复变函数的映射 PPT
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证： 先证G是开集 (即证G的点都是其内).点
设有一 z0D 点 , 使 f(z0)w 0Gf(D ), 要证 w0为G的内,点 只须w 证 与w 明 0充分接 , 近
w也属G于 , 即须证明， 当w与w0充分接近 , 时 方程 w f(z)在 D 内有 .为此解 ， 考察
f(z)wf (z) w0w0w , 由解析函数零点的孤立性，必有z以 0为心的某 个圆周C,C及C的内部全含 D,于 使f得 (z)w 0在 C上及C的内部 (除z0外)均不为零. 因而在 C上
x
当 p 沿C p0 时,
y
z(t0)
p. C z(t0t)
p0 p
C上p0处切线
lt i0m z(t0 tt)z(t0)z(t0) 0
p0.
z(t0 )
x
方向与 C 一致.
y
从而 C在z0有切 ， z线 (t0)
z(t0)
C
就是切向量 ， 它的倾角为
ar z(tg 0).
. arz(g t0)
w (t0 ) w (t)t t0 f(z 0 )z (t0 ) v w(t0)
w
其倾角为 arw g(t0) az ( r t 0 ) g af r ( z 0 ) , g.w
ar w (g t0)
0
即
af r (z 0 g ),
0
u
或
a f ( r z 0 ) a g w ( r t 0 ) a g z ( t r 0 ), g
经过w 变 f换 (z), C的像 曲线 的参数方程
: wf[z(t)](t0tt1),
y
z
v w(t0)
w
百度文库
wf(z)
z(t0)
.
C
z0
. w0
0
x
0
u
由 于 在w 点 0w(t0)的邻域内 , 且是光
w (t0)w (t)t t0f(z0)z(t0) 0,
故 上w 点 0f(z0)处也有 ,w(t0)切 就是 线 切向 ,
复变函数的映射
在这一章中，我们先分析解析函数所构成映 射的特性，引出共形映射这一重要概念 . 然后进 一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的 共形映射.
共形映射之所以重要，原因在于它能把在比 较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上 进行讨论 . 因此，在解决诸如流体力学、弹性力 学、电磁学等实际问题中，发挥了重要的作用.
: w f [ z ( t )( t 1 ] t t 2 ) 就是联结w1、w2的并且
完全含于G的一条曲线. 从而，仿照柯西积分定理 的古萨证明的第三步，可以找到一条联结 w1、w2,
内接于且完全含于G的折线 1 , 于是 G是连通的.
因此， Gf(D)是区. 域 推论7.2 设 wf(z)在区 D内 域单叶 ， 则D解 的像 析
|f(z ) w 0 | 0 .对在 |w 邻 w 0| 域 内的任
点w 及在 C上的z有 点
|f(z)w 0||w0w| 0,
|f ( z ) w 0 | |w 0 w | 0
因此由儒歇定理知 ，在C的内部 f(z)w[f(z ) w 0 ] w 0 w
与 f(z)w0有相同的零点个数, 于 w 是 f(z) 在D内有解 , 从而G为开.集
在w0处切线的倾角
C在z0处切线的倾角 定:原 义 C 经 曲 为 w 变 线 f(z )后 换 z 0 的 在 转
——导数辐角的几何意义.
af r (z 0 g )
若将z 平面和 w平面叠放在一使起点 z， 0 与 点w0 重合 ， x轴与u轴平行 , 则C在点 z0的切线与
G f(D)也是一个区 . 因域f(z)不为常数
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
在上一章中曾证明定6理 .11: 若函f(数 z)在 区域D内单叶解，析 则 D 内 在 f(z) 0 .
但其逆未必成立 .例如, 函数 f(z)ez在 z平面 上f(z)ez 0, 但f(z)ez在z平面不是单 . 叶
关系呢？又C有: 什z么样z(t的)几(t何0 意t义呢t1)？
正向: t 增大的方向; z0z(t0), 且 z(t0)0.
