高三数学复习专题课件:8.3抛物线
高三数学抛物线课件

典型例题: 例1:已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
求它的焦点坐标和准线方程;
变式:已知抛物线的方程是y=-6x2, 求它的焦点坐标和准线方程;
典型例题: 例2:动点P到直线x+4=0的距离减去它 到点(2,0)的距离之差等于2,则P点的 轨迹方程是:_____________
练1:P204例1变式;
抛物线及其标准方程
定 平面内到定点F的距离与到定直线L的距离相等的点的轨 义 迹.其中定点F是抛物线的焦点;定直线L叫抛物线的准线.
y
y
y
y
图
F
K
形 K0 F x F 0 Kx
0x K
F0 x
标准 方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
弦,F为焦点,A(x1,y1),B(x2,y2):
①|AB|=x1+x2+P
②y1y2=-p2
③x1x2=
p2 4
④以AB为直径的圆与抛物线准线相切
;图文快印 图文快印
;
别来无恙乎,挑帘入座,可对弈纵横、把盏擎歌,可青梅煮酒、红袖添香 国学大师陈寅恪,托十载光阴,毕暮年全部心血,著皇皇80万言《柳如是别传》。我想,灵魂上形影相吊,慰先生枯寂者,唯有这位300年前的秦淮女子了。其神交之深、之彻,自不待言。 6 古人尚神交古人,今 人当如何? 附庸风雅的虚交、名利市场的攀交、蜂拥而上的公交、为稻粱谋的业交,甚嚣尘上,尤其炒栗子般绽爆的“讲坛热”“国学热”“私塾热”“收藏热”“鉴宝热”“拍卖热”。但人生意味的深交、挚交,纯粹的君子之交、私人的精神之恋,愈发稀罕。 读闲书者少了,读古人 者少了,读古心者更少。 星转斗移,今心性已大变。
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习

A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意,知抛物线的焦点坐标为( ,0),椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 = 2 ,解得 p =8,故选D.
D )
2 ,0),
5. 已知抛物线 y 2=2 px ( p >0)的焦点为 F ,点 M (2,2 2 )为抛物线上一点,则
|MF|=(
A. 2
2
即 p =2,所以A选项正确.
= − 3( − 1),
对于B,不妨设 M ( x 1, y 1), N ( x 2, y 2), x 1< x 2,联立方程得 2
= 4,
1
消去 y 并整理得3 x 2-10 x +3=0,解得 x 1= , x 2=3.由抛物线的定义得,| MN|=
x 1+ x 2+ p =
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2,2 2 )为抛物线上一点,所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2=2 px ( p >0),可得 p =2,所以抛物线的方程为 y 2=4 x ,可得其准线方程为 x =
-1.根据抛物线的定义,得| MF |=2-(-1)=3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB = ×| AB |× ×
2
2
由(2)的推导过程可得,
sin
1
||
2
+
= 2 ,
1−cos
1+cos
si
1
2
α= × 2 × ×
2
si
2
+
高考数学一轮复习人教A版抛物线名师精编课件(48张)

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第十章·第一节
将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6.∵ 6>2,∴A 在 抛物线内部,如图. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 2的距离为 d,由定义知|PA | 7 +|PF|= |PA |+d,当 PA⊥l 时, |PA |+d 最小,最小值为 ,即 |PA | 2 7 +|PF|的最小值为 2,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2, ∴点 P 的坐标为(2,2).
答案:9
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第十章·第一节
知识点二 标准 方程
抛物线的标准方程与几何性质 y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
y2=2px (p>0)
图形
范围
x≥0,y∈R
______ ______
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
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答案:(1)D (2)B
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第十章·第一节
热点三 直线与抛物线的位置关系 考向 1 焦点弦问题 【例 3】 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直 线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB |=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值.
准线于点 E,D,
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第十章·第一节
设|BF|=a,则由已知得: |BC|=2a, 由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30° , 在直角三角形 ACE 中,因为|AF|=3, |AC|=3+ 3a,又 2|AE| 1 2 =|AC|,所以 3+3a=6,从而得 a=1,因为 BD∥FG,所以 =3, p 3 求得 p=2,因此抛物线方程为 y2=3x.
