复变函数的映射

因此: f ( z0 ) 是经过映射w f ( z ) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线 C的形状及
方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
2 试求变换 w f ( z ) z 4z 在点 z 1 i 处的 例1
哪一 旋转角, 并说明它将 z 平面的哪一部分放大？
. 上 f ( z ) e z 0, 但 f ( z ) e z 在 z 平面不是单叶的
下面的定理表明， 解析函数具有局部单叶 性.
定理 7.3 若函数 w f ( z ) 在点 z0 解析 , 且 f ( z0 ) 0 ,
则 f ( z ) 在 z0 的一个邻域内单叶解析.
0
u
或
arg f ( z0 ) arg w( t0 ) arg z( t0 ),
在 w0 处切线的倾角
C 在 z0 处切线的倾角
定义为: 原曲线C 经变换w f ( z ) 后在 z0 的转动角
——导数辐角的几何意义.
arg f ( z0 )
若将 z 平面和 w 平面叠放在一起， 使点 z0 与
—符合定理条件的解析函数w = f (z)将z0的一个 充分小邻域变成w0 =f (z0)的一个曲边邻域.
w e z 在区域 a Im z a 2 (a为一实数)内单叶解析
2、解析变换的保角性—导数的几何意义
设 w f ( z ) 于区域 D 内解析 , z0 D , 在点 z0 有 在数学分析中我们知道，导数用来刻画因变量 相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何 导数 f ( z0 ) 0 . 过 z0 任意引一条有向光滑曲 线 意义. 那么，一个复变函数的导数将会刻画怎样的 关系呢？又有什么样的几何意义呢？ C : z z ( t ) ( t0 t t1 )
映射后跟 C1与C2对应的曲线 1与 2之间的夹角.
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映射 w f ( z ) 具有保持两曲线间夹角的大小和
方向不变的性质, 此性质称为保角性.
下面研究 f ( z0 ) 的几何意义
w w0 f ( z ) f ( z0 ) lim , 因为 f ( z0 ) lim z z0 z z z z0 z z0 0
w y v w f (z) z 张系数 . 这个伸张系数在过z0 的每个方向上都是一 p z ( t 0 ) Q |s f (.z ) | 1 时 ， . 样的 . 当 从 z 出发的任意无穷小距 0 0 z C w p0 . Q0. r 1 时 ，从 z0 出 映射后都被伸长了 ; 当 | f ( z0 ) |w 离, z 0 0 . u 0发的无穷小距离, x 映射以后则被压缩了 0
C2
argz 2 ( t 0 ) argz1 ( t 0 )
z0
.
( t0 ) arg z1
C1 z0 z1 ( t0 ) z2 ( t0 ).
经过变换 w f ( z ) , C 的像 曲线 的参数方程为
:
y
z ( t 0 )
w f [ z ( t )] ( t0 t t1 ) ,
§1
解析变换的特性
1、解析变换的保域性
2、解析变换的保角性—导数的几何意义
3、单叶解析变换的共形性
1、解析变换的保域性
要探讨解析变换的几何特性，首先要弄清楚复 平面上的一个点集(曲线或区域)与它的像集之间的对 应关系.
定理 7.1( 保域定理 ) 设 w f ( z ) 在区域 D 内解析
且不恒为常数 , 则 D 的像 G f ( D) 也是一个区域.
说明: 转动角的大小与方向跟曲线 C 的形状无关.
映射 w = f(z) 具有转动角的不变性. C2 . z0
经w f ( z )映射
C1
2
. w0
1
C1
( t0 ) arg z1 ( t0 ) 1 arg f ( z0 ) arg w1
2 arg f ( z0 ) arg w 2 ( t 0 ) arg z2 ( t0 )
则 D 的像 推论 7.2 设 w f ( z ) 在区域 D 内单叶解析，
G f ( D) 也是一个区域. 因 f(z)不为常数
在上一章中曾证明定理6.11 : 若函数 f ( z ) 在 区域 D 内单叶解析， 则在 D 内 f ( z ) 0 .
但其逆未必成立. 例如, 函数 f ( z ) e z 在z 平面
由此可知， 像曲线 在点 w0 f ( z0 ) 的切线的
方向， 可由原像曲线C 在点 z0 切线正向旋转一个角
arg f ( z0 ) 得出 . arg f ( z0 ) 仅与 z0 有关 (与C无关) .
arg f ( z0 ) arg w( t0 ) arg z( t0 )
在 D 内有解 , 从而G 为开集.
其次，要证明 G 中任意两点 w1 f ( z1 ), w2
f ( z2 ) 均可以用一条完全含于 G 的折线联结起来.
由于 D是区域， 可在 D内取一条联结 z1 , z2 的折线
C : z z( t ) ( t1 t t2 , z( t1 ) z1 , z( t2 ) z2 ). 于是，
C2
则有 arg w 2 ( t 0 ) arg w1 ( t 0 ) arg z2 ( t 0 ) arg z1 ( t 0 )
1 与 2 在 w0 的夹角
C1 与 C2 在 z0 的夹角
结论: 相交于点 z0 的任意两条曲线C1与 C2之间
的夹角 在其大小和方向上都等同于经过 w f ( z )
0
x
当 p 沿 C p0 时,
p0 p
y
C上 p0 处切线
0
C z( t0 ) p. z( t0 t )
z ( t 0 t ) z ( t 0 ) lim z ( t 0 ) t 0 t 方向与 C 一致.
p0 . z( t0 )
x y
z ( t 0 )
z ( t 0 ) 从而 C 在 z0 有切线， 就是切向量， 它的倾角为
点 w 及在 C 上的点 z 有
| f ( z ) w0 | | w0 w | 0,
| f ( z ) w0 | | w0 w | 0
因此由儒歇定理知， 在 C 的内部
f ( z ) w [ f ( z ) w0 ] w0 w
与 f ( z ) w0 有相同的零点个数, 于是 w f ( z )
0 0
从上述导数的几何意义 可知 , 映射 w f ( z ) 把
z0附近的一个几何图形变 成一个和原来大致一样 的
图形 .例如， 映射 w f ( z ) 把一个半径充分小的圆
周 : | z z0 | r 近似地变成 w 平面上的圆周:| w w0 | | f ( z0 ) | r . w 称为曲线C 在 z0 的 伸缩率. | f ( z0 ) | lim z 0 z
z
w f (z)
v
w ( t 0 )
w

