美国高中数学邀请赛(AIMEⅡ2014)试题与解答
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（等；）熹口南＋（１Ｂｎ－＋１）而１
６南≥Ａ＋Ｂ．
根据以上不等式，可以用归纳法得到一个更有 用的不等式。
即
塾一行
ｎＬｌ
＼一
淳
ｆｌＬｎ
（２）若ｍ１，ｍ２…ｍ。一１，则（ｍ１）”１＋（ｍ２）一１＋
（ｍ。）Ｈ≥上＋土＋…＋上．
ｍ２
证明：｛（ｍ１）一１＋（ｍ２）一１＋…（ｍ。）”１｝・ ｛（ｍ ２）”＋（优３）”＋…＋（ｍ１）”｝…｛（ｍ。）一１＋
．。．当ｑ＋１一行时，ｑ—ｎ－－１，
下面使用赫尔德不等式证明：
证法１：因为茅苦＋矛备一１，
目（丛≠）…１２＿（ｍ）者≥Ａ＋Ｂ
∞ｆ％笋）”１（Ａ”１＋Ｂ”ｌｎ”）而ｌ≥Ａ＋Ｂ
则原式甘ｆ令≥＋号≥）南（盘＋６）南≥Ａ＋Ｂ
妻鲁≥望≥些．
Ｊ一１＾ｉ
（１）堕垫ｄ旦±生≥沤瓦丽，由
Ｈｏｌｄｅｒ不等式：
（ ｍ ＋吼 ＋丑 一
（ｓ一３）＋（ｒ＋Ｓ＋］）（一，Ｊ—Ｓ一］）．
万方数据
上海中学数学・２０１４年第５期
４７
化简得５一半
（‘ｒ—Ｓ）（．ｒ＋ｒ＋Ｓ）＋２４０，
（１）
２￣／１一ｒ．在Ｒｔ△ＤＥＦ中，由勾股定理得（２—３ｒ＋
．，ｉｉ
．）
，．
又Ｐ（Ｌｒ）一（，ｒ—ｒ）（．ｒ—Ｓ）（Ｔ＋ｒ＋ｓ），ｑ（Ｔ）一 （ｚ—ｒ一４）（．ｒ—ｓ＋３）（．￡’＋ｒ＋５＋１），
丽 匀骰子的概率为１一而１一而１６，所以第三次还是６的
概率为詈一南ｘ百１十，而１６×号一盖，则ｐ＋ｑ＝１６７．
７．当．ｒ是奇数时，ＣＯＳ（Ｔｒ．ｚ’）一一１，所以厂（Ｔ）一
（Ｔ２＋３ｘ
ｑ－２）＿１一石可可赢，当－ｒ是偶数时，
２（＋２）～”。台。…７’
， ｒ‘ｐ Ｊ
ｃｏｓ（丌Ｌｒ）一１，所以ｆＣｒ）一．ｒ２＋３＿＋２一（．ｒ＋１）（．ｒ＋２）．
１９丽％１一１９２（卅２）一１，
Ｌ一。（胛≥４），求得： Ｔ６—４４，丁，一８１，丁９—２７４，所以Ａ。。一２７４＋８１ ＋８８—４４３．又１０把椅子选出若干把的选法总数为 ２１０种，所以满足题意的选法数为２１。一４４３＝５８１种．
ＺＴ叫
Ｚ
ｌｇ半ｌ—ｌ，所以
１０．由÷一』＋』得÷一塑，肌榭一
叫
ＺＴ叫２柚
上海中学数学・２０１４年第５期
美国高中数学邀请赛（ＡＩＭＥⅡ２０１４）试题与解答
２００００ｌ
上海市格致中学
殷琦涛
朱兆和
１．亚伯粉刷房子需要１５小时，贝亚粉刷房子 的速度比亚伯快５０％，科埃粉刷房子的速度是亚伯 的两倍．开始粉刷时，亚伯先单独工作了１．５小时， 然后贝亚加入进来，两人一起工作；当房子的一半粉 刷完时，科埃也加入进来，三人一起工作，直至房子 粉刷完．问：粉刷完这问房子共用了多少分钟时间？ ２．阿诺德研究三种健康风险因子Ａ，Ｂ，Ｃ在男 性人口中的流行性．在男性中随机选一人，他仅有一 种健康风险因子（但没有其他两种）的概率是０．１ ５ 他仅有其中两种健康风险因子（但没有第三种）的概 率是０．１４．在同时有Ａ，Ｂ两种健康风险因子的男
厅
√３…，又ｌｚＩ一２０１４，即此正三角形边长为２０１４√３，所
匝
￣／ＣＥ２一ＥＦ２一￣／（２一ｒ）２一ｒ２
—２￣／１一ｒ．ＤＦ一２—３ｒ＋