高考数学一轮专项复习ppt课件-抛物线(一)(通用版)

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第24页
(1)解析:如图,作 MD⊥EG 于 D,由 M(x0,2 2)x0>p2在抛物线 C 上,得 8=2px0, 将∠MFG 放在直角三角形中便于运算.
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第1页
解析几何
抛物线(一)
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第2页
复习要点 1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中 的应用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质.3.了解抛物线 的简单应用.
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第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
如图所示,此时 d1+d2 的值最小,最小值为点 F 到直线 x+y-4=0 的距离.
∵F(-1,0),∴(d1+d2)min=|-1+20-4|=5
2
2 .
解析
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第22页
题型 抛物线的标准方程
典例 2 (1)(2024·江西九所重点中学联考)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,
高考一轮总复习•数学
第12页
4.(2024·福建龙岩模拟)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 A,以 AF 为直径的圆在第一象限交抛物线于点 B,则F→A·F→B=_6_-__2__5__.
解析:设 B(x0,y0).由题意知 F(1,0),以 AF 为直径的圆为 x2+y2=1,由方程组
高中数学--抛物线PPT课件

3+1p62 ,0),
考 情
抛物线的准线方程为x=-p2,
典 例
∴-
3+1p62 =-p2,∴p2=16,
课
探 究
又p>0,则p=4.
后 作
·
业
提
知 能
【答案】 4
菜单
新课标 ·文科数学(安徽专用)
高
自
考
主
体
落
验
实
·
· 固
(1)(2013·惠州质检)设圆 C 与圆 C′:x2+(y-3)2=1 外切,
y=p2
离心率
典
e=1
例
课
探
后
究
· 提 知 能
焦半径
|PF|=x0 |PF|=
+p2
-__x_0_+__p2_
|PF|= _y_0+__p2__
|PF|=- y0+p2
作 业
菜单
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高
自
考
主
体
落 实
1.在抛物线的定义中,若定点F在直线l上,动点P的轨 验 ·
·
固 迹还是抛物线吗?
菜单
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自
4.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上
高 考
主
落 的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为( )
体 验
实
·
· 固
A.4
B.-2
明 考
基
情
础
C.4或-4 D.12或-2
【解析】 设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
典
由题意知p2+2=4,
例
探
课 后 作
·
抛物线-版高三数学(新高考)一轮复习优质ppt课件

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知识梳理 • 双基自测
第八章 解析几何
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知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件: (1)在平面内; (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离___相__等___; (3)定点F与定直线l的关系为___点__F_∉_l___.
第八章 解析几何
第八章 解析几何
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抛物线焦点弦的处理规律 直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 如图. (1)y1y2=-p2,x1x2=p42. (2)|AB|=x1+x2+p,x1+x2≥2 x1x2=p, 即当x1=x2时,弦长最短为2p. (3)|A1F|+|B1F|=2p.
F__(_0_,__-__p2_)___
___x_=__-_p2____
__x_=__p2____
__y_=__-__p2____
___y_=__p2___
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第八章 解析几何
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题组二 走进教材
2.(必修2P69例4)(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线
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高三总复习数学课件 抛物线

p =tan ∠PQF,所以||OPFF||=||FPFQ||,即2p=p6,解得 p=3,所以 C 的准线方程为 x=-32.
[逐点清] 2.(选择性必修第一册 133 页练习 3 题改编)抛物线 y2=10x 的焦点到准线的距离是
________.
解析:因为 2p=10,所以 p=5,即焦点到准线的距离是 5.
