单调性与最大(小)值 习题(含答案)
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A．4B．3C．2D．1
4．已知函数 是定义在R上的偶函数，对任意 都有 ，当 ，且 时， ，给出如下命题：
① ；
②直线 是函数 的图象的一条对称轴；
③函数 在 上为增函数；
④函数 在 上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①②B．②④C．①②③D．①②④
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．B
【解析】
【分析】
先根据函数 的奇偶性以及函数在区间 上的单调性，判断函数在区间 上的单调性，再把不等式 变形为两个不等式组，根据函数的单调性分情况解两个不等式组，所得解集求并集后即可得到结论．
【详解】
∵函数f(x)为奇函数且在(−∞,0)上单调递减，
∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减，
∴不等式(x−1)f(x−1)>0可变形为 ①或 ②，
【解析】
【分析】
利用方程思想得到 ，利用单调性明确函数 的最大值即可.
【详解】
，
以 代入 得 ，
消去 得 ，
若 ，则 单调递增， ，
则 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了方程思想求函数的解析式，考查了不等式能成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题.
13．
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数在（0，+∞）上的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式.
14．
【解析】
【分析】
配方，
分析对称轴 与区间 的关系，求最大值，列方程求解．
【详解】
, 取得最大值，
．
【点睛】
本题考查二次函数在指定区间上的最值问题，常常讨论对称轴与区间的关系．
15．
【解析】
求导可得 ，所以 在R上单调递减，且 ，所以当x<0, ,当x>0时， 。所以函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，且函数f(x)为偶函数。 变形为 ，只需 ，解得 ，填
11．5
【解析】
【分析】
令 可得在 上递减，在 上递增， 令 ，其中 ,可得 在 上递减，且 ，因为 , 在 上有两个零点,而 在 上的图象与函数 的图象有3个交点，从而可得结果.
【详解】
由 得， .
令 则 . 在 上单减，
在 上单增.
令 ，其中 ,
则 ，
在 上单减，且 ，所以存在唯一的 ，使得 ,因此函数 在 上单增，在 上单减,又因为 ,所以 在 上有两个零点,而 在 上的图象与函数 的图象有3个交点. 函数 在 上的零点有5个，故正确答案是5.
3．A
【解析】
【分析】
研究函数 的奇偶性、单调性、图形即可做出判定
【详解】
函数
恒成立
故定义域为 ，则值域为 ，故③正确
，
，
，图象关于原点中心对称，故②正确
，
可知 单调递减
单调递减
故 ，故①正确
当 时，
，
，在第四象限，故④正确
综上所述，正确命题的个数是4
故选
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性、单调性及图形，看似复杂的复合函数，在求解过程中一定要能够看透题目的本质，然后求解。
根据分段函数单调性列不等式,解得结果.
【详解】
又题意得 ，选C.
【点睛】
本题考查分段函数单调性应用,考查基本分析求解能力,属基础题.
10．D
【解析】
【分析】
二次函数在区间 上是增函数，其对称轴为1或是在1的左侧.
【详解】
已知 在区间 上是增函数，
则函数对称轴 ，解得 ；
故选D
【点睛】
本题考查利用二次函数的单调性求解参数的范围，是基础题型，解题的关键是准确确定二次函数的单调增区间，再根据集合间的关系求解参数的范围.
故选D．
【点睛】
本题考查函数的单调性，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用 的导数判断函数 的单调性与奇偶性，再画出函数 的大致图象，结合图形求出不等式 的解集．
【详解】
解：设 ，则 的导数为：
，
当 时总有 成立，
即当 时， 恒小于0，
当 时，函数 为减函数，
是偶函数，故 在 上为减函数
函数 是周期等于6的周期函数
故 在 上为减函数，故③错误
④ 函数 是周期等于6的周期函数
故函数 在 上有四个零点，故④正确
综上所述，则正确命题的序号为①②④
故选
【点睛】
本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解。
1．D
【解析】
【分析】
对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，函数 为一次函数，在 内单调递减，不符合题意．
对于B，函数 为反比例函数，在 内单调递减，不符合题意．
对于C，函数 为幂函数，在 内单调递减，不符合题意．
对于D，函数 为二次函数，在 内单调递增，符合题意．
又函数f(x)为奇函数且f(2)=0，
∴f(−2)=−f(2)=0，
∴不等式组①即为 ，所以 ，解得1<x<3；
不等式组②即为 ，所以 ，解得−1<x<1．
∴原不等式的解集为{x|−1<x<1或1<x<3}．
故选B．
【点睛】
本题考查函数单调性、奇偶性在解不等式中的应用，解题的关键是根据题意得到函数在定义域上的性质，然后再通过分类讨论将不等式转化为不等式组求解，具有综合性，同时也考查分析问题、解决问题的能力．
18．已知函数
若 ，求 的单调区间；
是否存在实数a，使 的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
19．已知函数 .
