第四章 线性定常系统的可控性和可测性

• 若系统哪怕只有一个状态变量在任意初始
时刻 t0 时的值不能由系统输出唯一地确定, 则称系统状态不完全可观.
2.可观性判据
• 判据定理1.
• 线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
• 或简称为∑(A,B,C,D) • 状态可观的充要条件是可观性矩阵 必须满秩,即 rank (QO ) n
2.单变量系统的可观标准形
• 定理2.设系统∑(A,b,c,d)可观,则可通过等价变 ˆ换 x p 1 x 将其化成如下可观标准形式. 0 0 | a 0
__ 1 ˆ x 0 0 __ 0 1 0 __ __ 0 0 1 | __ 1 | a1 ˆ x u | a2 2 | | an 1 n 1
y 0
ˆ 1 n1 x du
• 其中
1 a 1 O n 1 p An 1b Ab b a2 a3 1 a1 a2 an 1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的
改变B阵为 2 0T时,则 x1 可控,而 x2 是控制u通过 x1
而达到间接控制 x2 的目的.
• 显然,由于状态之间的关联性以及状态对系
统特性的不同影响作用,所以可控性是十分
重要的.
(2)可观性
• 可观性指的是,从系统的输出中能否观测到
系统的内部信息,或者说能否量测到状态信 息的一种特性,这无论对于了解系统的运行 情形还是取得状态信息用作控制都是完全 必要的.
• 可控性判据定理二(对角形) • 线性定常系统∑(A,B)具有互不相同的特征
值,则其状态完全可控的充分必要条件是:系
统经非奇异变换后的对角线规范形方程
ˆ ˆ ˆ x diag[1 , 2 ,, n ]x Bu
ˆ 中 B 阵不包含元素全为零的行.
• 可控性判据定理三(Jordan标准形判据) • <见书>
自动控制原理Ⅱ
第四章 线性定常系统的可控性（ 能控性）和可观测性（可观性、能 观性）
一.概念 • 可控性和可观性是现代控制理论的两个重
要的基础概念.
• 状态空间表达式包括:
1.状态方程:描述了控制量及初始状态对系 统内部状态的影响,表明了系统内部结构 特性. 2.输出方程:描述了内部状态及控制量对输
• ⑶. 第三种方法是按能控性和能观性进行分 解 • 显然如果系统不可控也不可观，则需要同 时进行可控和可观性分解。A, B, C
三. 按可控性分解
• 设定常系统
x Ax Bu y Cx (3 1)
是状态不完全能控，其能控性判别阵：
M B, AB, , An1B
函数,称u为容许控制.
1.可控性定义
• 若对状态空间的任一状态 x(t0 )存在一个有限 时刻 t1 t0 和一个容许控制 u[t0 , t1 ]能在时刻 t1使
状态 x(t0 ) 转移到零,则称状态方程在 t0 时刻是
可控的,反之称为在时刻 t0 是不可控的.
• 第二种定义见书. • 注意到这两种定义是等价的 • 因为在状态空间中的任意一点 x(t f ) 总可以 通过坐标变换把它变换为零点,即坐标原点. • 因此,转移到0或 x(t f ) 对控制来讲是一样的情 形.
• 结论： 状态完全可控和可观的必要条件是： 系统的传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。 或： 系统的传递函数或传递函数矩阵是不可约 的
六.线性系统可控性和可观性的对偶关系 1.对偶关系 • 设 • 设 • 称
S1 为系统∑（A,B,C,D S 2 为系统 S1 和 S 2 对偶.
)
( AT , CT , BT , DT )
(3).实现-------主要讨论严格正则有理传函的 实现,并构造下述标准形,即用下述标准形来 完成实现.
1).对角形 2).约当规范形 3).可控标准形 4).可观标准形.
(4).最小实现问题 • 对单变量系统而言,只有当(A,b,c)的维数等 于给定传递函数分母的阶数时,才是最小实 现,这时不出现零极点对消,动态方程既可 观又可控的,也称为可控可观实现.
• 如果一个系统是不完全能观的，则其状态
空间中所有能观状态构成能观子空间，其
余为不能观子空间。
• 但是在一般形式下，这些子空间并没有明 显的区分，因此需要采取一些方法，将这 些能控/能观子空间分解出来。 • 分解出来的目的是： • 1）进一步揭示系统的本质特征； • 2）为系统设计提供依据。
二. 方法 • 通过非奇异变换即坐标变换，将系统的状 态空间按能控性和能观性进行结构分解。 • 具体来说 • ⑴ 就是将系统的状态空间表达式分解为一 部分状态与输入（控制）有关的部分，另
0 x1 0 x 2 u 3 2 x1 0 x2
• 结构图:
• 就该系统而言,控制u只能影响 x2 而不能影响 x1
换言之无论加入何种控制量,u都无法改变 x1 的运
动特性,显然 x1 是不可控的.
• 当然如果改变系统的结构,例如改变u的加入点,即
• 在上例中 y x1 而 x1并不包含 x2 的信息,因
而通过对输出y的测量,无法得到任何 x2
的信息,从而 x2 是不可观的.
二.线性定常系统的可控性 • 根据可控性概念,一个系统是否可控,仅与
状态方程有关,即只对
x Ax Bu
进行
讨论.其中u 若为 t0 [t , ) 内的分段连续
0 0
ˆ y 0 0 0 1 x du
• 其中p同前.