图３
以面积Ｓ一咩（２０１４４§－）２一州３，则，ｚ一３×（１００７）２，
２￣／Ｆ了）ｚ＋ｒｚ一１６ｒ：，解得ｒ一尘坐掣，所以ｏＤ
的半径３ｒ一４￣／１５—１４．由￣／ｍ一九一４￣／１５—１４，且 ｍ、行是正整数，所以ｍ一２４０，ｎ一１４，即ｍ＋行一
２５４．
则（．ｒ—ｒ一４）（＿一ｓ＋３）（丁＋ｒ＋５＋１）一（ｚ—ｒ） 令。ｚ１一ｒ，则有（ｒ—ｓ＋３）（２ｒ＋５＋１）＋６０—０，将 （１）代入有（３ｒ＋７）（３ｒｑ－５）＝８０，解得ｒ一１或ｒ一一５．
当ｒ一１时，Ｓ一９，ｂ—ｒｓ（，Ｊ＋Ｓ）一９０，当ｒ一一５ 时，ｓ一一６，６一ｒｓ（，Ｊ＋Ｓ）一一３３０．
９．先考虑一般情况下的线性排列问题：将行把 椅子从１到行进行编号，排成ｌ，２，３…７２一排．从这 行把椅子中取出若干把椅子，没有三把（或以上）椅 子相邻的选取方法为Ｔ。种（可以一把都不选），则 有Ｔ１—２，丁２—４，丁３—７． 当ｎ）４时，考虑编号为１的椅子： 若１号椅子没选，则在剩下的行一１把椅子中无 三把相邻即可，所以有丁。一。种情况． 若１号椅子被选，分两种情况： （１）２号没选，则剩下的咒一２把椅子中无三把 相邻即可，所以有丁。一。种情况； （２）２号被选，则３号不能选，所以在剩下的咒 一３把椅子中无三把相邻即可，所以有丁。。种情况． 综上知：当ｎ≥４时，Ｔ。一丁。，＋丁。一２＋丁。一。． 现将这以把椅子排成一圈（１号与九号相邻）， 从中选出若干把椅子，无三把相邻的选法为Ａ。种， 对１号椅子进行分类： （１）１号没选，则只需在２到７２号这ｒ／一１把椅 子中选出若干把，无三把相邻即可，有丁。一。种选法． （２）１号被选，再对２号与胛号分类： ①２号与竹号有一把被选，如２号被选，则只需 在剩下的４到咒一１号这祝一４把椅子中选取若干 把，无三把相邻即可，所以有丁。一。种选法；同样若７２ 号被选也有丁。一。种选法，故有２Ｔ。一；种选法； ②２号与九号都没选，则只需在３到７ｚ一１这 起一３把椅子中选出若干把无三把相邻即可，有Ｔ。。 种选法． 综上知：Ａ。一Ｔ。。＋Ｔ。一。４－２丁，，． 当行一１０时，从１０把环排列的椅子中选出若干 把，无三把相邻的选法为Ａ，。一Ｔ。＋丁，＋２瓦．
９９２，因为Ｏ≤ｃ≤９，所以９９２～９９≤２２１ ｎ６≤９９２，得 ａｂ＝４４，则１１Ｃ一７７，ｃ一７，所以ａｂｃ一４４７． ５．由题意：ｒ，Ｓ，一ｒ—Ｓ是方程Ｐ（‘，ｒ）一０的三 根，ｒ＋４，ｓ一３，一１一ｒ—ｓ是方程ｑ（．ｒ）一０的三个 根．根据韦达定理：ａ—Ｋｓ４－（ｒ＋５）（一ｒ—ｓ）一（ｒ＋４）
万方数据
上海中学数学・２０１４年第５期 边形的面积与原来的矩形面积相等，求ｎ２的值 脚的鞋与右脚的鞋配成一双，在配对过程中，不考虑 这两只鞋是否是原来的一双．从小孩配对的１０双鞋 中，对小于５的一切正整数ｋ，不存在ｋ双鞋恰好是 其中ｋ个人的鞋，这种情况发生的概率是竺，其中
，￡
ｍ，订是互质的正整数，求ｍ＋以的值． １４．在△ＡＢＣ中，ＡＢ一１０，么Ａ一３０。，么Ｃ一
予一南一丽２１卿夕＋ｑ＝７６．
ｌｘｑ－ｙ＝１－－３×０．１４－－３×０．１
…、，所以 ｌＪ…１
冽
的半径是￣／ｍ一咒，其中ｍ，行是正整数，求ｍ＋扎的值．
