第七章 多孔介质的渗流

5.2
K为地层渗透 不可压缩流体渗流及渗透率的张量特性 率，是一个张量
对于不可压缩流体地渗流问题，引入运动方程即达西公式为： 对于不可压缩流体地渗流问题，引入运动方程即达西公式为：
1 v = − K ⋅ ∇ｐ u
K可以表示为： 可以表示为：
K 11 K = K 21 K 31 K 12 K 22 K 32 K 13 K 23 K 33
3
毛管力
多孔介质是由无数个毛细管组成，这些毛细管纵横交错， 多孔介质是由无数个毛细管组成，这些毛细管纵横交错，四 通八达，当渗流由一种流体驱替另一种流体时， 通八达，当渗流由一种流体驱替另一种流体时，在两界面上产生 压力跳跃，它的大小取决于分界面的曲度，这个压力就称为毛管 压力跳跃，它的大小取决于分界面的曲度，这个压力就称为毛管 压力。 压力。
5.4
气体渗流问题
气体比液体具有更大的压缩性。 气体比液体具有更大的压缩性。在研究气体渗流规律 可以仿照液体流体的研究方法， 时，可以仿照液体流体的研究方法，得出相似形式渗流方 但它们在物理实质则有差别。 程，但它们在物理实质则有差别。 Z：压缩因子 1 气体渗流的基本特征 （亦称偏差 因子） 因子） 状态方程和基本特性参数 真实气体的状态方程： 真实气体的状态方程：
5.5
定义
双重介质渗流
所谓的双重介质就是分别由裂缝和孔隙构成， 所谓的双重介质就是分别由裂缝和孔隙构成，二者 就是分别由裂缝和孔隙构成 又是全空间叠合在一起且相互影响的一个统一的渗 流场。 流场。
把这种双重介质孔隙结构地层典型的化为由互 相垂直的裂缝系统和被裂缝系统所切割开的岩块组成， 相垂直的裂缝系统和被裂缝系统所切割开的岩块组成， 这就是所谓的双重介质渗流模型。主要有Kozemi模型、 这就是所谓的双重介质渗流模型。主要有Kozemi模型、 双重介质渗流模型 Kozemi模型 De.Swan模型和Warren-Root模型等，这样的模型既能 De.Swan模型和Warren-Root模型等， 模型和Warren 模型等 体现地层的双重孔隙性，也能体现其双重渗透性。 体现地层的双重孔隙性，也能体现其双重渗透性。
∂P 2 上式即变为气体稳定渗流的数学模型： 当 上式即变为气体稳定渗流的数学模型： = 0 时， ∂t
∇2P2 = 0
3
气体的不稳定渗流 在气体渗流中，压力梯度与渗流速度往往不是 在气体渗流中， 线性关系，即出现非达西渗流。这里仅取由量纲分 线性关系， 出现非达西渗流。 析导出的二项式达西渗流，表达式为： 析导出的二项式达西渗流，表达式为：
1 1 + ) R1 R2
R1 , R2为毛细管液
面的主半径
小结： 小结：
D ( ρ o ΦS 0 ) + ρo divv o = 0 Dt D ( ρ w ΦS w ) + ρ w divv w = 0 Dt S0 + Sw = 1 K o (S 0 ) vo = − (∇Po + ρ o g sin a)
在特殊情况下,渗透率张量K是实对称的, 在特殊情况下,渗透率张量K是实对称的,所以至少存在 n 1 , n 2 , n 3，若选 n 1 , n 2 , n 3 为坐 三个相互垂直主方向 。 标基矢量，则渗透率张量的矩阵为对角型。 标基矢量，则渗透率张量的矩阵为对角型。
即：
[K ]n ,n ,n
1 2
pV = nZRT
R为气体 常数 T为绝对 温度
气体在标准条件下的密度：
ρ g , sc =
气体的体积系数 ：
ρ sc
Z sc RTsc
Bg =
气体的压缩系数： 气体的压缩系数：
ρ g , sc ρg
ZT p sc = Z sc Tsc p
C g ( p) =
1 1 dZ − p Z dp
气体渗透率 K为在平均压力 p 下和平均流量 Q 下测得的气体 渗透率 b为孔隙大小和 分子自由程所决 定的参数
4
流体的粘度及粘滞力
在流动的流体中，如果各种流体流速不同， 在流动的流体中，如果各种流体流速不同，将有一对作用力 和反作用力，使原来快的流层减速，而慢的加速。 和反作用力，使原来快的流层减速，而慢的加速。流体的这种属 性叫粘滞性。 性叫粘滞性。 粘滞性 在渗流中，粘滞力为阻力， 在渗流中，粘滞力为阻力，且动力消耗主要用于渗流时克服 流体粘滞阻力。 流体粘滞阻力。