八.有理传递函数(阵)的实现问题 (1).实现问题的定义: • 构造一个动态方程,使其传递函数(阵)与事 先给定的某个传递函递(阵)相等,称为实现 问题. • 其目的,主要用于对系统进行仿真,了解系统 的内部外部特性.
(2).正则有理传递函数(阵) • 若传函(阵)的分子多项式次数为m,分母多 项式的次数为n. • 若m<n称传函(阵)为严格正则有理传函(阵) • 若 m n 称传函(阵)为正则有理传函(阵).
四.可控性和可观性的不变性
• 结论:系统经线性非奇异变换后,其可控性 和可观性保持不变,这种性质称为可控性和 可观性的不变性. • 证明略,见书.
五.传函中零极对消与可控性和可观性的关 系.(自学) • 要点: 1).通过非奇异变换转化成对角形(Jordan) 2).根据Jordan形求出G(s) 3).根据G(s)找到零极点对消的特征 4).由上述特征,并据Jordan可控可观性判 据,建立特征值和可控可观性的关系
• 2.性质 (1).对偶系统 S1 和 S 2 的传函阵互为转置,即
GS 2 (GS1 )T
(2).对偶系统的特征值是相同的
• 3.对偶原理 (1)若 S1 可控则有 S 2 可观 (2)若 S 2 可观则有 S1 可控
• 七.系统动态方程的可控和可观规范形 • 通过对动态方程进行非奇异变换,系统的可 控性和可观性不变. ˆ • 因而寻找适当的p使得 x p 1 x ,从而得到可控 和可观标准形.一种简化的矩阵表达形式. • 本节主要介绍单变量系统的可控,可观标准 形.
的秩 rankM n1 n
• 则存在非奇异变换：
ˆ x Rc x
ˆˆ ˆ x Ax Bu ˆ ˆˆ y Cx
（3－2）
• 将状态空间表达式3－1，变换为：
（3－3）
• 其中
ˆ x1 n1 ˆ x x n n 1 ˆ2
三.线性定常系统的可观性 1.定义: • 线性定常连续系统的状态方程为:
x Ax Bu y Cx Du
• 系统在给定控制输入u(t)作用下,对任意初
始时刻 t0 若能在有限时间间隔 [t0 , t f ] 之内,
根据从 t0 到 t f 对系统输出y(t)的观测值和 输入u(t),唯一地确定系统在 t0 时刻的状 态 x(t0 ) ,则称系统是状态完全能观测的,简称 可观测或可观性.
出的影响.
• 所以状态空间法能描述全部系统内部的结 构与特征。
• 由于内部状态的引入,从而理论上产生了新 的概念:状态的可控性。
• 而输出是状态的线性组合,产生了可观性概 念。
(1).可控性 • 简单来说,可控性问题就是系统的控制输入
是否具有影响系统中每一个状态的能力.
• 例如:
1 x 2 y 1
• 对定义的说明: 1). t0 时刻的状态应是任意的,也即x(t)的各 分量在 t0 时的值无论如何给定,都存在容许 控制,在 t1 时刻将初始状态转移到零,系统方 为可控,否则系统不可控. 2). t1 应为有限的时间, t1 的选取与 t0 有关, 若 t1 趋于无穷则可控失去意义.
3).只说明容许控制, u[t0 , t ] 与u的具体形 式无关. 4). x(t )从x(t0 ) 转移到零,对转移过程中的
轨迹没有规定
• 对时变系统来说,是否可控与时间坐标有关,
故应说明在 t0 时刻可控.
2.可控性判据 • 可控性判据定理一 (秩判据) • 线性定常系统∑(A,B)其状态完全可控的充 要条件是由A,B组成的可控性判别矩阵 Qc [ B, AB,, An1B] 必须满秩,即 rank (Qc ) n
(5).重点掌握和了解单变量实现问题. • 定义:对给定传函阵W(s)若有一状态空间表达 C (sI A)1 B D W (s) , 式∑(A,B,C,D)使之成立 则称该状态空间表达式为传函阵W(s)的一个 实现.
九.线性定常连续系统的结构分解
一. 目的 • 如果一个系统是不完全能控的，则其状态 空间中所有能控状态构成能控子空间，其 余为不能控子空间。
一部分状态则在形式上就与输入（控制）
无关的部分。
• 显然那些与输入（控制）无关的状态是不
可控的，这些状态构成了不可控子空间。 而与输入（控制）有关的状态是可控的， 这些状态构成了可控子空间。 • 上述方法称为按能控性分解，显然主要是 对A和B进行变换。
• ⑵. 另一种，则是按能观性分解，其方法是 类似的。即将状态空间表达式中的状态分 解为：一部分状态与输出有关，另一部分 状态则与输出是无关的。显然这主要是通 过性定常系统
( A, b, c, d ), A R nn , x R n1 , y R1 , u R1
• A的特征多项式为
det( I A) n an 1 n 1 a1 a0
• 定理1. ˆ x • 设系统∑(A,b,c,d)可控,则通过等价变换 px 将其变换为如下所示的可控标准形

ˆ x1 R n11 ˆ x2 R n n1 1
0 0 ˆ x 0 a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 0 0 0 ˆ x u 1 an 1 1
C CA QO n 1 CA
• 判据定理2. • 线性定常系统∑(A,B,C,D).具有不相等的 特征根,则其状态可观测的充要条件是,系统
经非奇异变换后的对角规范形
x diag[1 , 2 ,, n ]x Bu ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ y Cx Du ˆ 的矩阵 C 中不包含元素全为零的列.