答案:5
[记结论]
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设 AB 是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),α 为弦 AB 的倾斜角,则:
顶点 对称轴 焦点 离心率
Fp2,0
O(0,0) x轴
F-p2,0 e=1
y轴
F0,p2
F0,-p2
准线方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
开口方向 焦半径(其中
P(x0,y0))
x≥0,y∈R 向右
|PF|=x0+p2
x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
向左
向上
向下
|PF|=-x0+p2 |PF|=y0+p2 |PF|=-y0+p2
B,交其准线 l 于点 C,若 F 是 AC 的中点,且|AF|=4,则线
段 AB 的长为
()
A.5
B.6
C.136
D.230
解析:因为|AF|=4,所以点 A 到准线 l 距离为 4,又 F 为 AC 中点,所以焦点 F
到准线 l 距离为 2,即 p=2.由结论知|A1F|+|B1F|=2p,所以|BF|=43,所以|AB|
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2.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点, 若|AF|=3,则|BF|=________.
解析:因为抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0). 显然,当 AB 垂直于 x 轴时,|AF|≠3, 所以 AB 的斜率 k 存在, 设 AB 的方程为 y=k(x-1),与抛物线 y2=4x 联立, 消去 y 得 k2x2-2k2x-4x+k2=0, 即 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
(4)求定值.可借助于已知条件,将直线与抛物线联立,寻 找待定式子的表达式,化简即可得到.
已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2=
2py(p>0)相交于
B,C
两点.当直线
l
的斜率是1时, 2
。
(1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围.
半轴上,所以焦点坐标为0,18.
4.抛物线的焦点为椭圆
x2 9
+
y2 4
=1的左焦点,
顶点为椭圆中心,则抛物线方程为________.
解析:由c2=9-4=5,得F(- 5,0), 则抛物线方程为y2=-4 5x. 答案:y2=-4 5x
5.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线
则抛物线的方程是( )
A.y2=-8x
B.y2=-4x
C.y2=8x
D.y2=4x
解析:选C 由抛物线准线方程为x=-2知p= 4,且开口向右,故抛物线方程为y2=8x.
2.抛物线 y=1x2 的准线方程是( ) 4
A.y=-1
B.y=-2
C.x=-1
D.x=-2
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《抛物线》课件ppt

(2)过点(3,-4);
∵点(3,-4)在第四象限,∴抛物线开口向右或向下, 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0). 把 点 (3 , - 4) 的 坐 标 分 别 代 入 y2 = 2px 和 x2 = - 2p1y 中 , 得 ( - 4)2 = 2p·3,32=-2p1·(-4), 则 2p=136,2p1=94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2=136x 或 x2=-94y.
准线交于点 D.若|AF|=8,则以下结论正确的是
√A.p=4 √C.|BD|=2|BF|
√B.D→F=F→A
D.|BF|=4
如图所示,分别过点 A,B 作抛物线 C 的准线的垂线,垂足分别为点 E, M,连接 EF.设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 P,则|PF|=p.因为直线 l 的 斜率为 3,所以其倾斜角为 60°. 因为AE∥x轴,所以∠EAF=60°, 由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|, 则△AEF为等边三角形, 所以∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°, 所以|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,得p=4, 故A正确;
__-__p2_,__0_
__0_,__p2__
_0_,__-__p2__
__x_=__-__p2__
__x_=__p2__
__x轴___
___y_=__-__p2__
__y_=__p2__
__y_轴__
__(0_,_0_)_
e=_1__
常用结论
1.通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 P(x0,y0)到焦点 Fp2,0的距离|PF|=x0+p2, 也称为抛物线的焦半径.
抛物线课件高三数学一轮复习

=0,解得 p =-42(舍去)或 p =6.故选C.
法二
根据抛物线的定义及题意得,点 A 到 C 的准线 x =- 的距离为
2
12,因为点 A 到 y 轴的距离为9,所以 =12-9,解得 p =6.故选C.
2
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2. (2024·全国乙卷13题)已知点 A (1, 5 )在抛物线 C : y 2=2 px
1|≥3,故点 M 到 x 轴的距离 d ≥2,故最短距离为2.
目录
高中总复习·数学(提升版)
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】 (1)已知 F 为抛物线 C : y 2=2 px ( p >0)的焦点,过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M , N 两点,以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C , D 两点,且| CD |=3,则抛物线方程为(
上,则 A 到 C 的准线的距离为
9
4
.