９．将１０把椅子排成一圈，从中选出若干把椅子， 若选出的椅子中至少有三把相邻，求不同选法的种数． １０．复数ｚ满足Ｉ
１ １
２ｌ一２０１４，复数，ＣＯ满足÷一
由１１１—２，Ｔ２—４，Ｔ。一７及丁。一丁。一，＋丁。一２＋
所以所有满足条件的ｂ的绝对值之和为３３０＋
９０—４２０．
６．均匀的骰子抛两次都是６的概率为去，不均 Ｊｂ
匀的骰子抛两次都是６的概率为妻一再１６，所以前两
了 ＪＯ
次都是６的概率为鬈．因为他前两次抛掷都为６，所
１
以他选中均匀骰子的概率为曹一南，选中的是不均
之理２妻私掣。‰叫ｍ
一…。
（ｍ。一，）一一，）≥（上＋上＋…＋土）”，．・．（ｍ。）”，＋
ｆ）Ｌ、
｝ｙｔ２
｝ｙＬ“
ｋ Ｅ Ｎ＋）
证明：同样，只需将筹看作筹无
‘蚤Ａ矿
（讹）州＋…＋（％）川≥土＋土＋…＋土．证明完毕．
１ｆｔＩ
Ｈｋ
ｎｈ
柯西不等式在初等数学中起到了无可替代的作 用，较为可惜的是，它较多的时候仅对于平方项有 用．而将赫尔德不等式推论变形，将会起到事半功倍 的效果．
２４ａ＋１４“５—３６ａ，所以ａ—ｌＺＥ，则ａ２—７２０．
ＡＲ，若ＡＥ＝堑型，其中ｎ，ｃ是互质的正整数，ｂ是
Ｃ
４．因为０．三古一需，０．ｈｂｃ＝丽ａｂｃ，所以碧＋纛
一磊００，即１１１
ａｂ＋１１ ａｂｃ ｉ ９９ ２．即：２２１口６４－１１ｃ一
正整数，求ａ４－６＋Ｃ的值． １２．△ＡＢＣ的三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ满足ｃｏｓ３Ａ＋ ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ一１，三角形有两边长分别为１０与 １３，设第三边的最大值为￣／ｍ，其中ｍ是正整数，求 ｍ的值． １３．有１０个大人进入一个房间，脱下他们的 鞋，扔成一堆．过了一会儿，进来一个小孩，随机把左
性中，有三种健康风险因子的男性的比例是÷．在没
０
有健康风险因子Ａ的男性中，没有这三种健康风险
＾
因子的男性的比例是上，其中声，ｑ是互质的正整
ｑ
数，求Ｐ＋ｏ的值． ３．如图１（１），一个矩形边长分别为ａ与３６．在矩 形的每个顶点与长为３６的边的中点处各装了一个铰 链，将长为ｎ的边向下压，在压的过程中保持长为ａ‘的 边互相平行，得到一个如图１（２）所示的凸六边形．当这 个六边形的长为ａ的边互相平行，且距离为２４时，六
１
Ｚ
ＩⅢ
土＋土，以ｚ，叫在复平面上的对应点为顶点构成多
Ｚ ６０
边形Ｐ，多边形Ｐ的面积是ｎ，ｆｉ，其中竹为正整数，
求Ｙ／被１０００除的余数． １１．在△ＲＥＤ中，ＲＤ一１，么ＤＲＥ一７５。， 么ＲＥＤ一４５。．设点Ｍ是线段ＲＤ的中点，点Ｃ在边 ＥＤ上，且ＲＣｊ＿ＥＭ，延长ＤＥ到点Ａ，使得ＣＡ一
厅
图２
３．六边形的面积ｓ一２４ａ＋２４×叫５，由条件知
…一丽音而一而ｒ／ｂ，则毒刑）Ｉ
●… （，２＋１）（行＋２）
当行为奇数时，；Ｈ一，ｆ（ｋ）一Ｆ是。３×４’ｒ忐
一１
１９Ⅱ心）１一ｌ
所以７２—３；
・…・志・（咒＋１）（以＋２）一竺＃，则
ｌ∑厂（志）ｌ—Ｉ ｌｇ［１７厂（志）｛一ｌ
行一１８．