如果规定: 割线p0p正向对应 t y于
增大的方向, 那么 P0 P
p. C z(t0t)
与z(t0t)tz(t0)同,向
p0. z(t0 )
即z t
与t
增大的方向. 一0致
z0
0
x
相交于一点的C1两 与C2条 正曲 向线 之 的夹间 角, 就是 C1与C2在交点处的两条 向之切间线 的夹正 角.
设 ： C 1:zz1(t),C 2:zz2(t); arzg2(t0)
C 2 az r 2 (t0 ) g az 1 r (t0 ) g
.
arzg1(t0)
z0
C1
z0 z1 (t0 ) z2 (t0 ).
其次，要证明 G中任意两点 w1f(z1),w2 f (z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来. 由于D是区域，可在D内取一条联结 z1, z2 的折线 C : z z ( t ) ( t 1 t t 2 , z ( t 1 ) z 1 , z ( t 2 ) z 2 ) 于是. ，
2、解析变换的保角性—导数的几何意义
设 在数w 学分f(z 析)于 中我们区 知D 道内 ，域 导解 数,z用0来D 析 刻,画在因点 变z0量有 导 相意对义于.f那( 自数 z0 么变) ，量0 一的.个过 变复化z0变情任函况意 数，的引 且导具一数有条 将相会有 当刻明向画显光 怎的线样滑 几的何曲
下面的定理表明， 解析函数具有局部单叶性 .
定理7.3 若w 函 f(z )在 数 z 0解 点 ,且 析 f(z0)0,
则f(z)在z0的一个邻域内单.叶解析 —符合定理条件的解析函数w = f (z)将z0的一个
充分小邻域变成w0 =f (z0)的一个曲边邻域.
w ez在区 aIm z 域 a2 (a 为一 )内 实 单 数
§1 解析变换的特性
1、解析变换的保域性 2、解析变换的保角性—导数的几何意义 3、单叶解析变换的共形性
1、解析变换的保域性
要探讨解析变换的几何特性，首先要弄清楚复 平面上的一个点集(曲线或区域)与它的像集之间的对 应关系.
定理7.1(保域定理) 设 wf(z)在区 D 内 域 解 且不恒为常数, 则D的像 Gf(D)也是一个 . 区
设有一 z0D 点 , 使 f(z0)w 0Gf(D ), 要证 w0为G的内,点 只须w 证 与w 明 0充分接 , 近
w也属G于 , 即须证明， 当w与w0充分接近 , 时 方程 w f(z)在 D 内有 .为此解 ， 考察
f(z)wf (z) w0w0w , 由解析函数零点的孤立性，必有z以 0为心的某 个圆周C,C及C的内部全含 D,于 使f得 (z)w 0在 C上及C的内部 (除z0外)均不为零. 因而在 C上
x
当 p 沿C p0 时,
y
z(t0)
p. C z(t0t)
p0 p
C上p0处切线
lt i0m z(t0 tt)z(t0)z(t0) 0
p0.
z(t0 )
x
方向与 C 一致.
y
从而 C在z0有切 ， z线 (t0)
z(t0)
C
就是切向量 ， 它的倾角为
ar z(tg 0).
. arz(g t0)
w (t0 ) w (t)t t0 f(z 0 )z (t0 ) v w(t0)
w
其倾角为 arw g(t0) az ( r t 0 ) g af r ( z 0 ) , g.w
ar w (g t0)
0
即
af r (z 0 g ),
0
u
或
a f ( r z 0 ) a g w ( r t 0 ) a g z ( t r 0 ), g
经过w 变 f换 (z), C的像 曲线 的参数方程
: wf[z(t)](t0tt1),
y
z
v w(t0)
w
百度文库
wf(z)
z(t0)
.
C
z0
. w0
0
x
0
u
由 于 在w 点 0w(t0)的邻域内 , 且是光
w (t0)w (t)t t0f(z0)z(t0) 0,
故 上w 点 0f(z0)处也有 ,w(t0)切 就是 线 切向 ,
复变函数的映射
在这一章中，我们先分析解析函数所构成映 射的特性，引出共形映射这一重要概念 . 然后进 一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的 共形映射.