解析:∵点 A (1, 5 )在抛物线 y 2=2 px 上,∴5=2 p ,得 p =
5
5
9
,∴点 A 到准线的距离为 xA + =1+ = .
2
2
4
4
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高中总复习·数学(提升版)
直线与抛物线的位置关系
【例4】 (多选)(2024·新高考Ⅱ卷10题)设 O 为坐标原点,直线 y
2. 抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时,关键是将抛物线方程
化成标准方程;
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性Байду номын сангаас简化运算.
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高中总复习·数学(提升版)
高三数学第一轮复习(新人教A):8.3 抛物线

8.3 抛物线定义到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹方程1.y 2=2px (p ≠0),焦点是F (2p,0) 2.x 2=2py (p ≠0),焦点是F (0,2p)性质 S :y 2=2px (p >0) 1.范围:x ≥02.对称性:关于x 轴对称3.顶点:原点O4.离心率:e =15.准线:x =-2p6.焦半径P (x ,y )∈S ,|PF |=x +2p 对于抛物线x 2=2py (p >0),其性质如何?焦半径公式如何推导? ●点击双基1.在抛物线y 2=2px 上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p 的值为A.21B.1C.2D.4 解析:抛物线的准线方程为x =-2p ,由抛物线的定义知4+2p=5,解得P =2.答案:C2.设a ≠0,a ∈R ,则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为 A.(a ,0) B.(0,a )C.(0,a161) D.随a 符号而定解析:化为标准方程. 答案:C3.以抛物线y 2=2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴位置关系为 A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 解析:利用抛物线的定义. 答案:C4.以椭圆252x +162y =1的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点,则|AB |的值为___________.解析:中心为(0,0),左准线为x =-325,所求抛物线方程为y 2=3100x .又椭圆右准线方程为x =325,联立解得A (325,350)、B (325,-350). ∴|AB |=3100.答案:31005.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:①焦点在y 轴上;②焦点在x 轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.(要求填写合适条件的序号) 解析:由抛物线方程y 2=10x 可知②⑤满足条件. 答案:②⑤ ●典例剖析【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x -2y -4=0上.剖析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ;从实际分析,一般需确定p 和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论.解:(1)设所求的抛物线方程为y 2=-2px 或x 2=2py (p >0), ∵过点(-3,2),∴4=-2p (-3)或9=2p ·2.∴p =32或p =49.∴所求的抛物线方程为y 2=-34x 或x 2=29y ,前者的准线方程是x =31,后者的准线方程是y =-89.(2)令x =0得y =-2,令y =0得x =4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时,2p=4,∴p =8,此时抛物线方程y 2=16x ;焦点为(0,-2)时,2p=2,∴p =4,此时抛物线方程为x 2=-8y .∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=-8y ,对应的准线方程分别是x =-4,y =2.评述:这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解.【例2】如下图所示,直线l 1和l 2相交于点M ,l 1⊥l 2,点N ∈l 1,以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM |=17,|AN |=3,且|NB |=6,建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.ABNMl l 12剖析:由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当的直角坐标系,设出抛物线方程,由条件求出待定系数即可,求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围.解:以直线l 1为x 轴,线段MN 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px (p >0)(x A ≤x ≤x B ,y >0),其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标,p =|MN |,所以M (-2p ,0) 、N (2p,0). 