当ｎ是偶数时，鱼厂（是）一丁南・３×４・ｒ毛
●一．¨¨ｌ
ＣＦ一
综上知，所有满足条件的正整数理的和为３＋
１ Ｒ一≯１
１
厅
二
锄，所以有∥＋黝＋？一０，则∞一（一÷±等ｉ）２，所以
厶 。
８．如图３，设ｏＥ切ＡＢ于 Ｆ，ｏＥ半径为ｒ，则ｏＤ半径为 ３，．，那么ＤＥ一４ｒ，ＤＣ一２—３ｒ，．
ＣＥ一２一ｒ．则有
多边形Ｐ是正三角形．则１叫一２１—１（一百ｏ±等ｉ）ｚｌ一
厶 厶
图１
４５。，点Ｈ，Ｄ，Ｍ都在直线ＢＣ上，满足ＡＨ上ＢＣ，
么ＢＡＤ＝／ＣＡＤ，且ＢＭ＝ＣＭ．点Ｎ是线段ＨＭ 的中点，点Ｐ在射线ＡＤ上，且ＰＮ上ＢＣ．若ＡＰ２一 竺，其中ｍ，咒是互质的正整数，求ｍ＋行的值．
丌
４．已知无限循环小数０．去６与０．ｈｂｃ满足０．矗６
００
＋ｏ．矗＆一篙，其中ｎ，６，ｃ（有可能相同）是ｏ～９的数
２．用文氏图，如图２，设三种健康风险因子都有 的概率为Ｔ，三种健康因子都没有的概率为ｙ，则有 ，解得、
的正整数，求户＋ｑ的值． ７．设厂（Ｔ）一（．ｒ２＋３＿＋２）。“”’，正整数玎满足
Ｎ
ｌ芝：ｌｇ厂（走）ｌ一１，求所有满足条件的正整数咒的和．
。‘ｋ—＝—。ｌ
８．已知ＡＢ是半径为２的ｏＣ的直径．ＯＤ内切 于④Ｃ，切点为Ａ ＯＥ内切于④Ｃ，外切于ＯＤ，且与 线段ＡＢ相切．ＯＤ的半径是ＯＥ半径的三倍，ＯＤ
定理１
Ｒ十，押Ｅ Ｎ＋）
等＋等≥箐（Ａ，Ｂｍ６∈
行１＿ｌ ，ｚ １．１
推论均值（ＡＭ—ＧＭ）不等式的又一种证明：
（口ｊ＋ｎ｛＋…＋口：）”≥（起口？・乜ｉ・口；…日ｉ）”，
．．．（ＩＰｎ：）≥ｎ”（ｎ，．Ⅱ。…ａ。）。，这ｉＴ＿是均值不等式． ．．．（２：ｎ：）≥ｎ”（ｎ，・Ⅱ。…ａ。）。，这是均值不等式．
Ｈ
（∑Ａ，）７ｒ１
（∑Ａ，）”Ｉ
∞｛［ｃ去，南］”＋［ｃ吉，南］”｝｛Ａ”１
＋Ｂ㈣［（口）南］川｝责
ａ
Ｅ（ｂ，南］”１
行
＋
＋ｎ
、，
≥ —． ． ． Ｌ
行
（口
●一，
口
，一，
ｎ
、，
１ｌ●ｊ
口
旧 ．￣ Ⅵ 一
≥（土）南（日）尚Ｂ＋（｛）南（ｂ）。－ＳｉＡ—Ａ＋Ｂ．
Ｄ
证法２：令ｓ一（等＋等）南（日＋６）南≥
ｔ），
字．求三位数ａｂｃ的值． ５．若ｒ，５是函数Ｐ（．，ｒ）一Ｉｒ３＋盘．Ｔ４－ｂ的零点，且 ｒ＋４，ｓ一３是函数ｑ（Ｌｒ）一．ｒ３ ４－ａｄ’＋６＋２４０的零点． 求所有满足条件的ｂ的绝对值之和． ６．查尔斯有两颗六面骰子，其中一个骰子是质 地均匀的，另一个骰子不均匀，质地不均匀的骰子抛
ｒ）
１５．对于正整数ｋ，设Ｐ（ｋ）表示不能整除ｋ的 最小质数．当声（是）＞２时，整值函数Ｘ（ｋ）是所有小 于ｐ（ｋ）的质数的乘积；当ｐ（ｋ）一２时，Ｘ（是）一１．设 数列｛ｚ。｝满足ｚｏ一１，且ｚ。＋１Ｘ（Ｌ）一Ｔ。Ｐ（Ｔ。）（行≥ ｏ），若丑一２０９０，求正整数ｔ的最小值． 参考答案
一次，出现６的概率是÷，出现其他５个数的概率均
ｏ １
是去．查尔斯先从两颗骰子中随机选出一颗，然后
上Ｊ
连抛三次．如果前两次抛出的数字都是６，那么第三
脊
彳赢一支撕解得１ｘ刚：Ｏ．０，７０
ｊ丁＋．Leabharlann Baidu
１４ ３
１
‘）
１
１
１５。１０
次抛出的数字还是６的概率是尝，其中Ｐ，ｑ是互质
