常微分方程11习题课

使曲线积分
[ex 2xf ( x) f ( x)]ydx f ( x)dy L
( 常数) 与路径无关
解 由曲线积分与路径无关的条件得 f ( x) ex 2 f ( x) f ( x)
即 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ex
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程
齐通解 y (c1 c2 x)ex
3、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
1时 y* 1 x2ex 2
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y xkexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x .
设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x ,
则 ( y* ) [ax3 (3a b)x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,
将 y* , ( y* ), ( y* ) 代入原方程比较系数得
y py qy 0
特征方程为 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
幂级数解法 待定系数法
1、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
(3) y f ( y, y) 型
解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是 相应齐方程的解
故 y2 y1 sin x y3 y1 cos x
是齐方程的两个解 且线性无关
齐通解 Y c1 cos x c2 sin x
非齐通解 y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x)
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
(
x),
R(2) m
(
x)是m次多项式，m
maxl
,
n
0 j不是特征方程的根时;
k 1
j是特征方程的单根时.
二、典型例题
例1 求通解 y 1 y2 . 2y
解 方程不显含 x .
令 y P, y P dP , 代入方程，得 dy
dP 1 P 2
P
,
dy 2 y
解得， 1 P2 C1 y,
P C1 y 1,
即 dy dx
C1 y 1,
故方程的通解为 2 C1
C1 y 1 x C2.
例2 求特解 y 2 y y xex e x , y(1) y(1) 1.
解 特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根 r1 r2 1,
1,
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由
C1
C2
1 e
1, 3
解得
C1
2C2
1 e
5, 6
C1
2 e
1 6
,
C
2
1 2
1, e
所以原方程满足初始条件的特解为
y [2 1 (1 1)x]e x x3 e x x2 e x .
e6 2e
62
例3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为
y1 x, y2 x sin x, y3 x cos x 求其通解
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解
非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
若f ( x) f1( x) f2( x)则y y1 y2
若y y1 jy2是f ( x) f1( x) jf2( x)的特解 则y1, y2分别是f1( x), f2( x)的特解
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
2、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
若y1 , y2是解,则y c1 y1 c2 y2也是解 若y1, y2是两无关解,则y c1 y1 c2 y2是通解
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若是k重共轭 复根 j
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
a 1, b 1,
6
2
原方程的一个特解为 y* x3 e x x2 e x , 62
故原方程的通解为
y
(C1
C2 x)e x
x3 6
ex
x2 2
ex.
y(1) 1,
(C1
C2
1 )e 3
1,
y
[
(C1
C2)
(C2
1)x
x3 ]e x , 6
y(1) 1,
(C1
2C2
5)e 6
高阶微分方程 习题课
一、主要内容
高阶方程
可降阶方程
线性方程解的结构
待 定 系 数
二阶常系数线性 方程解的结构
特 征 根
法
法
f(x)的形式及其 特解形式
特征方程的根 及其对应项
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法