线性相位FIR滤波器的特点
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cosN21n
co s N 2 1n 对 N 2 1呈 . 偶 对 称
N -3
H ()h N 2 1 n2 02h(n)co s N 2 1n
令N21nmhN 2 1N m 2 1 12hN 2 1m cos(m )
N1 2
H()a(n)cos(n) n0
n 0
N1
tgcsoins
hnsinn
n0 N1
hncosn
N 1
n0 N 1
h n s in c o s n h n c o s s in n 0
n 0
n 0
N1
hnsinn. 0
n0
第一类线性相位 ()的充要条件：
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1
H () 对 0 ,2 呈 偶 对 称 H () 对 呈 奇 对 称
z1 为 零 点 故不能设计成.高通、带阻滤波器
3）h(n)奇对称，N为奇数 幅度函数：
H ()N n 0 1h(n)sinN2 1n
Q s in N 2 1 (N 1 n ) s in n N 2 1
ejN 2 1 j 2N n 0 1h(n)sin N 2 1n
相位函数：
()N1
22
为第二类线性相位
N 1 2
0 /2
.
3、幅度函数的特点
1）h(n)偶对称，N源自文库奇数
幅度函数：
H ()N n 0 1h(n)cos N 2 1n Q c o s N 2 1 (N 1 n ) c o s n N 2 1
其中：
b(n)
2h
N 2
n
.
n 1,..., N 2
H()N n /1 2b(n)cosn1 2
其中：
b(n)
2h
N 2
n
n 1,..., N 2
.
H()N n /1 2b(n)cosn1 2
时 c o s n 1 2 0 则 H ( ) 0 z 1 是 零 点
H ( ) 对 0 ,,2 呈 偶 对 称 .
2）h(n)偶对称，N为偶数 幅度函数：
H ()N n 0 1h(n)cos N 2 1n
N1
n202h(n)cosN21n
.
N1
H()n 202h(n)cosN21n
令 N
2
n
m
N
m212hN 2mcosm12
H()N n /1 2b(n)cosn1 2
H ( e j ) H ( z )z e j e jN 2 1 N n 0 1 h ( n ) c o s N 2 1 n
相位函数：
()N1
2 为第一类线性相位
N 1
2
.
2）h(n)奇对称 h (n ) h (N 1 n )
频率响应：
H ( e j ) H ( z )z e j je jN 2 1 N n 0 1 h ( n ) s in N 2 1 n
得 H (z) 1 2 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
1 2N n 0 1h(n)znz(N1)N n 0 1h(n)zn
1 2N n 01h(n)znz(N1)zn
zN21N1h(n)zN21n
n0
zN21n 2
.
Hz
zN21N1h(n)zN21n
n0
zN21n
n = (N – 1) /2 为h(n)的偶对称中心 N 1 2
N1
hnsinn0
n0
.
第二类线性相位 ()0的充要条件：
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1 n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心 N 1
2
0 /2
.
2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
由 h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1
系统函数：
N 1
N 1
H (z)h (n )z n h (N 1 n )z n
n 0
n 0
令 mN1nN1h(m)z(N1m) m0
N1
z(N1) h(m)zm
m0
z(N1)H(z1)
.
由 H z z (N 1 )H (z 1 )
第一节 线性相位FIR滤波器的特点
FIR滤波器的单位冲激响应：
h (n ) 0 nN 1
系统函数：
N1
H(z) h(n)zn n0
在 z 平面有N –1 个零点 在 z = 0 处是N –1 阶极点
.
1、线性相位条件
h(n)为实序列时，其频率响应：
N1
H(ej) h(n)ejn H()ej() H(ej)ej()
其中：
a(0)
h
N 1 2
a(n)2hN21n .
n 1,..., N 1 2
N1
2
H()a(n)cos(n)
n0
其中：
a(0)
h
N 1 2
a(n)2hN21n
n 1,..., N 1 2
.
N1 2
H()a(n)cos(n)
n0
Q c o s ( n ) 对 0 ,， 2 呈 偶 对 称
n0
线性相位是指 是 的线性函数
即群延时 d () 是常数 d
第一类线性相位：()
第二类线性相位：()0
.
N1
H(ej) h(n)ejn H(ej)ej() H(ej)ej
n0
第一类线性相位： ()
N 1
H (ej)co s hnco sn
n 0
N 1
H (ej)sin hnsinn
sinN21n
sin N 2 1n 对 N 2 1呈 奇 对 称
.