ｑ
一等小时，所以粉刷完这问房子共用了３３４分钟．
６南≥Ａ＋Ｂ．
根据以上不等式，可以用归纳法得到一个更有 用的不等式。
即
塾一行
ｎＬｌ
＼一
淳
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（２）若ｍ１，ｍ２…ｍ。一１，则（ｍ１）”１＋（ｍ２）一１＋
（ｍ。）Ｈ≥上＋土＋…＋上．
ｍ２
证明：｛（ｍ１）一１＋（ｍ２）一１＋…（ｍ。）”１｝・ ｛（ｍ ２）”＋（优３）”＋…＋（ｍ１）”｝…｛（ｍ。）一１＋
．。．当ｑ＋１一行时，ｑ—ｎ－－１，
下面使用赫尔德不等式证明：
证法１：因为茅苦＋矛备一１，
目（丛≠）…１２＿（ｍ）者≥Ａ＋Ｂ
∞ｆ％笋）”１（Ａ”１＋Ｂ”ｌｎ”）而ｌ≥Ａ＋Ｂ
则原式甘ｆ令≥＋号≥）南（盘＋６）南≥Ａ＋Ｂ
妻鲁≥望≥些．
Ｊ一１＾ｉ
（１）堕垫ｄ旦±生≥沤瓦丽，由
Ｈｏｌｄｅｒ不等式：
（ ｍ ＋吼 ＋丑 一
（ｓ一３）＋（ｒ＋Ｓ＋］）（一，Ｊ—Ｓ一］）．
万方数据
上海中学数学・２０１４年第５期
４７
化简得５一半
（‘ｒ—Ｓ）（．ｒ＋ｒ＋Ｓ）＋２４０，
（１）
２￣／１一ｒ．在Ｒｔ△ＤＥＦ中，由勾股定理得（２—３ｒ＋
．，ｉｉ
．）
，．
又Ｐ（Ｌｒ）一（，ｒ—ｒ）（．ｒ—Ｓ）（Ｔ＋ｒ＋ｓ），ｑ（Ｔ）一 （ｚ—ｒ一４）（．ｒ—ｓ＋３）（．￡’＋ｒ＋５＋１），
丽 匀骰子的概率为１一而１一而１６，所以第三次还是６的
概率为詈一南ｘ百１十，而１６×号一盖，则ｐ＋ｑ＝１６７．
７．当．ｒ是奇数时，ＣＯＳ（Ｔｒ．ｚ’）一一１，所以厂（Ｔ）一
（Ｔ２＋３ｘ
ｑ－２）＿１一石可可赢，当－ｒ是偶数时，
２（＋２）～”。台。…７’
， ｒ‘ｐ Ｊ
ｃｏｓ（丌Ｌｒ）一１，所以ｆＣｒ）一．ｒ２＋３＿＋２一（．ｒ＋１）（．ｒ＋２）．
１９丽％１一１９２（卅２）一１，
Ｌ一。（胛≥４），求得： Ｔ６—４４，丁，一８１，丁９—２７４，所以Ａ。。一２７４＋８１ ＋８８—４４３．又１０把椅子选出若干把的选法总数为 ２１０种，所以满足题意的选法数为２１。一４４３＝５８１种．
ＺＴ叫
Ｚ
ｌｇ半ｌ—ｌ，所以
１０．由÷一』＋』得÷一塑，肌榭一
叫
ＺＴ叫２柚
上海中学数学・２０１４年第５期
美国高中数学邀请赛（ＡＩＭＥⅡ２０１４）试题与解答
２００００ｌ
上海市格致中学
殷琦涛
朱兆和
１．亚伯粉刷房子需要１５小时，贝亚粉刷房子 的速度比亚伯快５０％，科埃粉刷房子的速度是亚伯 的两倍．开始粉刷时，亚伯先单独工作了１．５小时， 然后贝亚加入进来，两人一起工作；当房子的一半粉 刷完时，科埃也加入进来，三人一起工作，直至房子 粉刷完．问：粉刷完这问房子共用了多少分钟时间？ ２．阿诺德研究三种健康风险因子Ａ，Ｂ，Ｃ在男 性人口中的流行性．在男性中随机选一人，他仅有一 种健康风险因子（但没有其他两种）的概率是０．１ ５ 他仅有其中两种健康风险因子（但没有第三种）的概 率是０．１４．在同时有Ａ，Ｂ两种健康风险因子的男
厅
√３…，又ｌｚＩ一２０１４，即此正三角形边长为２０１４√３，所
匝
￣／ＣＥ２一ＥＦ２一￣／（２一ｒ）２一ｒ２
—２￣／１一ｒ．ＤＦ一２—３ｒ＋
图３
以面积Ｓ一咩（２０１４４§－）２一州３，则，ｚ一３×（１００７）２，