（1） 时，求 在 上的单调区间；
（2） 且 ， 均恒成立，求实数 的取值范围.
20．已知函数 ．
（1）令 ，判断g(x)的单调性；
（2）当x＞1时， ，求a的取值范围．
参考答案
6．B
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式以及指数函数的单调性可得 在 上单调递増，原不等式等价于 ,解不等式即可得到所求解集.
【详解】
函数 ,
可得 在 上单调递増，
化为 ，
解得 ,
的解集为 ，故选B.
【点睛】
本题考査函数的单调性的判断和运用,属于中档题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数 在 上的零点有__________个.
12．若 对 恒成立，且存在 ，使得 成立，则 的取值范围为__________．
13．已知函数 ，则不等式 的解集为_________.
14．已知函数 的最大值为 ，则 的值为________________．
15．已知函数 ，则不等式 的解集为__________．
6．设函数 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式
的解集是( )
A． B．
C． D．
8．下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )
A． B． C． D．
9．已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知 在区间 上是增函数，则 的范围是（）．
单调性与最大（小）值习题（含答案）
一、单选题
1．下列函数中，在 内单调递增的是
A． B． C． D．
2．设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， 则使得 成立的 的取值范围是
A． B． C． D．
3．关于函数 有如下命题：
① ；
②函数图像关于原点中心对称；
③函数是定义域与值域相同；
④函数图像经过第二、四象限.其中正确命题的个数是（）
又 ，
函数 为定义域上的偶函数，
又 ，
函数 的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式 等价于 ，
即 或 ，
解得 或 ．
成立的x的取值范围是 ．
故选：A．
【点睛】
本小题主要考查利用构造函数法，以及函数导数求解不等式.在解题过程中，首先根据题意构造出与题目本身相对应的函数.如本题中的函数 ，在不同的题目中，构造的函数是不相同的.构造函数之后，利用导数，研究所构造函数的单调性，再结合所求不等式来解.
【详解】
由题得f(-x)= ,
所以函数f(x)是奇函数.
设x＞0，则 ，
所以 上恒成立，所以函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以函数f(x)是R上的增函数，
所以 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的判定，考查函数的单调性的判定，考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
4．D
【解析】
【分析】
根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定
【详解】
①令 ，则由 ，函数 是定义在 上的偶函数，
可得： ，故 ，故①正确
②由 可得： ，故函数 是周期等于6的周期函数
是偶函数， 轴是对称轴，故直线 是函数 的图象的一条对称轴，故②正确
③ 当 ，且 时， ，
故 在 上为增函数
8．A
【解析】
【分析】
根据函数增减性与奇偶性进行判断ห้องสมุดไป่ตู้择.
【详解】
是R上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，
是R上增函数，无奇偶性,
在 和 上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，
在 上为增函数，无奇偶性,
选A.
【点睛】
本题考查函数增减性与奇偶性,考查基本分析判断能力,属基础题.
9．C
【解析】
【分析】
5．A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性排除选项，再利用单调性（或特殊点）判断即可．
【详解】
函数 是偶函数，排除选项B，C；
当x＞0时， ，
∴ 在 上单调递增，排除D
故选：A
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【点睛】
本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题.函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.
