焦半径.
抛物线课件高三数学一轮复习
＝0，解得 p ＝－42（舍去）或 p ＝6.故选C.
法二
根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x ＝－ 的距离为
2
12，因为点 A 到 y 轴的距离为9，所以 ＝12－9，解得 p ＝6.故选C.
2
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高中总复习·数学（提升版）
2. （2024·全国乙卷13题）已知点 A （1， 5 ）在抛物线 C ： y 2＝2 px
1｜≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d ≥2，故最短距离为2.
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高中总复习·数学（提升版）
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】 （1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（
上，则 A 到 C 的准线的距离为
9
4
.
解析：∵点 A （1， 5 ）在抛物线 y 2＝2 px 上，∴5＝2 p ，得 p ＝
5
5
9
，∴点 A 到准线的距离为 xA ＋ ＝1＋ ＝ .
2
2
4
4
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高中总复习·数学（提升版）
直线与抛物线的位置关系
【例4】 （多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）设 O 为坐标原点，直线 y
2. 抛物线性质的应用技巧
（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程
化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性Байду номын сангаас简化运算.
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高中总复习·数学（提升版）
高三数学第一轮复习(新人教A)：8.3 抛物线
8.3 抛物线定义到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹方程1.y 2=2px （p ≠0），焦点是F （2p，0） 2.x 2=2py （p ≠0），焦点是F （0，2p）性质 S ：y 2=2px （p ＞0） 1.范围：x ≥02.对称性：关于x 轴对称3.顶点：原点O4.离心率：e =15.准线：x =－2p6.焦半径P （x ，y ）∈S ，|PF |=x +2p 对于抛物线x 2=2py （p ＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？ ●点击双基1.在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.21B.1C.2D.4 解析：抛物线的准线方程为x =－2p ，由抛物线的定义知4+2p=5，解得P =2.答案：C2.设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为 A.（a ，0） B.（0，a ）C.（0，a161） D.随a 符号而定解析：化为标准方程. 答案：C3.以抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为 A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 解析：利用抛物线的定义. 答案：C4.以椭圆252x +162y =1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点，则|AB |的值为___________.解析：中心为（0，0），左准线为x =－325，所求抛物线方程为y 2=3100x .又椭圆右准线方程为x =325，联立解得A （325，350）、B （325，－350）. ∴|AB |=3100.答案：31005.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） 解析：由抛物线方程y 2=10x 可知②⑤满足条件. 答案：②⑤ ●典例剖析【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x －2y －4=0上.剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0）， ∵过点（－3，2），∴4=－2p （－3）或9=2p ·2.∴p =32或p =49.∴所求的抛物线方程为y 2=－34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－89.（2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）.当焦点为（4，0）时，2p=4，∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ；焦点为（0，－2）时，2p=2，∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y .∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ，对应的准线方程分别是x =－4，y =2.评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.【例2】如下图所示，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|NB |=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.ABNMl l 12剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围.解：以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0）（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p =|MN |，所以M （－2p ，0） 、N （2p，0）. 由|AM |=17，|AN |=3，得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9.②①②联立解得x A =p4，代入①式，并由p >0， p =4， p =2， x A =1 x A =2. 因为△AMN 为锐角三角形，所以2p>x A . P =2， P =4， x A =2. x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p =4. 综上，曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.评述：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.【例3】 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .剖析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA .本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.证法一：设AB ：x =my +2p，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0.由韦达定理，得y A y B =－p 2，即y B =－Ay p 2.