由|AM |=17,|AN |=3,得(x A +2p )2+2px A =17, ① (x A -2p)2+2px A =9.②①②联立解得x A =p4,代入①式,并由p >0, p =4, p =2, x A =1 x A =2. 因为△AMN 为锐角三角形,所以2p>x A . P =2, P =4, x A =2. x A =1.由点B 在曲线段C 上,得x B =|BN |-2p =4. 综上,曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4,y >0).评述:本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.【例3】 设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .剖析:证直线AC 经过原点O ,即证O 、A 、C 三点共线,为此只需证k OC =k OA .本题也可结合图形特点,由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.证法一:设AB :x =my +2p,代入y 2=2px ,得y 2-2pmy -P 2=0.由韦达定理,得y A y B =-p 2,即y B =-Ay p 2.解得 或 故舍去 所以∵BC ∥x 轴,且C 在准线x =-2p上, ∴C (-2p,y B ). 则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA .故直线AC 经过原点O .证法二:如下图,记准线l 与x 轴的交点为E ,过A 作AD ⊥l ,垂足为D .xy O ABCDE NF l则AD ∥EF ∥BC .连结AC 交EF 于点N ,则||EN =||CN =||||AB BF ,BC NF ||=||||AB AF .∵|AF |=|AD |,|BF |=|BC |,∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |,即N 是EF 的中点.从而点N 与点O 重合,故直线AC 经过原点O .评述:本题的“几何味”特别浓,这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中,关键是得到y A ·y B =-p 2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识,这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.思考讨论本题也可用平面向量来证明,读者不妨一试.●闯关训练 夯实基础1.设a >0,f (x )=ax 2+bx +c ,曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,4π],则P 到曲线y =f (x )对称轴距离的取值范围为 A.[0,a 1] B.[0,a 21]C.[0,|a b 2|]D.[0,|ab 21-|]解析:tan α=k =f ′(x )=2ax +b , ∴0≤2ax 0+b ≤1.∴0≤x 0+a b 2≤a21.答案:B2.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是A.[-21,21] B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4] 解析:∵y 2=8x ,∴Q (-2,0)(Q 为准线与x 轴的交点),设过Q 点的直线l 方程为y = k (x +2).∵l 与抛物线有公共点, y 2=8x , y =k (x +8)即k 2x 2+(4k 2-8)+4k 2=0有解.∴Δ=(4k 2-8)2-16k 4≥0,即k 2≤1. ∴-1≤k ≤1. 答案:C3.直线y =x -1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是___________. 解析:将y =x -1代入抛物线y 2=4x ,经整理得x 2-6x +1=0.由韦达定理得x 1+x 2=6,221x x +=3, 221y y +=2221-+x x =226-=2.∴所求点的坐标为(3,2). 答案:(3,2)4.在抛物线y =4x 2上求一点,使该点到直线y =4x -5的距离最短,该点的坐标是____________.解法一:设与y =4x -5平行的直线y =4x +b 与y =4x 2相切,则y =4x +b 代入y =4x 2,得 4x 2-4x -b =0. ①Δ=16+16b =0时b =-1,代入①得x =21,∴所求点为(21,1).解法二:设该点坐标为A (x 0,y 0),那么有y 0=4x 02.设点A 到直线y =4x -5的距离为d ,则d =14|54|200+--y x =171|-4x 02+4x 0-5|=171|4x 02-4x 0+5|=171|4(x 0-21)2+1|. 当且仅当x 0=21时,d 有最小值, 将x 0=21代入y =4x 2解得y 0=1. 故A 点坐标为(21,1).答案:(21,1)5.下图所示的直角坐标系中,一运动物体经过点A (0,9),其轨迹方程是y =ax 2+c (a <0),D =(6,7)为x 轴上的给定区间.∴方程组 有解,(1)为使物体落在D 内,求a (2)若物体运动时又经过点P (2,8.1),问它能否落在D 内?并说明理由. 解:(1)把点A 的坐标(0,9)代入y =ax 2+c 得c =9,即运动物体的轨迹方程为y =ax 2+9. 令y =0,得ax 2+9=0,即x 2=-a 9. 若物体落在D 内,应有6<a9-<7, 解得-41<a <-499. (2)若运动物体又经过点P (2,8.1),则8.1=4a +9,解得a =-409,∴-41<-409<-499,∴运动物体能落在D 内.6.