上式为不稳定渗流的基本方程 上式为不稳定渗流的基本方程 取
η ( p) =
Kp
φµ
称为气体得导压系数， 称为气体得导压系数，它是一个与
压力有关的变量。因而，无法采用原来的方法求解。 压力有关的变量。因而，无法采用原来的方法求解。 在通常情况下，我们可以采用线性化方法（ 在通常情况下，我们可以采用线性化方法（求解非稳 定问题），稳定状态逐次替换法。 ），稳定状态逐次替换法 定问题），稳定状态逐次替换法。在某些情况下可用自模 解的方法获得精确解，但后者往往限于典型问题， 解的方法获得精确解，但后者往往限于典型问题，并最终 要求用数值方法求解常微分方程。 要求用数值方法求解常微分方程。
第五章
多孔介质的渗流
含有大量任意分布的彼此连通且形状各异， 含有大量任意分布的彼此连通且形状各异，大小 不一的空隙的固体介质叫多孔介质 多孔介质。 不一的空隙的固体介质叫多孔介质。
流体通过这种特征的多孔介质而流动则叫做渗流。 流体通过这种特征的多孔介质而流动则叫做渗流。 渗流 渗流力学是连续介质力学的一个重要分支， 渗流力学是连续介质力学的一个重要分支，又是流体 力学和多孔介质理论、表面物理、物理化学、固体力学、 力学和多孔介质理论、表面物理、物理化学、固体力学、 生物学等学科交叉渗透的一门边缘学科。 生物学等学科交叉渗透的一门边缘学科。
3
K 1 = 0 0
0 K2 0
0 0 K3
坐标变换规律
设0 x1 , x 2 , x 3是原有已坐标系，其单位矢量为 {e 1 , e 2 , e 3 } 是原有已坐标系，
其张量为： 其张量为： K ij (i,j=1,2,3)
{ ox1' , x2' , x3' 是变换了的已坐标系，其单位矢量为： e1' , e 2 ' , e 3' } 是变换了的已坐标系，其单位矢量为：
其张量为： 其张量为： K i' j' (i’,j’=1,2,3)。 变换规律为： 变换规律为：
K i' j' = a i 'i a j ' j K ij
单相渗流连续性方程的张量形式为： 单相渗流连续性方程的张量形式为：
D Φ) D ( ρ( ρ Φ ) = 0 + ρdivv = 0 DtD t
5.1
渗流过程中的力学分析及驱动类型
油、水、气能够在多孔介质（岩石）中渗流是由于各 气能够在多孔介质（岩石）
种力的作用，主要有以下几种： 种力的作用，主要有以下几种：
1
流体的重力 重力有时是动力有时是阻力。 重力有时是动力有时是阻力。
2
多孔介质（岩石） 多孔介质（岩石）的压缩性及流体的弹性力 在油气开采以前，岩石和流体都处于均衡受压状态， 在油气开采以前，岩石和流体都处于均衡受压状态， 当油气层投入开采之后，油气层的压力不断下降， 当油气层投入开采之后，油气层的压力不断下降，上覆岩 层和油层内的流体压力之间形成压力差，岩石变形， 层和油层内的流体压力之间形成压力差，岩石变形，岩石 孔隙体积减少， 孔隙体积减少，压缩孔隙中的流体驱使流体向压力较低的 方向运动。 方向运动。
D( ρ g Φ) Dt
Φµ ' DP 2 D µ' P =Φ ( )=− Dt RT 2 PRT Dt
Φµ ∂P 2 ∇2P2 = KP ∂t
代表地层平均压力， 设 P 代表地层平均压力，并认为 P 是一个常数
Φµ ∂P 2 ∇2P2 = KP ∂t
令Θ=
KP 称为气体的导压系数 Φµ
1 ∂P 2 ∇2P2 = Θ ∂t
上式即为理想气体和稳定渗流的数学模型。 上式即为理想气体和稳定渗流的数学模型。
理想气体和稳定渗流的数学模型的适用条件是： 理想气体和稳定渗流的数学模型的适用条件是：
气体是单相渗流的； 1）气体是单相渗流的； 符合线性渗流运动方程； 2）符合线性渗流运动方程； 气体为可压缩的理想气体； 3）气体为可压缩的理想气体； 岩石的压缩性忽略不计，孔隙度视为常数； 4）岩石的压缩性忽略不计，孔隙度视为常数； 渗流过程是等温的。 5）渗流过程是等温的。
D ( ρ o ΦS 0 ) + ρo divv o = 0 Dt
对于水相的连续性方程为： 对于水相的连续性方程为：