２￣／Ｆ了）ｚ＋ｒｚ一１６ｒ：，解得ｒ一尘坐掣，所以ｏＤ
的半径３ｒ一４￣／１５—１４．由￣／ｍ一九一４￣／１５—１４，且 ｍ、行是正整数，所以ｍ一２４０，ｎ一１４，即ｍ＋行一
２５４．
则（．ｒ—ｒ一４）（＿一ｓ＋３）（丁＋ｒ＋５＋１）一（ｚ—ｒ） 令。ｚ１一ｒ，则有（ｒ—ｓ＋３）（２ｒ＋５＋１）＋６０—０，将 （１）代入有（３ｒ＋７）（３ｒｑ－５）＝８０，解得ｒ一１或ｒ一一５．
当ｒ一１时，Ｓ一９，ｂ—ｒｓ（，Ｊ＋Ｓ）一９０，当ｒ一一５ 时，ｓ一一６，６一ｒｓ（，Ｊ＋Ｓ）一一３３０．
９．先考虑一般情况下的线性排列问题：将行把 椅子从１到行进行编号，排成ｌ，２，３…７２一排．从这 行把椅子中取出若干把椅子，没有三把（或以上）椅 子相邻的选取方法为Ｔ。种（可以一把都不选），则 有Ｔ１—２，丁２—４，丁３—７． 当ｎ）４时，考虑编号为１的椅子： 若１号椅子没选，则在剩下的行一１把椅子中无 三把相邻即可，所以有丁。一。种情况． 若１号椅子被选，分两种情况： （１）２号没选，则剩下的咒一２把椅子中无三把 相邻即可，所以有丁。一。种情况； （２）２号被选，则３号不能选，所以在剩下的咒 一３把椅子中无三把相邻即可，所以有丁。。种情况． 综上知：当ｎ≥４时，Ｔ。一丁。，＋丁。一２＋丁。一。． 现将这以把椅子排成一圈（１号与九号相邻）， 从中选出若干把椅子，无三把相邻的选法为Ａ。种， 对１号椅子进行分类： （１）１号没选，则只需在２到７２号这ｒ／一１把椅 子中选出若干把，无三把相邻即可，有丁。一。种选法． （２）１号被选，再对２号与胛号分类： ①２号与竹号有一把被选，如２号被选，则只需 在剩下的４到咒一１号这祝一４把椅子中选取若干 把，无三把相邻即可，所以有丁。一。种选法；同样若７２ 号被选也有丁。一。种选法，故有２Ｔ。一；种选法； ②２号与九号都没选，则只需在３到７ｚ一１这 起一３把椅子中选出若干把无三把相邻即可，有Ｔ。。 种选法． 综上知：Ａ。一Ｔ。。＋Ｔ。一。４－２丁，，． 当行一１０时，从１０把环排列的椅子中选出若干 把，无三把相邻的选法为Ａ，。一Ｔ。＋丁，＋２瓦．
９９２，因为Ｏ≤ｃ≤９，所以９９２～９９≤２２１ ｎ６≤９９２，得 ａｂ＝４４，则１１Ｃ一７７，ｃ一７，所以ａｂｃ一４４７． ５．由题意：ｒ，Ｓ，一ｒ—Ｓ是方程Ｐ（‘，ｒ）一０的三 根，ｒ＋４，ｓ一３，一１一ｒ—ｓ是方程ｑ（．ｒ）一０的三个 根．根据韦达定理：ａ—Ｋｓ４－（ｒ＋５）（一ｒ—ｓ）一（ｒ＋４）
万方数据
上海中学数学・２０１４年第５期 边形的面积与原来的矩形面积相等，求ｎ２的值 脚的鞋与右脚的鞋配成一双，在配对过程中，不考虑 这两只鞋是否是原来的一双．从小孩配对的１０双鞋 中，对小于５的一切正整数ｋ，不存在ｋ双鞋恰好是 其中ｋ个人的鞋，这种情况发生的概率是竺，其中
，￡
ｍ，订是互质的正整数，求ｍ＋以的值． １４．在△ＡＢＣ中，ＡＢ一１０，么Ａ一３０。，么Ｃ一
予一南一丽２１卿夕＋ｑ＝７６．
ｌｘｑ－ｙ＝１－－３×０．１４－－３×０．１
…、，所以 ｌＪ…１
冽
的半径是￣／ｍ一咒，其中ｍ，行是正整数，求ｍ＋扎的值．