正方形ABCD 中,一条边AB 在直线y =x +4上,另外两顶点C 、D 在抛物线y 2=x 上,求正方形的面积.解:设CD 所在直线的方程为y =x +t , y =x +t , y 2=x ,x 2+(2t -1)x +t 2=0,∴|CD |=]4)21[(222t t -- =)41(2t -.又直线AB 与CD 间距离为|AD |=2|4|-t ,∵|AD |=|CD |, ∴t =-2或-6.从而边长为32或52.面积S 1=(32)2=18,S 2=(52)2=50.培养能力7.给定抛物线y 2=2x ,设A (a ,0),a >0,P 是抛物线上的一点,且|P A |=d ,试求d 的最小值.解:设P (x 0,y 0)(x 0≥0),则y 02=2x 0,∵ 消去y 得∴d =|P A |=2020)(y a x +-=0202)(x a x +-=12)]1([20-+-+a a x . ∵a >0,x 0≥0,∴(1)当0<a <1时,1-a >0, 此时有x 0=0时, d min =12)1(2-+-a a =a . (2)当a ≥1时,1-a ≤0, 此时有x 0=a -1时, d min =12-a .8.过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦AB ,点A 、B 在抛物线准线上的射影为A 1、B 1,求∠A 1FB 1.解:由抛物线定义及平行线性质知∠A 1FB 1=180°-(∠AF A 1+∠BFB 1) =180°-21(180°-∠A 1AF )-21(180°-∠B 1BF ) =21(∠A 1AF +∠B 1BF )=90°. 探究创新9.已知动圆过定点P (1,0),且与定直线l :x =-1相切,点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程;(2)设过点P ,且斜率为-3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.①问△ABC 能否为正三角形?若能,求点C 的坐标;若不能,说明理由. ②当△ABC 为钝角三角形时,求这时点C 的纵坐标的取值范围. 解:(1)依题意,曲线M 是以点P 为焦点,直线l 为准线的抛物线,所以曲线M 的方程为y 2=4x ,如下图.(2)①由题意得,直线AB y =-3(x -1).y =-3(x -1), 由 消去y ,得3x 2-10x +3=0.y 2=4x ,解得A (31,332),B (3,-23),若△ABC 能为正三角形, 设C (-1,y ),则|AC |=|AB |=|BC |,(31+1)2+(332-y )2=(3-31)2+(23+332)2, ①(3+1)2+(23+y )2=(3-31)2+(23+332)2. ②解得y =-9314.但y =-9314不符合(1),所以①②组成的方程组无解.因此直线l 上不存在点C 使△ABC是正三角形.②设C (-1,y )使△ABC 成钝角三角形,由y =-3(x -1),x =-1, 即当点C 的坐标为(-1,23)时,A 、B 、C 三点共线,故y ≠23.又|AC |2=(-1-31)2+(y -332)2=928-334y +y 2,|BC |2=(3+1)2+(y +23)2=28+43y +y 2,|AB |2=(316)2=9256.当|BC |2>|AC |2+|AB |2,即28+43y +y 2>928-334y +y 2+9256,即y >923时,∠CAB 为钝角. 当|AC |2>|BC |2+|AB |2,即928-334y +y 2>28+43y +y 2+9256,即y <-3103时,∠CBA 为钝角. 又|AB |2>|AC |2+|BC |2,即9256>928-334y +y 2+28+43y +y 2,即y 2+343y +34<0,(y +32)2<0. 该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角.因此,当△ABC 为钝角三角形时,点C 的纵坐标y 的取值范围是 y <-3310或y >932(y ≠23). ∴得y =23,●思悟小结本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点: 1.求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律,一般用轨迹法.2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算.3.解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质. ●教师下载中心 教学点睛本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质.难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用,关键是定义的运用.建议在教学中注意以下几点:1.圆锥曲线统一定义:平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹,当0<e <1时,表示椭圆;当e =1时,表示抛物线;当e >1时,表示双曲线.2.由于抛物线的离心率e =1,所以与椭圆及双曲线相比,它有许多特殊的性质,而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的.3.抛物线方程中,字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离,2p等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.4.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物线标准方程.5.