D ( ρ w ΦS w ) + ρ w divv w = 0 Dt
饱和度方程： 饱和度方程：
S0 + Sw = 1
a是流动方向与 ： 在考虑毛管力和重力影响时，油相和水相的渗流速度分别为： 在考虑毛管力和重力影响时，油相和水相的渗流速度分别为
µo
vw = −
(∇Pw + ρ w g sin a) µw 1 1 Pw − Po = σ ( + ) R1 R2
K w (S w )
独立方程总数为6个共有6 独立方程总数为6个共有6个待求的因变量
p o , p w , v o , v w , S o 和S w
组成一个封闭方程组。 组成一个封闭方程组。
− ∇P =
µg
Kg
v+β
ρ
K
⋅ sgn( v ) v 2
β 是与孔隙 考虑气体的流动惯性，在线性达西渗流条件下， 考虑气体的流动惯性，在线性达西渗流条件下，便 度和孔隙结构 可简化为通常的渗流速度公式： 可简化为通常的渗流速度公式：
有关的常数
1 v = − K ⋅ ∇ｐ u
根据连续性方程，对于气体渗流问题， 根据连续性方程，对于气体渗流问题，有：
D( ρ g Φ ) Dt
+ div( ρ g v) = 0
当 Z = Z Sc = 1 且b＝0时，有： ＝
K ρ sc Tsc div( ρ g v ) = − ∇ ⋅ ( ρ ⋅ ∇ ⋅ p) µ p sc T
由于
D( ρ g Φ) Dt
=φ
ρ sc Tsc ∂p
p sc T ∂t
2φµ ∂p φµ ∂p 2 ∇2 p2 = = K ∂t Kp ∂t
水平面的夹角
vo = −
K o (S 0 )
µo µw
(∇Po + ρ o g sin a) (∇Pw + ρ w g sin a)
vw = −
K w (S w )
σ 为两相界面
引入拉普拉斯方程把油相和水相压力联系起来： ： 引入拉普拉斯方程把油相和水相压力联系起来上的界面张力
Pw − Po = σ (
但是对某些低渗气层可能不适用， 但是对某些低渗气层可能不适用，此时可以采用综合 压缩系数：
K K = η= µ g C r µ g (C r + ΦC g )
2 气体的稳定渗流 气体稳定渗流的基本方程如下： 气体稳定渗流的基本方程如下： 运动方程 K为渗透 率张量
v=−
K
µ
∇p
状态方程 若是理想气体，则有： 若是理想气体，则有：
b K = K ∞ (1 + ) p
K ∞为克氏
渗透率
气体导压系数 在气体渗流中， 在气体渗流中，由于气体压缩系数大大高于岩石的 压缩系数， 压缩系数，因此往往在非稳定气体渗流中使用气体压缩 系数代替综合压缩系数，这样气体的导压系数为： 系数代替综合压缩系数，这样气体的导压系数为：
Kp η= Φµ g
ρ 可以略去 φ 为地层
孔隙度
对于稳定渗流
若流体是不可压缩的
ρ divv = 0
∂vx ∂v y ∂vz + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂ i vi = 0
5.3
建立数学模型
两相渗流问题
ห้องสมุดไป่ตู้
设油水两种流体同时在多孔介质中流动， 设油水两种流体同时在多孔介质中流动， 且流动服从达西定律。 对于油相的连续性方程为： 对于油相的连续性方程为：
P
ρg
=
RT µ'
连续性方程
D( ρ g Φ) Dt
即：
+ div( ρ g v ) = 0 + ρ g ∂ i vi = 0
D( ρ g Φ) Dt
将运动方程和状态方程带入连续性方程，因为： 将运动方程和状态方程带入连续性方程，因为：
Pµ ' K 1 µ' K div( ρ g v) = −∇ gradP = − ∇(∇p 2 ) 2 µRT RT µ
渗流的驱动类型主要有：重力水压驱动、 渗流的驱动类型主要有：重力水压驱动、弹 主要有 性驱动、气压驱动、溶解驱动以及重力驱动。 性驱动、气压驱动、溶解驱动以及重力驱动。
在渗流过程中必有一种或多种驱动方式起重 要作用，其他驱动类型处于从属地位。 要作用，其他驱动类型处于从属地位。驱动方式 在渗流过程中不是一成不变的，而是变化发展的！ 在渗流过程中不是一成不变的，而是变化发展的！