h (n )奇 对 称 且 N 为 奇 数 h N 2 1 0
N-3
H()n2 02h(n)sinN21n
令N1nm 2
N1
m212hN21msin(m)
N1
2
H()c(n)sin(n) n1
其中： c(n)2hN21n
n . 1,..., N 1 2
2
z z N21n
N21n
2
cosxejx ejx
zej
cosN21n jsinN21n
"" ""
2
H(ej)H(z)zej
ejejN jN 221 1N nN n 01 01h.h((nn))csoisnN N2211nn ""
" "
1）h(n)偶对称 h (n ) h (N 1 n ) 频率响应：
co s N 2 1n 对 N 2 1呈 . 偶 对 称
N -3
H ()h N 2 1 n2 02h(n)co s N 2 1n
令N21nmhN 2 1N m 2 1 12hN 2 1m cos(m )
N1 2
H()a(n)cos(n) n0
n 0
N1
tgcsoins
hnsinn
n0 N1
hncosn
N 1
n0 N 1
h n s in c o s n h n c o s s in n 0
n 0
n 0
N1
hnsinn. 0
n0
第一类线性相位 ()的充要条件：
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1
H () 对 0 ,2 呈 偶 对 称 H () 对 呈 奇 对 称
z1 为 零 点 故不能设计成.高通、带阻滤波器
3）h(n)奇对称，N为奇数 幅度函数：
H ()N n 0 1h(n)sinN2 1n
Q s in N 2 1 (N 1 n ) s in n N 2 1
ejN 2 1 j 2N n 0 1h(n)sin N 2 1n
相位函数：
()N1
22
为第二类线性相位
N 1 2
0 /2
.
3、幅度函数的特点
1）h(n)偶对称，N源自文库奇数
幅度函数：
H ()N n 0 1h(n)cos N 2 1n Q c o s N 2 1 (N 1 n ) c o s n N 2 1
其中：
b(n)
2h
N 2
n
.
n 1,..., N 2
H()N n /1 2b(n)cosn1 2
其中：
b(n)
2h
N 2
n
n 1,..., N 2
.
H()N n /1 2b(n)cosn1 2
时 c o s n 1 2 0 则 H ( ) 0 z 1 是 零 点
H ( ) 对 0 ,,2 呈 偶 对 称 .
2）h(n)偶对称，N为偶数 幅度函数：
H ()N n 0 1h(n)cos N 2 1n
N1
n202h(n)cosN21n
.
N1
H()n 202h(n)cosN21n
令 N
2
n
m
N
m212hN 2mcosm12
H()N n /1 2b(n)cosn1 2
H ( e j ) H ( z )z e j e jN 2 1 N n 0 1 h ( n ) c o s N 2 1 n
相位函数：
()N1
2 为第一类线性相位
N 1
2
.
2）h(n)奇对称 h (n ) h (N 1 n )
频率响应：
H ( e j ) H ( z )z e j je jN 2 1 N n 0 1 h ( n ) s in N 2 1 n
得 H (z) 1 2 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
1 2N n 0 1h(n)znz(N1)N n 0 1h(n)zn
1 2N n 01h(n)znz(N1)zn
zN21N1h(n)zN21n
n0
zN21n 2
.
Hz
zN21N1h(n)zN21n
n0
zN21n
n = (N – 1) /2 为h(n)的偶对称中心 N 1 2
N1
hnsinn0
n0
.
第二类线性相位 ()0的充要条件：
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1 n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心 N 1
2
0 /2
.
2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
由 h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1
系统函数：
N 1
N 1
H (z)h (n )z n h (N 1 n )z n
n 0
n 0
令 mN1nN1h(m)z(N1m) m0
N1
z(N1) h(m)zm
m0
z(N1)H(z1)
.
由 H z z (N 1 )H (z 1 )
第一节 线性相位FIR滤波器的特点
FIR滤波器的单位冲激响应：
h (n ) 0 nN 1
系统函数：
N1
H(z) h(n)zn n0
在 z 平面有N –1 个零点 在 z = 0 处是N –1 阶极点
.
1、线性相位条件
h(n)为实序列时，其频率响应：
N1
H(ej) h(n)ejn H()ej() H(ej)ej()
其中：
a(0)
h
N 1 2
a(n)2hN21n .
n 1,..., N 1 2
N1
2
H()a(n)cos(n)
n0
其中：
a(0)
h
N 1 2
a(n)2hN21n
n 1,..., N 1 2
.
N1 2
H()a(n)cos(n)
n0
Q c o s ( n ) 对 0 ,， 2 呈 偶 对 称
n0
线性相位是指 是 的线性函数
即群延时 d () 是常数 d
第一类线性相位：()
第二类线性相位：()0
.
N1
H(ej) h(n)ejn H(ej)ej() H(ej)ej
n0
第一类线性相位： ()
N 1
H (ej)co s hnco sn
n 0
N 1
H (ej)sin hnsinn
sinN21n
sin N 2 1n 对 N 2 1呈 奇 对 称
.
h (n )奇 对 称 且 N 为 奇 数 h N 2 1 0
N-3
H()n2 02h(n)sinN21n
令N1nm 2
N1
m212hN21msin(m)
N1
2
H()c(n)sin(n) n1
其中： c(n)2hN21n
n . 1,..., N 1 2
2
z z N21n
N21n
2
cosxejx ejx
zej
cosN21n jsinN21n
"" ""
2
H(ej)H(z)zej
ejejN jN 221 1N nN n 01 01h.h((nn))csoisnN N2211nn ""
" "
1）h(n)偶对称 h (n ) h (N 1 n ) 频率响应：