在解题中,抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系,所以要注意相互转化.拓展题例【例题】 (2003年北京东城区模拟题)已知抛物线C 1:y 2=4ax (a >0),椭圆C 以原点为中心,以抛物线C 1的焦点为右焦点,且长轴与短轴之比为2,过抛物线C 1的焦点F 作倾斜角为4π的直线l ,交椭圆C 于一点P (点P 在x 轴上方),交抛物线C 1于一点Q (点Q 在x 轴下方).(1)求点P 和Q 的坐标;(2)将点Q 沿直线l 向上移动到点Q ′,使|QQ ′|=4a ,求过P 和Q ′且中心在原点,对称轴是坐标轴的双曲线的方程.解:(1)由题意可知F (a ,0),设椭圆方程为22m x +22ny =1(m >n >0).n m=2, m 2=2a 2,m 2-n 2=a 2, n 2=a 2,∴椭圆方程为222a x +22ay =1,直线l :y =x -a .y =x -a ,由 解得可求出P (34a ,31a ).222a x +22a y =1, y =x -a , y 2=4ax , (2)将Q 点沿直线l 向上移动到Q ′点,使|QQ ′|=4a ,则可求出Q ′点的坐标为(3a ,2a ).设双曲线方程为s x 2-ry 2=1(s ·r >0).由于P 、Q ′在双曲线上,则有 s a 2)3(-r a 2)2(=1, s a 2)34(-ra 2)31(=1. s 1=2117a, r 1=21113a . ∴双曲线方程为2117a x 2-21113a y 2=1.由由 可求出Q ((3-22)a ,(2-22)a ). 解得。
高三数学复习课件【抛物线】

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角度(一) 利用抛物线的定义解决最值、距离问题
1.若点 A 的坐标为(3,2),F 是抛物线 y2=2x 的焦点,点 M 在抛
物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的 M 的坐标为( )
A.(0,0)
B.12,1
C.(1, 2)
D.(2,2)
解析:过点 M 作准线的垂线,垂足是 N,则|MF|+|MA|=|MN|
x2= -2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
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顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点 离心率
Fp2,0
F-p2,0
F0,p2 e= 1
F0,-p2
准线方程 x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
x≥0,y∈
R
x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 焦半径 (其中
点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,
则点 M 的轨迹是
()
A.双曲线
B.椭圆
C.圆
D.抛物线
解析:由已知得|MF|=|MB|,根据抛物线的定义知,点 M
的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l 为准线的抛物线.
答案:D
3.抛物线 8x2+y=0 的焦点坐标为________. 解析:由 8x2+y=0,得 x2=-18y. ∴2p=18,p=116, ∴焦点为0,-312. 答案:0,-312
答案:D
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2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线
的焦点坐标为
()
A.(-1,0)
高三数学抛物线课件

抛物线及其标准方程
定 平面内到定点F的距离与到定直线L的距离相等的点的轨 义 迹.其中定点F是抛物线的焦点;定直线L叫抛物线的准线.
y
yyLeabharlann y图FK
形 K0 F x F 0 Kx
0x K
F0 x
标准 方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
练1:P204例1变式;
典型例题: 例3:试分别求满足下列条件的抛物线的 标准方程,并求出对应抛物线的焦点和准 线方程. (1)过点(-3,2). (2)焦点在直线x-2y-4=0上.
典型例题:
例4:斜率为1的直线经过y2=4x的焦点, 与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的 长.
抛物线y2=2px的焦点弦AB 长公式: |AB|=x1+x2+P
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C
上三点,且|AF|,|BF|,|DF|成等差数列,
当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时, 求B点的坐标.
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急火燎地挂上电筒,然后拔通梅林客栈の订餐热线.这点小事都办不好,难怪被甩,哎...第129部分悠闲の午后,充满生活气息の办公地点,香味四溢.“...你倒选了一个好地方,打算长住?”一个眼神明媚の女子坐在柏少华面前品尝着他做の菜肴,身穿一件天青色の真丝旗袍,远山一样の色彩让她看 起来淡雅大方.她是个很好看の女人,浓妆淡抹,玉音婉转,拥有一股含蓄优雅の韵味.“看情况,目前觉得挺好.”柏少华笑了笑,旁边の水开了,他往里边加了一小勺盐,一小勺橄榄油,取出适合一个人分量の通心面往锅里哗啦一放,一把整齐の意面像绽放在