９．将１０把椅子排成一圈，从中选出若干把椅子， 若选出的椅子中至少有三把相邻，求不同选法的种数． １０．复数ｚ满足Ｉ
１ １
２ｌ一２０１４，复数，ＣＯ满足÷一
由１１１—２，Ｔ２—４，Ｔ。一７及丁。一丁。一，＋丁。一２＋
所以所有满足条件的ｂ的绝对值之和为３３０＋
９０—４２０．
６．均匀的骰子抛两次都是６的概率为去，不均 Ｊｂ
匀的骰子抛两次都是６的概率为妻一再１６，所以前两
了 ＪＯ
次都是６的概率为鬈．因为他前两次抛掷都为６，所
１
以他选中均匀骰子的概率为曹一南，选中的是不均
之理２妻私掣。‰叫ｍ
一…。
（ｍ。一，）一一，）≥（上＋上＋…＋土）”，．・．（ｍ。）”，＋
ｆ）Ｌ、
｝ｙｔ２
｝ｙＬ“
ｋ Ｅ Ｎ＋）
证明：同样，只需将筹看作筹无
‘蚤Ａ矿
（讹）州＋…＋（％）川≥土＋土＋…＋土．证明完毕．
１ｆｔＩ
Ｈｋ
ｎｈ
柯西不等式在初等数学中起到了无可替代的作 用，较为可惜的是，它较多的时候仅对于平方项有 用．而将赫尔德不等式推论变形，将会起到事半功倍 的效果．
２４ａ＋１４“５—３６ａ，所以ａ—ｌＺＥ，则ａ２—７２０．
ＡＲ，若ＡＥ＝堑型，其中ｎ，ｃ是互质的正整数，ｂ是
Ｃ
４．因为０．三古一需，０．ｈｂｃ＝丽ａｂｃ，所以碧＋纛
一磊００，即１１１
ａｂ＋１１ ａｂｃ ｉ ９９ ２．即：２２１口６４－１１ｃ一
正整数，求ａ４－６＋Ｃ的值． １２．△ＡＢＣ的三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ满足ｃｏｓ３Ａ＋ ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ一１，三角形有两边长分别为１０与 １３，设第三边的最大值为￣／ｍ，其中ｍ是正整数，求 ｍ的值． １３．有１０个大人进入一个房间，脱下他们的 鞋，扔成一堆．过了一会儿，进来一个小孩，随机把左
性中，有三种健康风险因子的男性的比例是÷．在没
０
有健康风险因子Ａ的男性中，没有这三种健康风险
＾
因子的男性的比例是上，其中声，ｑ是互质的正整
ｑ
数，求Ｐ＋ｏ的值． ３．如图１（１），一个矩形边长分别为ａ与３６．在矩 形的每个顶点与长为３６的边的中点处各装了一个铰 链，将长为ｎ的边向下压，在压的过程中保持长为ａ‘的 边互相平行，得到一个如图１（２）所示的凸六边形．当这 个六边形的长为ａ的边互相平行，且距离为２４时，六
１
Ｚ
ＩⅢ
土＋土，以ｚ，叫在复平面上的对应点为顶点构成多
Ｚ ６０
边形Ｐ，多边形Ｐ的面积是ｎ，ｆｉ，其中竹为正整数，
求Ｙ／被１０００除的余数． １１．在△ＲＥＤ中，ＲＤ一１，么ＤＲＥ一７５。， 么ＲＥＤ一４５。．设点Ｍ是线段ＲＤ的中点，点Ｃ在边 ＥＤ上，且ＲＣｊ＿ＥＭ，延长ＤＥ到点Ａ，使得ＣＡ一
厅
图２
３．六边形的面积ｓ一２４ａ＋２４×叫５，由条件知
…一丽音而一而ｒ／ｂ，则毒刑）Ｉ
●… （，２＋１）（行＋２）
当行为奇数时，；Ｈ一，ｆ（ｋ）一Ｆ是。３×４’ｒ忐
一１
１９Ⅱ心）１一ｌ
所以７２—３；
・…・志・（咒＋１）（以＋２）一竺＃，则
ｌ∑厂（志）ｌ—Ｉ ｌｇ［１７厂（志）｛一ｌ
行一１８．
当ｎ是偶数时，鱼厂（是）一丁南・３×４・ｒ毛
●一．¨¨ｌ
ＣＦ一