共形映射之所以重要，原因在于它能把在比 较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上 进行讨论 . 因此，在解决诸如流体力学、弹性力 学、电磁学等实际问题中，发挥了重要的作用.
: w f [ z ( t )( t 1 ] t t 2 ) 就是联结w1、w2的并且
完全含于G的一条曲线. 从而，仿照柯西积分定理 的古萨证明的第三步，可以找到一条联结 w1、w2,
内接于且完全含于G的折线 1 , 于是 G是连通的.
因此， Gf(D)是区. 域 推论7.2 设 wf(z)在区 D内 域单叶 ， 则D解 的像 析
|f(z ) w 0 | 0 .对在 |w 邻 w 0| 域 内的任
点w 及在 C上的z有 点
|f(z)w 0||w0w| 0,
|f ( z ) w 0 | |w 0 w | 0
因此由儒歇定理知 ，在C的内部 f(z)w[f(z ) w 0 ] w 0 w
与 f(z)w0有相同的零点个数, 于 w 是 f(z) 在D内有解 , 从而G为开.集
在w0处切线的倾角
C在z0处切线的倾角 定:原 义 C 经 曲 为 w 变 线 f(z )后 换 z 0 的 在 转
——导数辐角的几何意义.
af r (z 0 g )
若将z 平面和 w平面叠放在一使起点 z， 0 与 点w0 重合 ， x轴与u轴平行 , 则C在点 z0的切线与
G f(D)也是一个区 . 因域f(z)不为常数
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
在上一章中曾证明定6理 .11: 若函f(数 z)在 区域D内单叶解，析 则 D 内 在 f(z) 0 .
但其逆未必成立 .例如, 函数 f(z)ez在 z平面 上f(z)ez 0, 但f(z)ez在z平面不是单 . 叶
关系呢？又C有: 什z么样z(t的)几(t何0 意t义呢t1)？
正向: t 增大的方向; z0z(t0), 且 z(t0)0.
如果规定: 割线p0p正向对应 t y于
增大的方向, 那么 P0 P
p. C z(t0t)
与z(t0t)tz(t0)同,向
p0. z(t0 )
即z t
与t
增大的方向. 一0致
z0
0
x
相交于一点的C1两 与C2条 正曲 向线 之 的夹间 角, 就是 C1与C2在交点处的两条 向之切间线 的夹正 角.
设 ： C 1:zz1(t),C 2:zz2(t); arzg2(t0)
C 2 az r 2 (t0 ) g az 1 r (t0 ) g
.
arzg1(t0)
z0
C1
z0 z1 (t0 ) z2 (t0 ).
其次，要证明 G中任意两点 w1f(z1),w2 f (z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来. 由于D是区域，可在D内取一条联结 z1, z2 的折线 C : z z ( t ) ( t 1 t t 2 , z ( t 1 ) z 1 , z ( t 2 ) z 2 ) 于是. ，
2、解析变换的保角性—导数的几何意义
设 在数w 学分f(z 析)于 中我们区 知D 道内 ，域 导解 数,z用0来D 析 刻,画在因点 变z0量有 导 相意对义于.f那( 自数 z0 么变) ，量0 一的.个过 变复化z0变情任函况意 数，的引 且导具一数有条 将相会有 当刻明向画显光 怎的线样滑 几的何曲
下面的定理表明， 解析函数具有局部单叶性 .
定理7.3 若w 函 f(z )在 数 z 0解 点 ,且 析 f(z0)0,
则f(z)在z0的一个邻域内单.叶解析 —符合定理条件的解析函数w = f (z)将z0的一个
充分小邻域变成w0 =f (z0)的一个曲边邻域.
w ez在区 aIm z 域 a2 (a 为一 )内 实 单 数
§1 解析变换的特性
1、解析变换的保域性 2、解析变换的保角性—导数的几何意义 3、单叶解析变换的共形性
1、解析变换的保域性
要探讨解析变换的几何特性，首先要弄清楚复 平面上的一个点集(曲线或区域)与它的像集之间的对 应关系.
定理7.1(保域定理) 设 wf(z)在区 D 内 域 解 且不恒为常数, 则D的像 Gf(D)也是一个 . 区