解得 或 故舍去 所以∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ）. 则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA .故直线AC 经过原点O .证法二：如下图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .xy O ABCDE NF l则AD ∥EF ∥BC .连结AC 交EF 于点N ，则||EN =||CN =||||AB BF ，BC NF ||=||||AB AF .∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |，∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点.从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .评述：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.思考讨论本题也可用平面向量来证明，读者不妨一试.●闯关训练 夯实基础1.设a >0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为 A.［0，a 1］ B.［0，a 21］C.［0，|a b 2|］D.［0，|ab 21-|］解析：tan α=k =f ′（x ）=2ax +b ， ∴0≤2ax 0+b ≤1.∴0≤x 0+a b 2≤a21.答案：B2.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A.［－21，21］ B.［－2，2］C.［－1，1］D.［－4，4］ 解析：∵y 2=8x ，∴Q （－2，0）（Q 为准线与x 轴的交点），设过Q 点的直线l 方程为y = k （x +2）.∵l 与抛物线有公共点， y 2=8x ， y =k （x +8）即k 2x 2+（4k 2－8）+4k 2=0有解.∴Δ=（4k 2－8）2－16k 4≥0，即k 2≤1. ∴－1≤k ≤1. 答案：C3.直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是___________. 解析：将y =x －1代入抛物线y 2=4x ，经整理得x 2－6x +1=0.由韦达定理得x 1+x 2=6，221x x +=3， 221y y +=2221-+x x =226-=2.∴所求点的坐标为（3，2）. 答案：（3，2）4.在抛物线y =4x 2上求一点，使该点到直线y =4x －5的距离最短，该点的坐标是____________.解法一：设与y =4x －5平行的直线y =4x +b 与y =4x 2相切，则y =4x +b 代入y =4x 2，得 4x 2－4x －b =0. ①Δ=16+16b =0时b =－1，代入①得x =21，∴所求点为（21，1）.解法二：设该点坐标为A （x 0，y 0），那么有y 0=4x 02.设点A 到直线y =4x －5的距离为d ，则d =14|54|200+--y x =171|－4x 02+4x 0－5|=171|4x 02－4x 0+5|=171|4（x 0－21）2+1|. 当且仅当x 0=21时，d 有最小值， 将x 0=21代入y =4x 2解得y 0=1. 故A 点坐标为（21，1）.答案：（21，1）5.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A （0，9），其轨迹方程是y =ax 2+c （a ＜0），D =（6，7）为x 轴上的给定区间.∴方程组 有解，（1）为使物体落在D 内，求a （2）若物体运动时又经过点P （2，8.1），问它能否落在D 内？并说明理由. 解：（1）把点A 的坐标（0，9）代入y =ax 2+c 得c =9，即运动物体的轨迹方程为y =ax 2+9. 令y =0，得ax 2+9=0，即x 2=－a 9. 若物体落在D 内，应有6＜a9-＜7， 解得－41＜a ＜－499. （2）若运动物体又经过点P （2，8.1），则8.1=4a +9，解得a =－409，∴－41＜－409＜－499，∴运动物体能落在D 内.6.正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y =x +4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积.解：设CD 所在直线的方程为y =x +t ， y =x +t ， y 2=x ，x 2+（2t －1）x +t 2=0，∴｜CD ｜＝]4)21[(222t t -- ＝)41(2t -.又直线AB 与CD 间距离为｜AD ｜＝2|4|-t ，∵｜AD ｜＝｜CD ｜， ∴t =－2或－6.从而边长为32或52.面积S 1＝（32）2＝18，S 2=（52）2=50.培养能力7.给定抛物线y 2=2x ，设A （a ，0），a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜P A ｜=d ，试求d 的最小值.解：设P （x 0，y 0）（x 0≥0），则y 02=2x 0，∵ 消去y 得∴d =｜P A ｜=2020)(y a x +-=0202)(x a x +-=12)]1([20-+-+a a x . ∵a ＞0，x 0≥0，∴（1）当0＜a ＜1时，1－a ＞0， 此时有x 0=0时， d min =12)1(2-+-a a =a . （2）当a ≥1时，1－a ≤0， 此时有x 0=a －1时， d min =12-a .8.过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的弦AB ，点A 、B 在抛物线准线上的射影为A 1、B 1，求∠A 1FB 1.解：由抛物线定义及平行线性质知∠A 1FB 1=180°－（∠AF A 1+∠BFB 1） =180°－21（180°－∠A 1AF ）－21（180°－∠B 1BF ） =21（∠A 1AF +∠B 1BF ）=90°. 探究创新9.已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.①问△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由. ②当△ABC 为钝角三角形时，求这时点C 的纵坐标的取值范围. 解：（1）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x ，如下图.（2）①由题意得，直线AB y =－3（x －1）.y =－3（x －1）， 由 消去y ，得3x 2－10x +3=0.y 2=4x ，解得A （31，332），B （3，－23），若△ABC 能为正三角形， 设C （－1，y ），则|AC |=|AB |=|BC |，（31+1）2+（332－y ）2=（3－31）2+（23+332）2， ①（3+1）2+（23+y ）2=（3－31）2+（23+332）2. ②解得y =－9314.但y =－9314不符合（1），所以①②组成的方程组无解.因此直线l 上不存在点C 使△ABC是正三角形.②设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由y =－3（x －1），x =－1， 即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=928－334y +y 2，|BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当|BC |2＞|AC |2+|AB |2，即28+43y +y 2＞928－334y +y 2+9256，即y ＞923时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2＞|BC |2+|AB |2，即928－334y +y 2＞28+43y +y 2+9256，即y ＜－3103时，∠CBA 为钝角. 