综上知，所有满足条件的正整数理的和为３＋
１ Ｒ一≯１
１
厅
二
锄，所以有∥＋黝＋？一０，则∞一（一÷±等ｉ）２，所以
厶 。
８．如图３，设ｏＥ切ＡＢ于 Ｆ，ｏＥ半径为ｒ，则ｏＤ半径为 ３，．，那么ＤＥ一４ｒ，ＤＣ一２—３ｒ，．
ＣＥ一２一ｒ．则有
多边形Ｐ是正三角形．则１叫一２１—１（一百ｏ±等ｉ）ｚｌ一
厶 厶
图１
４５。，点Ｈ，Ｄ，Ｍ都在直线ＢＣ上，满足ＡＨ上ＢＣ，
么ＢＡＤ＝／ＣＡＤ，且ＢＭ＝ＣＭ．点Ｎ是线段ＨＭ 的中点，点Ｐ在射线ＡＤ上，且ＰＮ上ＢＣ．若ＡＰ２一 竺，其中ｍ，咒是互质的正整数，求ｍ＋行的值．
丌
４．已知无限循环小数０．去６与０．ｈｂｃ满足０．矗６
００
＋ｏ．矗＆一篙，其中ｎ，６，ｃ（有可能相同）是ｏ～９的数
２．用文氏图，如图２，设三种健康风险因子都有 的概率为Ｔ，三种健康因子都没有的概率为ｙ，则有 ，解得、
的正整数，求户＋ｑ的值． ７．设厂（Ｔ）一（．ｒ２＋３＿＋２）。“”’，正整数玎满足
Ｎ
ｌ芝：ｌｇ厂（走）ｌ一１，求所有满足条件的正整数咒的和．
。‘ｋ—＝—。ｌ
８．已知ＡＢ是半径为２的ｏＣ的直径．ＯＤ内切 于④Ｃ，切点为Ａ ＯＥ内切于④Ｃ，外切于ＯＤ，且与 线段ＡＢ相切．ＯＤ的半径是ＯＥ半径的三倍，ＯＤ
定理１
Ｒ十，押Ｅ Ｎ＋）
等＋等≥箐（Ａ，Ｂｍ６∈
行１＿ｌ ，ｚ １．１
推论均值（ＡＭ—ＧＭ）不等式的又一种证明：
（口ｊ＋ｎ｛＋…＋口：）”≥（起口？・乜ｉ・口；…日ｉ）”，
．．．（ＩＰｎ：）≥ｎ”（ｎ，．Ⅱ。…ａ。）。，这ｉＴ＿是均值不等式． ．．．（２：ｎ：）≥ｎ”（ｎ，・Ⅱ。…ａ。）。，这是均值不等式．
Ｈ
（∑Ａ，）７ｒ１
（∑Ａ，）”Ｉ
∞｛［ｃ去，南］”＋［ｃ吉，南］”｝｛Ａ”１
＋Ｂ㈣［（口）南］川｝责
ａ
Ｅ（ｂ，南］”１
行
＋
＋ｎ
、，
≥ —． ． ． Ｌ
行
（口
●一，
口
，一，
ｎ
、，
１ｌ●ｊ
口
旧 ．￣ Ⅵ 一
≥（土）南（日）尚Ｂ＋（｛）南（ｂ）。－ＳｉＡ—Ａ＋Ｂ．
Ｄ
证法２：令ｓ一（等＋等）南（日＋６）南≥
ｔ），
字．求三位数ａｂｃ的值． ５．若ｒ，５是函数Ｐ（．，ｒ）一Ｉｒ３＋盘．Ｔ４－ｂ的零点，且 ｒ＋４，ｓ一３是函数ｑ（Ｌｒ）一．ｒ３ ４－ａｄ’＋６＋２４０的零点． 求所有满足条件的ｂ的绝对值之和． ６．查尔斯有两颗六面骰子，其中一个骰子是质 地均匀的，另一个骰子不均匀，质地不均匀的骰子抛
ｒ）
１５．对于正整数ｋ，设Ｐ（ｋ）表示不能整除ｋ的 最小质数．当声（是）＞２时，整值函数Ｘ（ｋ）是所有小 于ｐ（ｋ）的质数的乘积；当ｐ（ｋ）一２时，Ｘ（是）一１．设 数列｛ｚ。｝满足ｚｏ一１，且ｚ。＋１Ｘ（Ｌ）一Ｔ。Ｐ（Ｔ。）（行≥ ｏ），若丑一２０９０，求正整数ｔ的最小值． 参考答案
一次，出现６的概率是÷，出现其他５个数的概率均
ｏ １
是去．查尔斯先从两颗骰子中随机选出一颗，然后
上Ｊ
连抛三次．如果前两次抛出的数字都是６，那么第三
脊
彳赢一支撕解得１ｘ刚：Ｏ．０，７０
ｊ丁＋．Leabharlann Baidu
１４ ３
１
‘）
１
１
１５。１０
次抛出的数字还是６的概率是尝，其中Ｐ，ｑ是互质
ｑ
一等小时，所以粉刷完这问房子共用了３３４分钟．