12．
三、解答题
16．已知函数 (0＜a≠1)为增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a＝4时，是否存在正实数m，n(m＜n)，使得函数 的定义域为[m，n]，值域为[ ， ]？如果存在，求出所有的m，n，如果不存在，请说明理由．
17．已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，证明： （其中 是自然对数的底数， ）．
4．已知函数 是定义在R上的偶函数，对任意 都有 ，当 ，且 时， ，给出如下命题：
① ；
②直线 是函数 的图象的一条对称轴；
③函数 在 上为增函数；
④函数 在 上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①②B．②④C．①②③D．①②④
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．B
【解析】
【分析】
先根据函数 的奇偶性以及函数在区间 上的单调性，判断函数在区间 上的单调性，再把不等式 变形为两个不等式组，根据函数的单调性分情况解两个不等式组，所得解集求并集后即可得到结论．
【详解】
∵函数f(x)为奇函数且在(−∞,0)上单调递减，
∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减，
∴不等式(x−1)f(x−1)>0可变形为 ①或 ②，
【解析】
【分析】
利用方程思想得到 ，利用单调性明确函数 的最大值即可.
【详解】
，
以 代入 得 ，
消去 得 ，
若 ，则 单调递增， ，
则 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了方程思想求函数的解析式，考查了不等式能成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题.
13．
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数在（0，+∞）上的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式.
14．
【解析】
【分析】
配方，
分析对称轴 与区间 的关系，求最大值，列方程求解．
【详解】
, 取得最大值，
．
【点睛】
本题考查二次函数在指定区间上的最值问题，常常讨论对称轴与区间的关系．
15．
【解析】
求导可得 ，所以 在R上单调递减，且 ，所以当x<0, ,当x>0时， 。所以函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，且函数f(x)为偶函数。 变形为 ，只需 ，解得 ，填
11．5
【解析】
【分析】
令 可得在 上递减，在 上递增， 令 ，其中 ,可得 在 上递减，且 ，因为 , 在 上有两个零点,而 在 上的图象与函数 的图象有3个交点，从而可得结果.
【详解】
由 得， .
令 则 . 在 上单减，
在 上单增.
令 ，其中 ,
则 ，
在 上单减，且 ，所以存在唯一的 ，使得 ,因此函数 在 上单增，在 上单减,又因为 ,所以 在 上有两个零点,而 在 上的图象与函数 的图象有3个交点. 函数 在 上的零点有5个，故正确答案是5.
3．A
【解析】
【分析】
研究函数 的奇偶性、单调性、图形即可做出判定
【详解】
函数
恒成立
故定义域为 ，则值域为 ，故③正确
，
，
，图象关于原点中心对称，故②正确
，
可知 单调递减
单调递减
故 ，故①正确
当 时，
，
，在第四象限，故④正确
综上所述，正确命题的个数是4
故选
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性、单调性及图形，看似复杂的复合函数，在求解过程中一定要能够看透题目的本质，然后求解。
根据分段函数单调性列不等式,解得结果.
【详解】
又题意得 ，选C.
【点睛】
本题考查分段函数单调性应用,考查基本分析求解能力,属基础题.
10．D
【解析】
【分析】
二次函数在区间 上是增函数，其对称轴为1或是在1的左侧.
【详解】
已知 在区间 上是增函数，
则函数对称轴 ，解得 ；
故选D
【点睛】
本题考查利用二次函数的单调性求解参数的范围，是基础题型，解题的关键是准确确定二次函数的单调增区间，再根据集合间的关系求解参数的范围.
故选D．
【点睛】
本题考查函数的单调性，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用 的导数判断函数 的单调性与奇偶性，再画出函数 的大致图象，结合图形求出不等式 的解集．
【详解】
解：设 ，则 的导数为：
，
当 时总有 成立，
即当 时， 恒小于0，
当 时，函数 为减函数，
是偶函数，故 在 上为减函数
函数 是周期等于6的周期函数
故 在 上为减函数，故③错误
④ 函数 是周期等于6的周期函数
故函数 在 上有四个零点，故④正确
综上所述，则正确命题的序号为①②④
故选
【点睛】
本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解。
1．D
【解析】
【分析】
对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，函数 为一次函数，在 内单调递减，不符合题意．
对于B，函数 为反比例函数，在 内单调递减，不符合题意．
对于C，函数 为幂函数，在 内单调递减，不符合题意．
对于D，函数 为二次函数，在 内单调递增，符合题意．
又函数f(x)为奇函数且f(2)=0，
∴f(−2)=−f(2)=0，
∴不等式组①即为 ，所以 ，解得1<x<3；
不等式组②即为 ，所以 ，解得−1<x<1．
∴原不等式的解集为{x|−1<x<1或1<x<3}．
故选B．
【点睛】
本题考查函数单调性、奇偶性在解不等式中的应用，解题的关键是根据题意得到函数在定义域上的性质，然后再通过分类讨论将不等式转化为不等式组求解，具有综合性，同时也考查分析问题、解决问题的能力．
18．已知函数
若 ，求 的单调区间；
是否存在实数a，使 的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
19．已知函数 .