又|AB |2＞|AC |2+|BC |2，即9256＞928－334y +y 2+28+43y +y 2，即y 2+343y +34＜0，（y +32）2＜0. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是 y ＜－3310或y ＞932（y ≠23）. ∴得y =23，●思悟小结本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点： 1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质. ●教师下载中心 教学点睛本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质.难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用.建议在教学中注意以下几点：1.圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e =1时，表示抛物线；当e ＞1时，表示双曲线.2.由于抛物线的离心率e =1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的.3.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.4.求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.5.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化.拓展题例【例题】 （2003年北京东城区模拟题）已知抛物线C 1：y 2=4ax （a ＞0），椭圆C 以原点为中心，以抛物线C 1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为2，过抛物线C 1的焦点F 作倾斜角为4π的直线l ，交椭圆C 于一点P （点P 在x 轴上方），交抛物线C 1于一点Q （点Q 在x 轴下方）.（1）求点P 和Q 的坐标；（2）将点Q 沿直线l 向上移动到点Q ′，使|QQ ′|=4a ，求过P 和Q ′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程.解：（1）由题意可知F （a ，0），设椭圆方程为22m x +22ny =1（m ＞n ＞0）.n m=2， m 2=2a 2，m 2－n 2=a 2， n 2=a 2，∴椭圆方程为222a x +22ay =1，直线l ：y =x －a .y =x －a ，由 解得可求出P （34a ，31a ）.222a x +22a y =1， y =x －a ， y 2=4ax ， （2）将Q 点沿直线l 向上移动到Q ′点，使|QQ ′|=4a ，则可求出Q ′点的坐标为（3a ，2a ）.设双曲线方程为s x 2－ry 2=1（s ·r ＞0）.由于P 、Q ′在双曲线上，则有 s a 2)3(－r a 2)2(=1， s a 2)34(－ra 2)31(=1. s 1=2117a， r 1=21113a . ∴双曲线方程为2117a x 2－21113a y 2=1.由由 可求出Q （（3－22）a ，（2－22）a ）. 解得。
高三数学复习课件【抛物线】
[题点全练]
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角度(一) 利用抛物线的定义解决最值、距离问题
1．若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线 y2＝2x 的焦点，点 M 在抛
物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的 M 的坐标为( )
A．(0,0)
B.12，1
C．(1， 2)
D．(2,2)
解析：过点 M 作准线的垂线，垂足是 N，则|MF|＋|MA|＝|MN|
x2＝ －2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
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顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点 离心率
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2 e＝ 1
F0，－p2
准线方程 x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
x≥0，y∈
R
x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 焦半径 (其中
点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，
则点 M 的轨迹是
()
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
解析：由已知得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点 M
的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线．
答案：D
3．抛物线 8x2＋y＝0 的焦点坐标为________． 解析：由 8x2＋y＝0，得 x2＝－18y. ∴2p＝18，p＝116， ∴焦点为0，－312. 答案：0，－312
答案：D
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2．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线
的焦点坐标为
()
A．(－1,0)
高三数学抛物线课件
抛物线及其标准方程
定 平面内到定点F的距离与到定直线L的距离相等的点的轨 义 迹.其中定点F是抛物线的焦点;定直线L叫抛物线的准线.
y
yyLeabharlann y图FK
形 K0 F x F 0 Kx
0x K
F0 x
标准 方程
y2=2px (p＞0)
y2=-2px (p＞0)
x2=2py (p＞0)
x2=-2py (p＞0)
练1:P204例1变式；
典型例题: 例3:试分别求满足下列条件的抛物线的 标准方程,并求出对应抛物线的焦点和准 线方程. (1)过点(-3,2). (2)焦点在直线x-2y-4=0上.
典型例题:
例4:斜率为1的直线经过y2=4x的焦点, 与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的 长.
抛物线y2=2px的焦点弦AB 长公式: |AB|=x1+x2+P
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C
上三点,且|AF|,|BF|,|DF|成等差数列,
当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时, 求B点的坐标.
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急火燎地挂上电筒,然后拔通梅林客栈の订餐热线.这点小事都办不好,难怪被甩,哎...第129部分悠闲の午后,充满生活气息の办公地点,香味四溢.“...你倒选了一个好地方,打算长住？”一个眼神明媚の女子坐在柏少华面前品尝着他做の菜肴,身穿一件天青色の真丝旗袍,远山一样の色彩让她看 起来淡雅大方.她是个很好看の女人,浓妆淡抹,玉音婉转,拥有一股含蓄优雅の韵味.“看情况,目前觉得挺好.”柏少华笑了笑,旁边の水开了,他往里边加了一小勺盐,一小勺橄榄油,取出适合一个人分量の通心面往锅里哗啦一放,一把整齐の意面像绽放在