. z0
0
C x
0
.
w0
u
由于 在点 w0 w( t0 ) 的邻域内是光滑的, 且
w( t0 ) w( t ) t t0 f ( z0 )z(t0 ) 0,
故 上点 w0 f ( z0 ) 处也有切线 , w( t0 ) 就是切向量 ,
令 z z0 re i ,
y
z ( t 0 )
s
z
w w0 e i .
v
w
w f (z)
p0 . r z0
0
p . z C
Q0.
w0
Q . w
x
0
u
i 设 f ( z0 ) Re
w f ( z ) f ( z 0 ) w w 0 e s i ( ) i e , z z0 z z0 re z s r
正向: t 增大的方向;
z0 z( t0 ) , 且 z( t0 ) 0 .
如果规定: 割线 p0 p正向对应于 t
y
增大的方向, 那么 P0 P
z ( t0 t ) z ( t0 ) 与 同向, t
p. C z( t0 t )
z 即 与 t 增大的方向一致 . t
p0 . z( t0 )
C
arg z( t0 ) .
.
0
arg z( t0 )
z0
x
相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间的夹角 ,
就是 C1与 C2在交点处的两条切线正 向之间的夹角.
设 ： C1 : z z1 ( t ), C2 : z z2 ( t );
( t0 ) arg z2
点 w0 重合 ， x 轴与 u 轴平行 , 则 C 在点 z0 的切线与
在点 w0 的切线所夹的角就是arg f ( z0 ) . 因此可
以认为曲线 C 在 z0 的切线通过变换以后绕 着点 z0转
动了一个角度arg f ( z0 ) ， 它称为变换 w f ( z ) 在 z0
意义 . 点的旋转角 . 这就是导数辐角的几何
在这一章中，我们先分析解析函数所构成映 射的特性，引出共形映射这一重要概念 . 然后进 一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的 共形映射. 共形映射之所以重要，原因在于它能把在比 较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上 进行讨论 . 因此，在解决诸如流体力学、弹性力 学、电磁学等实际问题中，发挥了重要的作用.
f ( z ) w f ( z ) w0 w0 w ,
由解析函数零点的孤立 性， 必有以 z0 为心的某
个圆周C , C 及 C 的内部全含于 D , 使得 f ( z ) w0 在
C 上及 C 的内部 ( 除 z0 外 )均不为零 . 因而在 C 上 | f ( z ) w0 | 0 . 对在邻域 | w w0 | 内的任意
第七章
共 形 映 射
从第二章开始，利用分析的方法，即通过微分、 积分和级数分别探讨了解析函数的性质和应用 . 在 这一章中，我们将从几何的角度对解析函数的性质 和应用进行讨论 . 在第一章中已经介绍过，一个复变函数w f ( z ) 在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集变到 w平 面上的一个点集的映射(或变换). 对解析函数来说， 由它所构成的变换（简称解析变换）还需作进一步 的研究 .
w( t0 ) w( t ) t t0 f ( z0 ) z(t0 )
其倾角为
v w ( t 0 )
w
arg w( t0 ) arg z( t0 ) arg f ( z0 ) ,
即
. arg w(t0 ) w0

arg f ( z0 ),
证： 先证 G 是开集 (即证G 的点都是其内点) .
设有一点 z0 D , 使 f ( z0 ) w0 G f ( D ),
要证 w0 为 G 的内点 , 只须证明 w与 w0 充分接近时,
w也属于 G , 即须证明，当 w与 w0 充分接近时,
方程 w f ( z ) 在 D 内有解 . 为此， 考察
: w f [ z( t )] ( t1 t t2 ) 就是联结 w1、w2 的并且
完全含于G 的一条曲线. 从而，仿照柯西积分定理 的古萨证明的第三步， 可以找到一条联结 w1、w2 , 内接于 且完全含于G 的折线 1 , 于是 G 是连通的.
因此， G f ( D) 是区域 .
i
s i ( ) lim R. e 所以 f ( z0 ) lim z z0 s z z0 s r i i 令 z z re , w w e . 0 0 | f ( z ) | 可看作是曲线 C 受到变换后在 z 的伸