（1） 时，求 在 上的单调区间；
（2） 且 ， 均恒成立，求实数 的取值范围.
20．已知函数 ．
（1）令 ，判断g(x)的单调性；
（2）当x＞1时， ，求a的取值范围．
参考答案
6．B
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式以及指数函数的单调性可得 在 上单调递増，原不等式等价于 ,解不等式即可得到所求解集.
【详解】
函数 ,
可得 在 上单调递増，
化为 ，
解得 ,
的解集为 ，故选B.
【点睛】
本题考査函数的单调性的判断和运用,属于中档题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数 在 上的零点有__________个.
12．若 对 恒成立，且存在 ，使得 成立，则 的取值范围为__________．
13．已知函数 ，则不等式 的解集为_________.
14．已知函数 的最大值为 ，则 的值为________________．
15．已知函数 ，则不等式 的解集为__________．
6．设函数 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式
的解集是( )
A． B．
C． D．
8．下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )
A． B． C． D．
9．已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知 在区间 上是增函数，则 的范围是（）．
单调性与最大（小）值习题（含答案）
一、单选题
1．下列函数中，在 内单调递增的是
A． B． C． D．
2．设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， 则使得 成立的 的取值范围是
A． B． C． D．
3．关于函数 有如下命题：
① ；
②函数图像关于原点中心对称；
③函数是定义域与值域相同；
④函数图像经过第二、四象限.其中正确命题的个数是（）
又 ，
函数 为定义域上的偶函数，
又 ，
函数 的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式 等价于 ，
即 或 ，
解得 或 ．
成立的x的取值范围是 ．
故选：A．
【点睛】
本小题主要考查利用构造函数法，以及函数导数求解不等式.在解题过程中，首先根据题意构造出与题目本身相对应的函数.如本题中的函数 ，在不同的题目中，构造的函数是不相同的.构造函数之后，利用导数，研究所构造函数的单调性，再结合所求不等式来解.
【详解】
由题得f(-x)= ,
所以函数f(x)是奇函数.
设x＞0，则 ，
所以 上恒成立，所以函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以函数f(x)是R上的增函数，
所以 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的判定，考查函数的单调性的判定，考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
4．D
【解析】
【分析】
根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定
【详解】
①令 ，则由 ，函数 是定义在 上的偶函数，
可得： ，故 ，故①正确
②由 可得： ，故函数 是周期等于6的周期函数
是偶函数， 轴是对称轴，故直线 是函数 的图象的一条对称轴，故②正确
③ 当 ，且 时， ，
故 在 上为增函数
8．A
【解析】
【分析】
根据函数增减性与奇偶性进行判断ห้องสมุดไป่ตู้择.
【详解】
是R上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，
是R上增函数，无奇偶性,
在 和 上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，
在 上为增函数，无奇偶性,
选A.
【点睛】
本题考查函数增减性与奇偶性,考查基本分析判断能力,属基础题.
9．C
【解析】
【分析】
5．A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性排除选项，再利用单调性（或特殊点）判断即可．
【详解】
函数 是偶函数，排除选项B，C；
当x＞0时， ，
∴ 在 上单调递增，排除D
故选：A
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【点睛】
本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题.函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.
12．
三、解答题
16．已知函数 (0＜a≠1)为增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a＝4时，是否存在正实数m，n(m＜n)，使得函数 的定义域为[m，n]，值域为[ ， ]？如果存在，求出所有的m，n，如果不存在，请说明理由．
17．已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，证明： （其中 是自然对数的底数， ）．